Наиболее распространенными методами моделирования систем управления на ЦВМ являются так называемые численные методы.

Ри пользовании этими методами исходная система дифферен­циальных уравнений, описывающая движение системы, приводится

к системе уравнений в нормальной форме Коши (уравнения состо­яния) вида

*=//(*, х2, ... , х„),

которые заменяются приближенными уравнениями в конечных раз­ностях

(*, хи Хи... , Хп)

и' каждое решается шаг за шагом одним из численных методов.

В математическом обеспечении ЦВМ имеется достаточно числен­ных методов, каждый из которых имеет свой алгоритм вычислений. Их можно разделить на две основные группы: методы с обособлен­ными шагами интегрирования (одношаговые методы) и методы со связанными шагами интегрирования (многошаговые методы).

Многошаговые методы (метод Адамса и др.) неудобны для иссле­дования нелинейных систем управления, н в частности АСУ ЭП, в большинстве своем представляющих собой нелинейные системы с переменной структурой или такие системы, которые весьма часто вызывают необходимость изменения в процессе расчета шага интег­рирования. В этом случае численное интегрирование многошаговыми методами с автоматическим выбором шага или с переменным шагом интегрирования иа ЦВМ требует пересчета значений величин в не­скольких точках по большим программам, что приводит к дополни­тельной большой затрате машинного времени.

Среди одношаговых методов наибольшее распространение полу­чил метод Эйлера (метод ломаных), усовершенствованный метод Эйлера—Коши, метод Рунге—Кутта (четвертого порядка) [24]. Все эти методы по своей структуре являются методами параллель­ного типа.

В последние годы в ЛЭТИ им. В. И. Ульянова (Ленина) профессо­ром А. В. Башариным разработан новый алгоритм численного ме­тода последовательного типа, имеющий рид преимуществ по срав­нению с упомянутыми выше широко известными методами и полу­чивший признание в GCCP и за рубежом [3, 4].

Алгоритмы упомянутых выше мегодов заключаются в следующем.

Пусть дана система дифференциальных уравнений

~ ї1 (^ * ^1* ^2» » -^ч)»

^ “ /2 (^i ^1» Х%, ... ,

rfi — fn(t, ^1» • ■ • » ^n)

с начальными условиями

Xi (to) = X oi (fo) — Xa,0» ■ ■ ■ * xn (^o) “ ЯлО'

Выбрав достаточно малый шаг Дt, строят систему равноотстоя­щих точек U = tQ + i&t, где / = 0, 1, 2 ... Тогда алгоритм каждого из упомянутых выше методов для системы обыкновениях диффе­ренциальных уравнений сводится к вычислениям в каждой точке і по следующим нижеприведенным формулам.

tO-6-t, МЕТОД ЭЙЛЕРА (МЕТОД ЛОМАНЫХ)

Метод Эйлера очень прост, не имеет итераций. Его формула для решения системы дифференциальных уравнений имеет вид

X) і = •*•/. <_1 (h—і* %і, і—і> і—і» ••• » Я/, £-i> і %n, і—i)* (10-19)

т/е. приращения искомой координаты определяются по ее произ­водной в начале шага интегрирования.

Метод Эйлера обладает малой точностью н дает систематическое накопление ошибок.

Модификация метода Эйлера (усовершенствованный метод лома­ных) заключается в определении приращения координаты по про­изводной в средней точке шага интегрирования.

Вначале по формуле (10-19) определяется значение функции

Xj, i~4z “ %j, і—1 “Ь 2 -^1 і—1 * » %п, і-і)>

Затем по той же формуле вычисляется окончательное значение функции

Xj. і = xj. ,'-i Atfj A'l, Xfit i—i/t). ,

10- 6-2. УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА—КОШИ С ИТЕРАЦИЯМИ

Для начального приближения вычисление ведется по формуле 00-19) ‘ ,

— xj. г-i "Ь (U-ъ Xi i-ii ■ ■ ■ > Хп, і-і)»

а затем по итерационной формуле

*м“х/.м+‘г" [&№-», *ч-і.....................................................

