КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ТРЕЩИН ПО ГРИФФИТСУ

В начале 1920-х годов английский ученый Инглис получил пер­вое решение задачи о концентрации напряжений. Из него следова­ло, что малое эллиптическое отверстие в растянутой пластине соз­дает концентрацию напряжений с коэффициентом kn =1 + 2 • (t/p)1/2 (см. формулу (3.27)). Прежде специалисты по прочности конст­рукций не имели никакого представления о концентрации напря­жений, полагая, что действительные напряжения точно соответ­ствуют тем, которые вычисляются по методу плоских сечений сопромата, и условие прочности, записанное в виде amax < ас/п; все­гда справедливо. Здесь amax — максимальное номинальное расчет­ное напряжение; ас — критическое напряжение, разрушающее материал; п — коэффициент запаса по прочности.

Но с учетом концентрации напряжений эта формула имеет вид

КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ТРЕЩИН ПО ГРИФФИТСУ

max

(6.69)

В соответствии с новой формулой стакан с небольшой трещи­ной (р ^ 0) должен иметь нулевую прочность. Но каждый, кто дер­жал стакан с трещиной в руках, знает, что это не так!

Указанным противоречием в начале 1920-х годов заинтересо­вался молодой английский аспирант А. А. Гриффитс (A. A. Grif­fith). Он предположил, что одного силового условия по формулє (6.69) для разрушения хрупкого тела недостаточно. Чтобы дейст­вительно началось разрушение, нужно еще удовлетворить усло­вию сохранения энергии при продвижении трещины:

dU SW

(6.70)

где U — часть упругой энергии, накопленной в материале, кото­рая выделяется при разгрузке этого материала в областях, при­легающих к трещине в связи с ее продвижением; W — работа, затраченная на образование новых поверхностей материала при появлении трещины; L — длина трещины.

КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ТРЕЩИН ПО ГРИФФИТСУ

Рис. 6.33

Схема трещины длиной 2L, раскрытой напряжениями о0 на 2а (a), и график зависимости стягивающих напряжений на кромке трещины от ее раскрытия (б)

Условие (6.70) представляет собой обычное уравнение сохра­нения энергии: U - W = 0, но записанное для каждого малого уве­личения длины растущей трещины. Неравенство связано с тем, что упругая энергия U может тратиться не только на продвиже­ние трещины, но и на сотрясение испытательной установки, на­грев металла, на звук и т. п.

Проанализируем условие Гриффитса более подробно примени­тельно к малой по сравнению с размерами пластины трещине, схе­ма которой показана на рис. 6.33a.

Трещина длиной 2L под действием напряжений ст0 раскрыва­ется в центре на 2a; ст0 — это напряжения в аналогичной пласти­не, но без трещины.

Из решения упругой задачи о трещине следует, что она пре­вращается в эллипс. Поскольку коэффициент концентрации на­пряжений и деформаций бесконечен, бесконечные деформации превращают острую вершину трещины в дугу окружности. Обо­значим координату контура раскрытой напряжениями ст0 трещи­ны через y0. При изменении координаты x контур раскрытой тре­щины описывается уравнением

КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ТРЕЩИН ПО ГРИФФИТСУ

Нужно вычислить упругую энергию U, которая выделяется при раскрытии этой трещины.

Так как потерь энергии в этой задаче нет, выделяющаяся при раскрытии трещины энергия будет в точности равна той энергии, которую нужно затратить, чтобы стянуть берега этой трещины.

Представим, что мы это делаем с помощью ниток, точно так же, как зашиваем разрыв на своих брюках. Если приложить к бе­регам трещины стягивающие усилия, то берега трещины будут сходиться. Обозначим координату берега частично стянутой тре­щины при заданной координате х через у.

Когда у = у0, берега трещины свободны от напряжений: на них

Оу = 0.

