6.3.1.

ОЦЕНКА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ НА ОТРЫВ И ЭНЕРГИИ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ СТАЛИ[4]

В верхней части рис. 6.30а условно изображена кубическая кристаллическая решетка с размером ячейки а, которая растяги­вается нормальными напряжениями ах. Разрушение ожидается по плоскости С—С.

Рис. 6.30 Схема грубой оценки теоретической прочности металла на отрыв

Будем считать, что ax распределены равномерно и все атомы (точнее — ионы, перемещающиеся в электронном газе), располо­женные по обе стороны плоскости С—С, взаимодействуют друг с другом одинаково.

В первом, самом грубом, приближении рассмотрим взаимодей­ствие только пары атомов, показанных на рисунке зачерненными кружками. В ненагруженном состоянии эти атомы находятся на расстоянии а. При возрастании ax это расстояние увеличивается до х, как показано в средней части на рис. 6.306. При этом атомы притягиваются друг к другу электростатическими силами, потен­циал которых зависит от x как A/x, где А — некоторая постоянная. С другой стороны, при сжатии атомы, находящиеся на расстоянии x < а друг от друга, начинают наталкиваться друг на друга своими электронными оболочками. Возникают силы отталкивания. В пер­вом приближении предположим, что потенциал сил отталкива­ния зависит от х как В/x9, где В — неизвестная постоянная.

Совместим начало координат с атомом, находящимся слева на рис. 6.30б, и будем считать его неподвижным. Тогда потенциал правого атома можно представить формулой

(6.58)

ui --+в

x x9

Здесь и далее цифра 1 добавлена к обозначению переменной U для того, чтобы подчеркнуть, что эта переменная вычисляется для одного атома.

На графике рис. 6.30в зависимость потенциала от расстояния х представлена сплошной кривой. Члены, составляющие U1, пока­заны пунктиром. Чтобы график имел безразмерные координаты, U1 отнесено к произведению E ■ а, а расстояние х — к параметру решетки а. Здесь Е — модуль упругости.

Как известно, сила, действующая в каком-либо направлении, определяется как производная потенциала по этому направлению. Поэтому проекция на ось х силы взаимодействия рассматривае­мого атома с неподвижным атомом F1X определяется по формуле

PI =U _ 91B_

х дх х2 х10 . (6.59)

Площадь поперечного сечения С—С, на которую приходится эта сила, составляет а2. Следовательно, напряжения ах = Р1х/а2:

-а9^. (6'60>

Для вычисления постоянных A и B нужно составить два урав­нения граничных условий. Первое можно получить из условия равновесия правого атома при х = а. При этом ах = 0. Подставив в формулу (6.60) вместо х параметр решетки а и приравняв резуль­тат нулю, получим:

A 9 • B п

■ °. (661>

Второе граничное условие можно получить из определения модуля нормальной упругости как производной от напряжений ах по деформации ех при х, стремящемся к параметру решетки а:

E =fei <£■£) • <6.в2)

х / х^а V х у х^а

Деформацию ех можно вычислить как:

Єх = ln (х (,

тогда

дех = 1,

дх х’

а производная от координаты по деформации, входящая в форму­лу (6.62), составит:

дх _

я х.

дех

Подставив это выражение в формулу (6.62) и взяв производ­ную от выражения (6.60), получим

х Э І	A	9 • B
_а2 Эх	х2	х10 /J

E = |Э! х.х Эх

2. A + 90. B ________

а4 + а12 . (6.63)

Система уравнений (6.61) и (6.63) для вычисления постоян­ных A и B может быть записана в виде

A • а8+ 9 • B = 0;

2 • A • а8+ 90 • B = E • а12, откуда, решив первое уравнение относительно B и подставив это решение во второе уравнение, получим:

2• A• а8 -10• A• а8 = E• а12;

A = - B = -

E • а4.

8 ’

A • а8 E • а4 а8 E • а12

9 8 9 8 • 9

Подставив значения постоянных A и B в формулу (6.60), най­дем выражение для вычисления напряжений:

(6.64)

E • а4 9 • E • а12 E

а* =

8 • а2 • х2 8 • 9 • а2 • х10 8

Теоретическую прочность Sn найдем как максимум функции

n

(6 64): dax _ E f 2 • а2 t 10 • а10 і 0

dx _ 8 1 a + 11 '_0,

откуда критическое положение правого атома может быть вычис­лено по формуле

*с = 810' а = ^5 • а.

Деформация в момент достижения критического состояния:

=ln I ч J=ln [ ^ J= 8 •ln(5)=0,2012.

Критическая деформация достигает 20%!

Подставив значение хс в формулу (6.60) для напряжений, най­дем теоретическую прочность металла на отрыв:

о E ( а2 а10 E ( 1 1 E

Sn Г-Ч

n8 или

(8/5 • а)2 (8/5 • а)10

8 ^4/5 5• 4/5) 10• 4/5’

E

S =

n 14,95' (6.65)

Для низкоуглеродистой стали теоретическая прочность на от­рыв составит:

9 1.1 П4

Sn - -1400 кг/мм2. (6.66)

В монографии Д. МакЛиина «Механические свойства метал­лов» (1965) приводятся результаты испытаний железных «усов»

диаметром 1,6 мк на растяжение. Верхний предел текучести со­ставил 1340 кГ/мм2, что всего на 4% меньше значения Sn, полу­ченного выше расчетом. Конечно, столь высокая точность есть ре­зультат случайности. Следует учитывать, что абсолютно точная центровка такого образца конической формы, как «ус», малове­роятна. Наверняка, был некоторый изгиб и концентрация напря­жений у захватов.

Но, несмотря на грубость и примитивность изложенной выше расчетной схемы, она дает качественно верное представление о действительном уровне прочности межатомных связей.

Теоретическая прочность — не фикция, а реально достигае­мое при хрупком разрушении металла локальное напряжение.

Теперь по изложенной грубой расчетной схеме оценим энер­гию поверхностного натяжения металла у. По физическому смыс­лу это энергия, необходимая для создания единицы поверхности. Чтобы разорвать металл по плоскости С-С, нужно на каждый атом затратить работу:

AU1 = -[U1(*=a) - U1(x^M)] = U1(x=a).

При этом на каждый атом образуются две площадки новых по­верхностей с площадью 2a2. Используя формулу (6.58), получим:

_U1(x=a) = A, B = _E■ a4 , E■ a12 = _E■ a (6 67) Y 2 ■ a2 2 ■ a3 2 ■ a11 2 ■ a3 ■ 8 2 ■ a11 ■ 8 ■ 9 18.(6.67)

Для низкоуглеродистой стали поверхностное натяжение соста­вит:

(2 104) • (2,866 10-7) о1ощ4 т/ ooin5 т - / 2

у = -------------------------- ^ = 3,18 10 4 кГ/мм = 3,2 10 5 кГ м/см2.

18

Это в 100 тысяч раз меньше удельной работы, наблюдаемой при разрушении образцов Менаже при испытаниях на ударную вяз­кость, критическое значение которой часто равно 3 кГ/см2.

При хрупком разрушении стали затраченная на разделение поверхностей излома удельная работа (2 • у) исчезающе мала по сравнению с работой, затраченной на пластическую деформацию металла, окружающего поверхности излома.

Примечание. В литературе обычно для поверхностного натяже­ния используют значение:

V —G b—E a'J3/2 — E a

V 8 2,6 8 24,

что на 33% меньше полученного по формуле (6.67) значения. Веро­ятно, что E ■ a/24 точнее. Но чтобы не нарушать связности изложе­ния, далее будем использовать формулу (6.67).