Задача решается в той же системе эллиптических коорди­нат (3.4). Но контур выточки описывается уравнением:

(3.19)

и = и0 = const.

На рис. 3.9 показана бесконечная пластина с отверстием, кон­тур которого описывается эллиптической координатой и0 = л/16. Растягивающие усилия Px вызывают в сечениях, удаленных от выточки, равномерно распределенные напряжения ax = p.

Острота концентратора (t/р) связана с координатой и0 формулой

— = cth2(u0). (3.20)

Р

На основании формулы (3.20) гиперболические функции, опи­сывающие контур выточки, это:

(3.21)

Рис. 3.9 Мелкая эллиптическая выточка: и0 = я/16; t = ch(u0)

Если полуширина пластины b » t, и толщина ее d, то параметр p можно определять по формуле

Р = 2■ (b-t)• d • (3.22)

Функция напряжений для бесконечной растянутой пластины с эллиптическим отверстием имеет вид:

(3.23)

F = ^-{1 + ch(2и) + 2A ■ и + C ■ e и • sh(и) + [-ch(2u) -1 + 8

+ 2B ■ e~2и + 2C ■ еи ■ sh(^] ■ cos(2u)},

где постоянные интегрирования, определенные из граничных ус­ловий:

A = -1 - ch(2u0);

B = -

Є2и0 3 е4и0

Т" + 4

4 ’ (3.24)

C = 1 + е2и0.

Для распределения напряжений у Нейбера есть только две фор­мулы:

(3.25)

(о„ )и-и0 = ' [sh(2uo) -1 - е2и0 • cos(2u)];

p ch(2u)

eu° ,2u

(e2u° - 3) ■

(°v )v =я/2 = Р +

1 +

к=-

-1 + 2

(3.27)

к/2 ґ 2 sh2(u) le2 (3.26) Формула (3.25) позволяет вычислить напряжение, которое растягивает контур выточки рис. 3.9 (u = u0) в любой его точке (0 < v < л/2). Формула (3.26) дает распределение максимальных нормальных напряжений в минимальном сечении (v = ±л/2; x = 0; °v = °x = °1). Обе формулы позволяют определить коэффициент концентра­ции напряжений: К )v-л/2; u-U0

+ ch(u0) ■ cth(u)

■я.

cth(u)

Рис. 3.10 Зависимость коэффи­циента концентрации напряжений от остроты мелкой внутренней выточки

Эта формула очень проста, и ее следует помнить для оперативной приближенной оценки коэффициентов концентрации на­пряжений у дефектов сварных соединений.

На рис. 3.10 эта формула представлена в виде графика. Сопоставляя его с рис. 3.7, можно видеть, что с увеличением t/p коэф­фициент концентрации напряжений растет быстрее, чем у внешней выточки.

Кроме того, полезно запомнить, что для круглого (t = p) отверстия любого радиуса в большой (b » p) детали при растяжении из формулы (3.27) следует, что k0 = 3.

Но формулы для напряжений au Нейбер не приводит. Однако путем дифференциро­вания функции напряжений (3.23) в соответ­ствии с формулами (3.11) можно получить для минимального сечения (x = 0) следую­щие выражения:

х3 +х

(ф2 - ф-3)н------ н 1

ф

(3.28)

вц = Р ■А -[-х3 +Х'(ф2 +Ф + 1)-ф2 - ф],

где:

фЧі,

ф

А = -

(ф-1) .(ф2-1)>

(3.29)

Ц -1

У1 =

Х =

Тц2

+ Ф2 -(2ц1 +1)

Ц1 +ф2

у края эллиптического отверстия с t/p = 5 при растяжении

Рис. 3.12 Распределение жесткости напряженного состояния в минимальном сечении у эллиптического отверстия при растяжении

Как видно из последней формулы, у1 отличается от координа­ты у рис. 3.9 тем, что она отсчитывается от контура отверстия в минимальном сечении вглубь материала и отнесена к радиусу кри­визны эллипса в минимальном сечении.

Распределение напряжений в минимальном сечении у эллип­тического отверстия остротой t/p = 25 при растяжении пластины в направлении оси x показано на рис. 3.11.

Общий характер эпюр напряжений ax, ау, az и стг аналогичен характеру эпюр, приведенному на рис. 3.6. Но коэффициент кон­центрации напряжений существенно больше.

Заметим, что жесткость напряженного состояния достигает мак­симума на расстоянии примерно 3р от поверхности отверстия. Наи­более жесткое состояние материала всегда находится под поверхно­стью надреза, и в этом месте обычно зарождаются хрупкие трещины.

На рис. 3.12 зависимость жесткости напряженного состояния от координаты показана в более широком интервале изменения координаты y1.

Видно, что при у1 > 3р жесткость напряженного состояния Г| уменьшается. На расстоянии 50р = 2t от края отверстия г| уже мало отличается от ее предельного значения 1,125. Поэтому можно ут­верждать, что возмущение напряжений в растянутой пластине практически полностью затухает на расстоянии размера (2t) этого отверстия от его края.