Когда трещина будет полностью стянута: у = 0, ее влияние на напряженное состояние пластины исчезнет. Следовательно, в этом состоянии напряжение на берегах трещины: оу = о0. Так как пла­стина с трещиной упруга (задача линейна), перемещения должны быть пропорциональны напряжениям. Для получения этой зави­симости нужно на график нанести точки: (у = у0 , оу = 0) и (у = 0, оу = о0) и соединить их прямой линией, как это сделано на рис. 6.33б.

Пусть толщина пластинки равна единице. Тогда площадь тре­угольника, изображенного на графике, будет равна половине (так как у0 равно перемещению только одного берега трещины) иско­мой работы на единицу длины трещины. Запишем последнюю фра­зу в виде формулы:

1 _ du -°0 ■ У0

2 dx 2 .

Остается только проинтегрировать dU по всей длине трещи­ны 2L:

L L

U = 2 JdU = 2 ■ ст0 J"y0dx.

0 0

Из рис. 6.33a видно, что последний интеграл представляет со­бой 1/4 площади эллипса: (1/4) - л - a ■ L. Подставив это выраже­ние вместо последнего интеграла, получим

U = 2 ■ Ст0 ■ л ■ 4^L = 1 ■ °0 ■ л ■ a ■ L. (6.71)

В этой формуле нам неизвестно раскрытие в середине трещи­ны а. Но поскольку задача линейна, это перемещение берега тре­щины должно быть пропорционально напряжению о0, приложен­ному к пластине и обратно пропорционально модулю упругости Е. Кроме того, раскрытие трещины а должно быть пропорционально

длине трещины L, которая задает масштаб этой задачи. Все ска­занное можно представить в виде формулы:

a = A -^0• L, (6.72)

E

где А — пока неизвестный безразмерный множитель.

Из решения задачи теории упругости об эллиптическом отвер­стии в растянутой пластине следует, что A = 2. Подставив форму­лу (6.72) в формулу (6.71) для вычисления энергии U, получим

и=i-4"=*4Л

Дифференцируя это выражение по длине трещины L, получим производную, стоящую в правой части формулы (6.70):

§=2-*4l. (6.7з)

Остается вычислить правую часть формулы (6.70). При упру­гом материале работа, затрачиваемая на образование трещины, может быть связана только с энергией поверхностного натяже­ния у. Работа W должна быть равна у, умноженной на площадь новых поверхностей металла. Поскольку толщина пластины — единица, то площадь новых поверхностей металла (рис. 6.33а) рав­на 4L. Таким образом W = у - 4L, а производная в правой части фор­мулы (6.70):

= 4y

5L ъ (6.74)

Остается только подставить полученные производные (6.73) и

(6.74) в формулу (6.70):

ст2

2L = 4у.

E

Если это условие выполняется, то трещина будет распростра­няться. Поэтому назовем значение напряжения ст0, удовлетворяю­щее последней формуле, критическим напряжением и обозначим его ас. Вычислим его:

E ■ 2у

О =

T-L’ (6.75)

а раскрытие трещины a в ее центре составит:

2а = 2• ^2.ELj = 4• 60 • L. (6.76)

Раскрытие 2а в центре внутренней трещины длиной 2L в боль­шой пластине, растянутой до ст0, в два раза больше удлинения стержня длиной 2L при тех же напряжениях ст0.

Используя эту формулу, можно оценивать напряжения, вы­звавшие раскрытие трещины, обнаруженной в хрупком материа­ле по результатам измерения ее раскрытия 2а.

Основной вывод, который следует из формулы (6.74), заключа­ется в том, что при росте трещины (увеличении L), критическое напряжение ас быстро падает. Следовательно, тронувшись с места при ст0 = ас, трещина в конструкции с постоянными напряжения­ми ст0 будет распространяться с ускорением, неуправляемо, ката­строфически. Избыток выделяющейся из материала упругой энер­гии (dU/dL - dW/dL) при ст0 > ас, будет расходоваться на увеличение кинетической энергии берегов трещины. Именно в этом практиче­ская ценность формулы Гриффитса для критических напряжений.

