На рис. 2.2 показана призма, расположенная в начале систе­мы координат (хь ух, z^, полученная путем рассечения паралле­лепипеда с малыми ребрами dx^ dyx, dz1 наклонной плоскостью на две части. Из рисунка видно, что вертикальные грани x1, z1 и горизон­тальная грань у1 имеют площади:

dyi • dzi

dF — dz1 dFy1 — 2

dxi

dx1 dFzi ——1

dyi

dFxi —

(2.6)

Рис. 2.2 Схема внутренних сил на наклонной площадке

Будем считать, что на этих гранях уже заданы значения всех напряжений: Cxixi, Cxiyi, axizi на площадке площадью dFxi. ^yixi, Gyiyi, CTyizi на площадке плотттадью dFyi. Czixi, Cziyi, ^zizi на пло­щадке площадью dFzi. Чтобы не затемнять рисунок, эти напряже­ния не показаны. (Однако если возни­кают малейшие сомнения, то их следует самостоятельно нарисовать в центрах перечисленных граней в виде векто­ров, идущих от центра соответствую­щей площадки.)

Ввиду малости размеров призмы, напряжения на ее гранях можно счи­тать распределенными равномерно.

В центре наклонной грани призмы расположена система декартовых ко­ординат (x2, У2, z2), причем оси У2 и z2 лежат в плоскости этой грани, а ось x2 нормальна к ней. Следовательно, на-

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

клонное сечение можно назвать x2. Площадь этой грани dFx2 мож­но легко вычислить, если учесть, что dFx1 является проекцией dFx2 на вертикальную плоскость:

,,, dFx1

dFx2 - 0OS(X,- Х2)• (2'7>

Требуется найти напряжения ox2x2, ox2y2, ox2z2, действующие на наклонной площадке dFx2.

Сначала целесообразно вычислить усилия, показанные на рис. 2.2 светлыми векторами. Из уравнений равновесия получим:

Nxi-	Gxlxl	* dFx1 + CTyixl	* dFyi + Ozlxl	* dFzi,
Nyi-	= Oxlyl	* dFx1 + CTylyl	* dFy1 + °ziy1	* dFzi,	(2.8)
Nzi -	~ ®xlzl *	dFx1 + CTylzl *	dFy1 + °zizi *	dFzi.

Далее полученные усилия нужно спроектировать на оси коор­динат (x2, y2, z2) и вычислить усилия Nx2, Ny2, Nz2 как суммы соот­ветствующих проекций. Поделив эти усилия на площадь наклон­ной площадки dFx2, получим искомые напряжения. Но в этих вычислениях будет фигурировать много косинусов различных уг­лов между координатными осями. Для сокращения целесообраз­но ввести сокращенные обозначения этих косинусов:

оси	Xl	У1	2i
X2	h	mi
У 2	12	m2	^2
Z2	h	тз	tt3

С учетом этих обозначений можно записать:

Nx2 = Nx1 ' l1 + Ny1 ' m1 + Nzi ' n1,

Ny2 = Nx1 ' l2 + Ny1 ' m2 + Nz1 ' n2, (2.9)

Nz2 = Nx1 ' l3 + Ny1 ' m3 + Nz1 ' n3.

Перейдем к напряжениям. Для этого силы N;, действующие на площадке x2, нужно поделить на площадь этой площадки dFx2. Кроме того, для сокращения формул сразу учтем, что:

(Fk. - г (Fk _ m (fk _ n

dFx2 ^ dFx2 1, dFx2 Щ.

Если подставить значения сил из (2.8) в (2.9) и поделить на dFx2, выражения для напряжений примут вид:

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

^x2x2 ЛТ1 (°x1x1 * ^1 ^y1x1 * m1 +®z1x1 * n)*11 ^

dFx2 y

+ (cx1y1 *1 + cy1y1 ,m1 + cz1y1 *n1) *m1 + (cx1z1 *1 + cy1z1 ' m1 + cz1z1 *n1)*n1;

_ Ny2 _

^ x2y2 _ лт? _ (Cx1x1 * ^1 ^ ^y1x1 * m1 ^ ^z1x1 * n1) * ^2 ^ dFx2

+ (cx1y1 * ^1 + cy1y1 * m1 + cz1y1 * n1) * m2 + (cx1z1 * ^1 + cy1z1 * m1 + cz1z1 * n1) * n2;

