Если уравнение баланса потока импульса (количество движения, представляю­щего собой произведение массы на скорость, оно также известно как уравнение дви­жения) составляется для фиксированного объема Дх • Ау ■ Az в декартовой системе координат, то оно имеет вид:

Изменение импульса за единицу времени (поток импульса)

I Входящий импульс за едини - 1 цу времени (поток импульса)

Исходящий импульс за единицу времени (поток импульса)

(4.7)

Силы, действующие на систему

+ ду

В расчет необходимо принимать поверхностные силы, импульс, проносимый че­рез пространство равновесия, а также силы давления и гравитации. Например, со­ставляющая течения в направлении оси х может быть представлена уравнением [ 1 ]

5Tpv* = -iax pv*v

(4.8)

др

д д

дг дх Pgx

дх Х*х + ду "Ух

Рис. 4.1. Направление компонентов напряжения, действующих на частицу жидкости в пря­моугольном канале

х - направление течения

Определения компонентов всегда симметричного тензора добавочных напряже­ний показаны на рис. 4.1. Здесь первый индекс указывает ось координатной системы,

проходящую через плоскость, в которой действует напряжение, а второй индекс ука­зывает направление, в котором действует это напряжение.

Переписав уравнение импульса с использованием векторной и тензорной симво­лики, получаем:

Ут

(4.9)

*pv Изменение импульса за единицу времени на единицу объема

- (Vp•v•v)

Поток импульса за единицу времени на единицу объема

Vp

Силы давления, действую­щие на единицу объема рассматриваемого элемента

fg

Изменение поверхностных сил, действующих на единицу объема за единицу времени

Гравитационные силы, действующие па единицу объема рассматриваемого элемента

Здесь g — вектор ускорения свободного падения.

Уравнение (4.9) может быть переписано следующим образом:

Dv,.

др дх

drv

Эх

ух

Рёх

дх

ду

dz

Dt

(4.10)

Уравнения для компонентов в направлении осей у и z получаются аналогично.

Таким образом, получаем следующее уравнение:

Dv

Р “ “VP - v*+p£ (4.11)

Отсюда следует, что элемент массы, движущийся в потоке, ускоряется под воз­действием приложенных к нему сил. Это уравнение соответствует известному вто­рому закону Ньютона, утверждающему, что произведение массы на ускорение равно сумме сил, действующих на элемент. Подобно уравнениям (4.3) и (4.5) уравнения

(4.9) и (4.11) эквивалентны; однако положение наблюдателя в каждом конкретном случае различно.