Рассмотрим три основные схемы мгновенных источников теплоты: точечный, линейный, плоский в бесконечном теле.

Действие мгновенного точечного источника в бесконечном теле

Пусть в бесконечном теле (теле, не имеющем границ) в начальный момент времени t = 0 в объем dxdydz [см{] (точечный источник), нахо­дящийся в точке 0 системы координат XFZ, вводится конечное количе­ство теплоты Q [Дж] (рис. 13.4, а). Нас интересует изменение темпера­туры в любой точке пространства в последующие моменты времени Т(х, у, 2, t), где Ху у у z - координаты произвольно выбранной точки А.

Процесс распространения теплоты в теле должен подчиняться диф­ференциальному уравнению теплопроводности

— = aV2T. dt

Начальные условия: в начальный момент времени t = 0 распределе­ние температуры в пространстве будет:

- в точке 0 согласно формуле (13.5)

- в остальных точках пространства

Г(лу, г, 0) = 0.

Граничные условия отсутствуют, так как тело не имеет границ. Решение этой задачи имеет вид

где R - пространственный радиус-вектор, характеризующий отстояние лю­бой точки тела (например, точки Л(х, у, г)) от источника теплоты: К1 = х2 + + У2 + г2-

Решение (13.22) получило название фундаментального решения общей теории теплопроводности. Анализ этого решения показывает, что процесс распространения теплоты является трехмерным, изотермические поверхно­сти представляют собой сферы с центром в точке 0.

Частный случай: действие мгновенного точечного источника на по­верхности полубесконечного тела.

В предположении, что граница X0Z полубесконечного тела (рис. 13.4,6) является адиабатической, т. е. не пропускающей теплоту:

— = 0. - решение этой задачи будет иметь вид

dz xoz зле

где множитель 2 указывает на отсутствие половины бесконечного тела при наличии адиабатической границы.