^ x2x2 _ лті _ (^x1x1 * ^1 ^ ^«1x1 * m1 ^ ^z1x1 * n1) * ^3 ^ dFx2

+ (cx1y1 *1 + cy1y1 *m1 + cz1y1 *n1) *m3 + (cx1z1 *1 + cy1z1 ' m1 + cz1z1 *n1)*n3-

Задача решена. Но чтобы привести эти формулы к обычному для литературы виду, сгруппируем косинусы, вынося за скобки напряжения.

°x2x2 = °x1x1 •12 + Vy1y1 ■ m1 + °z1z1 • + Vy1x1 + °x1y1) ' ^1 ' m1 +

+ (^y1z1 + ®z1y1) • m1 • n1 + (°x1z1 + °z1x1) • n1 • ^1 ;

CTx2y2 = CTx1x1 • ^1 • ^2 + CTy1y1 • m1 • m2 + CTz1z1 • n1 • n2 +

+ (°x1y1 • ^1 • m2 + °y1x1 • m1 • У +

+ (<Sy1z1 • m1 • n, +Oz1y1 • n1 • m2) + (CTx1i1 • І1 • n2 + °z1x1 • n • U; (2.10)

CTx2z2 = CTx1x1 • h • k + ay1y1 • m1 • m3 + CTz1z1 • n • n3 +

+ (°x1y1 • h • m3 + ^«1x1 • m1 • У +

+ (^y1z1 m1 n + ^z1y1 n •m)+(^x1z1 n + ^z1x1 n •y.

Для плоского напряженного состояния из формул (2.10) сле­дует исключить все напряжения с индексами z1, z2 и косинусы n3, 13 и m3:

CTx2x2 ~ax1x1 '12 + CTy1y1 ' ml + (CTy1x1 +CTx1y1) ' ^1 ' m1;

CTy2y2 = CTx1x1 '12 + CTy1y1 ' m^ + (CTy1x1 + CTx1y1 ) ' ^2 ' m2;

CTx2y2 = CTx1x1 ' ^1 ' ^2 + CTy1y1 ' m1 ' m2 + (CTx1y1 ' ^1 ' m2 + CTy1x1 ' m1 ' 12);

CTy2x2 = CTx1x1 ' ^2 ' ^1 + CTy1y1 ' m2 ' m1 + (^x1y1 ' ^ m + ^«1x1 ' m2 ' 11).

Формулы для oy2y2 и CTy2x2 получаются из формул для ax2x2 и ax2y2 простой заменой 11, m1 на 12, m2 и наоборот. Из двух послед­них формул (2.11) видно, что CTx2y2 = CTy2x2.

Запись формул в виде (2.10) и (2.11) удобна при вычислениях на компьютере. При ручном анализе формулы (2.11) целесообраз­но привести к более понятному виду. Обозначим нормальные на­пряжения через стг, касательные — т^, 11 — cos0 (рис. 2.3):

11 = cos(0); mj = sin(0);

12 = - sin(0); m2 = cos(0).

Рис.2.3 Схема вычисления напряжений на наклонной площадке в двумерном случае

Тогда формулы (2.11) приводятся к виду:

°х2 = ст*1 • cos2 0 + СТуі • sin2 0 + тхіуі • sin20; CTy2 = CTxi • sin2 0 + CTyi •cos2 0 - Txiyi • sin 20;

(2.12)

yl

• cos20--

sin20.

2

^x2y2 ^xlyl

Большинство практических инженерных задач двумерны. В частности, задачи о концентрации напряжений обычно реша­ются в полярных или криволинейных координатах. Если нужно оценить суммарное поле напряжений от двух концентраторов, то приходится сначала в каждой задаче привести по формулам (2.11) напряжения к единой глобальной системе координат, а затем сум­мировать одинаковые компоненты напряжений. Поэтому на прак­тике обычно нужны не формулы (2.11), а формулы (2.12). Чтобы их не запоминать, следует самостоятельно освоить их получение из условий равновесия треугольного элемента, изображенного на рис. 2.3.