Теория подобия — это учение о подобных явлениях. Она позволяет сделать из анализа дифференциальных уравнений и условий однознач­ности ряд общих выводов, не прибегая к интегрированию.

Термин «подобие» заимствован из геометрии. Как известно, гео­метрические фигуры одинаковой формы подобны, если соответствен­ные углы равны и сходственные стороны пропорциональны. Тогда можно записать х"/х' = у"/у' = Z"/Z' = Г//' = С,, где х, у, Z, I — коорди­наты сходственных точек или сходственные отрезки. В этом случае С, называется константой геометрического подобия.

Понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Однако физические явления могут рассматриваться как подобные, если они относятся к классу явлений одной и той же природы. Такие явления аналитически описываются одинаковыми урав­нениями по форме и содержанию. По этому признаку, например, выделяют кинематически подобные процессы, если подобны движения потоков жидкости. Динамическое подобие означает подобие силовых полей. Тепловое подобие означает подобие температурных полей и тепловых потоков. Обязательной предпосылкой физического подобия является геометрическое подобие.

Для подобных явлений обязательно также подобие всех существен­ных величин. При этом сопоставлять можно только однородные величины (имеющие одинаковую размерность и одинаковый физи­ческий смысл) в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени. Сходственными точками называются точки, удовлет­воряющие условию геометрического подобия Г/1' = С,. Тогда, например, при кинематическом подобии имеем подобие полей скоростей и равенство W"/W'I = Cw. При динамическом подобии р'[/р = Ср. При тепловом подобии — подобие температурных полей T'L/T'I — С,.

Значения констант подобия С показывают, во сколько раз физи­ческие величины одной системы (явления) отличаются от тех же величии другой системы (явления). Константы подобия Cw, Ср и С, Для подобных систем сохраняют одно и то же значение Cw = idem, Ср = idem и С, = idem в сходственные моменты времени. Два проме­жутка времени х" и т' называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны равенством х - /х[ = Сх = idem.

Для явлений, физическая природа которых сложна и определяется многими параметрами, константы подобия этих параметров находятся между собой в определенных соотношениях и не могут быть выбраны произвольно. В этом случае, кроме постоянства отношений однород­ных величин, имеются еще дополнительные условия. Рассмотрим эти условия на частных примерах.

Выпишем уравнения энергии (2.22) и движения (2.35) несжимае­мой жидкости, полагая, что величины а, с, р, v остаются постоян­ными.

Уравнение энергии

Dt Dt Dt Dt , Qv

-г - + Wx — + Wy — + Vv, — = A2 Vzt + ~(2.40 Дх дх Y ду Dz сP V

Уравнение движения в проекции на ось

Dwx dwx dwx „ 1 Dp , „2

IT-+ W* ■it'+ '- V 4' <2'4111

Уравнение теплообмена на границе с теплообменной поверх­ностью

Dt

A At (2.42)

Рассмотрим подобие двух систем, описываемых уравнениями (2.40), (2.41) и (2.42). Эти системы должны удовлетворять трем условиям подобия:

1) Явления относятся к одному и тому же роду, качественно одинаковы и описываются тождественными уравнениями;

2) Процессы протекают в геометрически подобных системах;

3) Величины, характеризующие подобие явлений, подобны, т. е. в сход­ственных точках и в сходственные моменты времени однородные величины ф" одной системы и ср' другой системы пропорциональ­ны — связаны кбнстантой подобия (преобразованием подобия) Ф" = С9Ф'.

Обозначим величины, входящие в дифференциальные уравнения пер­вой системы, одним штрихом, второй системы — двумя штрихами. Тогда уравнения для первой системы будут:

Уравнение энергии

TOC o "1-3" h z , dt' , dt' , dt' , a'

(а)

-jrr + w-v 7T+W TT + vv — = a' VV + - rV; Дх Дх Y Ду Dz cpp

Уравнение движения

Dw'x . dw'x . dw'x . dw'x /rwn, 1 dp' ,„, ,

-jrr + + w;—f + wi—f = » - ---/-Г + v'V2h>;;

Уравнение теплообмена A'At' = — А/

Dx dx y Ду dz p dx

Dt' Dx'

И для второй системы соответственно:

Dt" „ Dt" „ Dt" „ Dt"

A" V2t" + CpP

TV + w. v -7ПГ + ~nr + w = T7 Dx dx dy dz

„ ?!wx „ Dw"

1 Dp" P" ax"

+ v"vV";

ВхР'Ь" Dt"

(6)

(X

A "At" = -X"

Dx" '

Dw'x „ Ст­Іг + N'.v ■

Dx

В соответствии со вторым условием подобия однородные величины должны быть подобны, т. е.

= Cf;	Т w		1 с - - г " с"
Р'	Р" = г • —- = с ■	V" V'	X," v' V

А"

А Э' Сх и т. д.