Скорость распространения хрупких трещин может прибли­жаться к скорости распространения волн Релея. Амплитуда этих волн при удалении от поверхности затухает по экспоненте — та­кие волны образуют землетрясения. Они же передают кинетиче­скую энергию с берегов раскрывающейся трещины на ее вершину. Поэтому трещина не может двигаться со скоростью большей ско­рости волн Релея. Эта скорость близка к скорости поперечных зву­ковых волн с2:

КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ТРЕЩИН ПО ГРИФФИТСУ

где E и G — модуль нормальной упругости и модуль сдвига; pFe — плотность железа.

Получив формулу (6.74), Гриффитс решил проверить ее при разрушении стекла. Он стал сам выдувать из стекла цилиндриче­ские трубочки и сферические колбочки различного размера, за­тем алмазом и последующими легкими ударами делал в них раз­ной длины трещины. Он тщательно измерял длину полученных трещинок и нагружал эти колбочки и трубочки внутренним дав­лением. Получив значение разрушающего давлениярс, вычислял экспериментальные значения критического напряжения по из­вестным формулам: p, r

— для тангенциальных напряжений в трубочках;

Рс ■ R 2 • t

— для напряжений в сферических колбочках.

Здесь R — радиус; t — толщина стенки.

Гриффитс сравнивал эти напряжения с вычисленными по фор­муле (6.75). Теория была блестяще подтверждена экспериментом.

С тех пор (1925) Гриффитс получил всемирную известность. Практически и в настоящее время, через 80 лет, нет такой науч­ной статьи или книги по разрушению материалов, в которой не было бы ссылки на эту работу аспиранта Гриффитса.

В задаче рис. 6.33 трещина увеличивала свою длину в обе сто­роны. Если ограничиться механизмом распространения трещины только в одну сторону (например, в случае поверхностной трещи­ны), то 3U/3L будет в два раза меньше, и dW/dL — тоже. Формула

(6.75) остается справедливой.

Величины производных от упругой энергии U и работы W по длине трещины в формулах (6.73) и (6.74) имеют размерность силы на единицу длины фронта трещины. Поэтому:

■ 3U/3L называют «силой, распространяющей трещину» и в честь Гриффитса обозначают буквой G (не путать с модулем сдвига G);

■ SW/SL называют «критическим значением силы, распростра­няющей трещину» и обозначают Gc.

Из приведенных выше формул следует, что для малой сквоз­ной трещины в пластине

КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ТРЕЩИН ПО ГРИФФИТСУ

(6.77)

(6.78)

и для хрупкого материала

Gc = 2 - у.

(6.79)

C учетом этих обозначений исходный критерий Гриффитса

(6.70) для распространения трещины приобретает вид

G > Gc.

Формулу (6.79) называют «энергетическим критерием разру­шения» . При этом подразумевают, что силу G, распространяющую трещину, можно вычислять не только для малой трещины в сквоз­ной пластине по формуле (6.77), но и для любой другой конфигу­рации детали и трещины в конструкции, например интегрируя упругую энергию по ходу решения задачи методом конечных эле­ментов. Кроме того, при использовании критерия (6.79) нужно иметь в виду, если разрушение сопровождается пластической де­формацией поверхностей трещины, то при вычислении Gc по фор­муле (6.78) величину работы на пластическую деформацию нужно

суммировать с энергией поверхностного натяжения. При хрупком разрушении металлов энергия поверхностного натяжения 2у обыч­но очень мала, по сравнению с работой, затраченной на пластиче­скую деформацию металла берегов трещины.

Условие Гриффитса (6.79) основано только на законе сохране­ния энергии. Поэтому оно справедливо для оценки условий ката­строфического (нестабильного) распространения любых трещин, в том числе с вязким, усталостным или коррозионным механиз­мом разрушения материала. Таким образом, критерий (6.70) или

(6.79) имеет гораздо более широкую область применения, чем фор­мула (6.75), которая справедлива только для малых трещин и толь­ко в случае очень малой пластичности материала.

Оставить комментарий