+ xk, Tl) (|0-2°)

ГДе / = 1, 2, 3, ..., п — номер уравнения системы; і — 1,2, 3... — номер точки, в которой производится вычисление (порядковый номер шага интегрирования); к — 1, 2, 3... — номер итерации.

10- ^-3. МЕТОД РУНГЕ—КУТТА (ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА) Алгоритм метода заключается в вычнсленнях по формуле

*/.<■=*,.1-1+3 (Aft+2*J:’2 + 2A};>3+ *};>,],. (10-2!)

где j — номер уравнения; і — номер точки, в которой численно интегрируется система.

В уравнении (10-21) коэффициенты Рунге—Кутта имеют следу, ющие значения:

і “ (^«-1» xi. ы> • ■ ■» хп, i-i); 10-6-4. МЕТОД А. В. БАШАРИНА

Этот метод, подобно методу Эйлера—Коши, относится к группе методов с итерациями. Его формула для решения системы диф­ференциальных уравнений имеет вид

■], (Ю-22)

I где /, і и k имеют указанные выше значення (номер уравнения

номер точки, номер итерации).

Приведенный выше алгоритм нового численного метода по­следовательного типа может быть рекомендован в качестве ма­тематического обеспечения ЦВМ наравне с другими численными методами. Метод имеет порядок точности, равный 2, и обеспечи­вает точность решения, лежащую между точностью, присущей усовершенствованному методу Эйлера—Коши, н точностью, при­сущей методу Рунге—Кутта (четвертого порядка). По устойчи­вости машинного решения метод не уступает методу Эйлера— Коши, лучше метода Эйлера и несколько хуже метода Рунге—Кутта (четвертого порядка). По затратам машинного времени, рассма­триваемый метод аналогичен методу Эйлера—Коши и обеспечивает в 2—3 раза меньшую затрату времени, нежели метод Рунге— Кутта. Метод последовательного типа свободен от ряда погреш­ностей, вносимых процедурами вычислений численных методов параллельного типа. Но главным достоинством этого численного метода последовательного типа является его инверсиость, что позволяет с енять его для решения задач синтеза

нелинейных

Следует иметь в виду при пользовании итеративными методами, что практически число итераций не следует брать более двух. - Обычно при правильно выбранном шаге интегрирования второе приближение обеспечивает достаточную точность получаемых ре - зультатов. В случае недостаточной достигаемой точности расчетов

дует не увеличивать число итераций, а уменьшать выбранный шг интегрирования, что обеспечивает меньшую затрату машинного Ішемени на выполнение вычислений.

При выполнении исследований, расчетов и проектирования АСУ ЭП на ЦВМ постановка задачи определяет и выбор рациональ­ного метода. Основными свойствами численных методов, опреде­ляющих целесообразность использования того или иного алго­ритма при решении какой-либо задачи анализа или синтеза на ЦВМ, являются точность, устойчивость машинного решения, затрата машинного времени, структура алгоритма, дающая воз­можность использовать его для решения широкого класса разно­образных, по постановке задач.

Для исследования, расчетов и проектирования АСУ ЭП не сле­дует рекомендовать применение метода Эйлера ввиду его неточ­ности (ошибка в первом-втором знаке и систематически накапли­вающаяся ошибка при расчете). Нецелесообразно также примене­ние метода Рунге—Кутта. Этот метод весьма точен, дает ошибку при расчете с допустимым по устойчивости машинного решения шагом интегрирования в восьмом-девятом знаке. Такая точность при расчетах автоматических систем управления не требуется, так как ошибка в описании физических явлений в системе уравне­ниями состояния, при задании характеристик н параметров си­стемы на несколько порядков больше. Вместе с тем использование метода Рунге—Кутта приводит к неоправданно большой затрате машинного времени; наконец, этот метод не пригоден для решения обратной задачи —■ синтеза систем уравнений.

Наиболее целесообразно для моделирования АСУ ЭП приме­нение методов второго порядка точности (Эйлера—Кошн, А. В. Ба­шарина), дающих ошибку в третьем-чегвертом знаке. Однако, учитывая свойства структуры алгоритма последовательного типа, следует отдать предпочтение методу А. В. Башарина, что позво­ляет решать прямые и обратные задачи, т. е. производить анализ и синтез систем на базе единой математической основы.