Г

С»;

С а,

Выразим переменные второй системы через переменные первой и подставим в уравнения (б). При такой замене уравнения второй системы получим в следующем виде:

C°Ct a' V2f + Dz') C,2 Vt+CpCc

<*pP' '

dx Cw Dw' C, dx'

Dx' Cr

•(в)

1 Dp'

С, Dt' CWC, ( , Dt' , Dt' , Dt' ~7г ™ + — vv —- + wv - + w, — Ст Ox С, V dx' y dy'

С К, dw'x , dw'x , dw'r

Dz'

С Г

CBCfCag'XP'V

7 +

C„Ci p' Dx

VV:

Cf

Ct

CaC,<x'(At)' = Cx

■X'

Df

Dx'

Для подобных систем уравнения должны быть тождественны. На этом основании уравнения первой системы (а) должны быть тождест­венны уравнениям (в) второй системы. Для этого необходимо, чтобы комплексы из констант подобия в уравнениях (в) сократились, т. е. должны быть равенства

Ct _ CwCt _ CaCt ^___ С,

СрСс

Cf

Ст С/ Cf с2

С

СдСрС$

С.

Срсг

CaCt — с>

ЈL СІ'

Уравнения (2.43)—(2.45) — это и есть искомые условия подобия, которыми ограничивается произвольный выбор констант подобия. Рассматривая члены соотношения (2.43) попарно, получим

Ci CaCf СаС - /п л

-Jl. — __JLJ_5 или = 1; (2.46)

(2.43) (2.44) (2.45)

Ст С, Cf

CwCt CaCt „_„ CwCi J N Л*і

—=-7^-' или -7г-=1: (2-47)

Cj L-i L, a

Или r Cf;r - 1. (2.48)

Из соотношения (2.44)

Или (2.49) Ст С/' Сі

-^=С9СРСЭ, или 1; (2.50)

С I U'

■SJ—if-, или т^г=1; (2.51)

Или (2.52) С; С; Cv

Из граничных условий (2.45) получим равенство

(СЯС,)/СХ = 1. (2.53)

Подставим в уравнения (2.44) - (2.53) значения констант подобия, все величины сгруппируем по индексам и получим условия подобия двух систем в новом выражении:

А'Х' й"Х" йХ 17 - л п ^

Jj2y = Jj2y> или -|2-= Fo = idem; (2.54) w'/' vv'7" Wl

— = — или — = Ре = idem; (2.55) A a a

TOC o "1-3" h z Ч'ЛІ2)' Q'»(i2)" Qj2 qj2 О ..

. , , 1 , = „ „ „ . - , или ------------------------- — = —r— = Po = idem; (2.56)

A p cpAt a p Cp At apeR At К At

W'x' W" x" H'T

—^ или __ — Ho = idem; (2.57)

G' |У&'Г

Или 2 = idem; (2.58)

(Vv2)' (vv2)

P' p"

Или -------- j-= Eu = idem; (2.59)

P'(vv2)' p"(vv2)"' pvv

W'l' vv'T wl _

—— =——, или —= Re = idem; (2.60)

V v v

A'/' a"/" a/

Или — =Nu=idem. (2.61)

Уравнения (2.54) —(2.61) иллюстрируют основное свойство подобных между собой систем — существование особых комплексов неоднородных величин, называемых критериями подобия. Критерии подобия для всех подобных между собой процессов сохраняют одно и то же числовое значение. Нулевая размерность является основным свойством критериев подобия.

Критерии подобия принято называть именами выдающихся ученых. Так, критерий Fo называют критерием Фурье, Ре — критерий Пекле, Ро - критерий Померанцева, Ей — критерий Эйлера, Re — критерий Рейнольдса, Nu - критерий Нуссельта.

Если некоторая система основных уравнений содержит J критериев К, то, очевидно, условиям = idem, К2 ~ idem,= idem эквива­лентны условия Ki/Kj = idem, K2/Kj = idem и т. д. Отсюда следует, что критерии подобия можно комбинировать и при этом получать новые критерии подобия. Так, критерий Прандтля (Рг) может быть получен, как Pe/Re = (Wl/A):(Wl/V) — V/A = Pr; Pr = V/A. Другой важный критерий полу­чим, если в комплексе (2.58) умножением на Re2 исключим скорость: (GP&L/W2) Re2 = д30/3/v2 = Gr. Полученный критерий называют критерием Грасгофа Gr = G$§P/V2.

Критерии подобия можно получить для любого явления, для которого имеется аналитическая зависимость между переменными изучаемого явления. Физический смысл критериев следует из их записи, а также исходных уравнений, из которых они получены.

Критерии Fo, Ре, Ро являются критериями теплового подобия, а критерии Ей и Re — критериями гидромеханического подобия.

Критерий Фурье Fo = (ах)/12 имеет смысл обобщенного времени. Поэтому его называют числом тепловой гомохронности (однород­ности по времени; если для двух систем отношение (12/а) одинаково, то для них гомохронность переходит в синхронность). Критерий Fo характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими свойствами и размерами тела.

Критерий Померанцева Ро имеет смысл обобщенной интенсив­ности внутренних источников теплоты в условиях нестационарного температурного поля. Критерий Ро характеризует отношение количества теплоты, выделяемой в единицу времени в объеме 1 м2-1, к макси­мально возможному количеству теплоты, передаваемой теплопровод­ностью через единицу поверхности 1 м2 при толщине стенки I.

Критерий Пекле Ре = Wl/A является мерой отношения конвектив­ного и молекулярного переносов теплоты в потоке.

Критерий гидродинамической гомохронности Но характеризует ско­рость изменения поля скоростей течения среды во времени (ускорение поля w).

Критерий Грасгофа Gr = G$&L3/V2 является мерой отношения подъем­ной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости, к силе вязкого трения.

Критерий Эйлера Eu = р/(pvv2) характеризует подобие полей давле­ния и является мерой отношения сил давления и инерционных сил или, другими словами, — отношения перепада статических давлений в потоке жидкости к динамическому давлению.

Критерий Рейнольдса Re = (wl)/v характеризует гидродинамический режим потока, являясь мерой отношения сил инерции и сил вязкого трения.

Критерий Прандтля Pr = V/A является мерой подобия температур­ных и скоростных полей в потоке: при Рг = 1 и grad р = 0 поля темпера­тур и скоростей подобны: Dt/Dx = AV2T и Dw/Dx = vV2w, Критерий Пран­дтля составлен из физических параметров, поэтому сам является физи-

125

Ческим параметром. Для вязких жидкостей Pr > 1 и сильно зависит от

Температуры, для газов мало зависит от температуры и для данного газа определяется его атомностью. В соответствии с кинетической теорией газов величина Рг равна: для одноатомных газов — 0,67, для двухатомных — 0,72, для трехатомных - 0,8 и для многоатомных — 1,0. Для жидких металлов Рг « 0,005... 0,05, что объясняется высокой теплопроводностью металлов.

Критерии, представляющие собой безразмерную форму условий однозначности, называются определяющими. По существу, критериями подобия являются только определяющие критерии, составленные из заданных постоянных величин. Из этого следует, что понятие «определяющий» не является свойством, присущим определенным кри­териям. В этом смысле, например, комплекс ах/12 является не критерием, а обобщенной переменной или числом Фурье. Однако если по усло­вию задачи задано некоторое характерное время — пусть период коле­бания температуры окружающей среды т0, то ах0/12 будет критерием.

В задачах конвективного теплообмена Nu есть определяемая вели­чина, безразмерный искомый коэффициент теплоотдачи — число Нус - сельта. В задачах нестационарной теплопроводности в твердом теле [уравнение (2.40) при vv = 0 и граничных условиях (2.42)] аналогичный по форме комплекс а 1/Х является определяющим критерием Био Ві = а 1/Х. В отличие от числа Nu в критерии Био X — тепло­проводность твердого тела, а значение а входит в условия однознач­ности. Критерий Био характеризует отношение термического сопротив­ления стенки 1/Х к термическому сопротивлению теплоотдачи на поверхности (1/а), причем оба сопротивления заданы по условию задачи.

Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем.

Первая теорема подобия формулируется так. Подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подобия. Теорема устанавливает связь между константами подобия и позволяет выявить критерий подобия. Теорема, кроме того, показывает, что в опытах надо измерять те величины, которые содержатся в критериях подобия изучаемого явления.

Вторая теорема подобия устанавливает возможность пред­ставления интеграла как функции от критериев подобия дифференциаль­ного уравнения. Уравнение, представляющее зависимость между без­размерными параметрами (критериями), называется критериальным урав­нением

(Ки К2, ..., Kj) = 0 (2.62)

Вторая теорема подобия позволяет сократить число переменных в задачах теплообмена и тем самым существенно упростить их решение. В самом деле, как следует из дифференциальных уравнений тепло­обмена, коэффициент теплоотдачи есть сложная функция большого числа переменных:

« = /(*, Тж, Тс, X, Ср, р, р,/, J3,...).

В критериальной форме эта зависимость может быть представлена
уравнением, в котором число переменных значительно меньше

Nu = / (Re, Gr, Pr).

Для вынужденного движения, как будет показано ниже, Nu = = / (Re, Pr), для естественной конвекции Nu = / (Gr, Pr).

Для газа эти зависимости упрощаются и соответственно имеют вид Nu = /(Re), Nu = / (Gr).

В задачах нестационарной теплопроводности в твердом теле темпе­ратура определяется уравнением

T=F(K, с, р, /, х, а).

В безразмерном виде число переменных сокращается до двух:

0 = / (Fo, Bi).

Если вид функции уравнения (2.62) найден для частного случая, то полученный результат распространяется на бесчисленное множество подобных явлений.

Третья теорема подобия формулируется так: подобны те Явления, которые имеют подобные условия однозначности и одинако­вые определяющие критерии.

Теорема позволяет установить группу явлений, подобных изучаемо­му образцу, и заключается в установлении условий, необходимых и достаточных для того, чтобы другие явления были подобны первому. Третью теорему, установленную М. В. Кирпичевым и А. А. Гухмаиом, иногда называют обратной, в отличие от первой, прямой. Содержание этой теоремьі лежит в основе моделирования — метода эксперимен­тального изучения модели явления.