При упруго-пластическом решении задачи пластина также раз­бивается на кружки с одинаковыми или различными радиусами. Вначале находят упругое решение в предположении, что пластина бесконечная, не содержит отверстий и свойства металла во всех точках одинаковы. (Упругое решение может быть введено в ЦВМ также после получения его аналитическим способом.)

Для упруго-пластического решения задачи необходимо назна­чить свойства металла отдельных зон через диаграммы зависи­мости действительных напряжений от действительных деформа­ций. Для удобства решения эти диаграммы лучше задать в коор­динатах тоюп — уоКт (рис. 22, а):

К — °yf + К - °гУ + [аг - <Д)2 + (44>

+ 6(Т^ + Т^ + ТУ>

где токт — касательное октаэдрическое напряжение;

Є,)2 + (Є,-Єг)2 + (Єг-Є*)2 +

+ Т [tcy + Ууг + VL)’

где у окт — сдвиговая октаэдрическая деформация. 36

Для отверстий и краев пластины задают диаграмму со, = 0 /пис. 22, б). Такие же диаграммы задают для высокотемператур­ных областей, где предел текучести металла также близок к нулю. Для зон со свойствами металла, отличающимися от свойств при комнатных температурах, назначают диаграммы с соответствую­щими значениями G и от (тг).

В ЦВМ направляются и хранятся для каждого кружка: коор­динаты центра кружка х, у, тип диаграммы х0Кт — уокт, компо­ненты деформаций ех, гу, ег, у ху, компоненты напряжений ах, а , %хи. Упруго-пластическое решение задачи проводится за ряд приближений в следующей последовательности. Для каждого

Рис. 22. Диаграммы тжт —у0кт Для различных зон:

а — для материальной зоны; б — для зон отверстий; зон,
находящихся за пределами пластины и зон при высоких
температурах, где Gj = О

кружка вычисляется уокт по формуле (45) по хранящимся в па­мяти машины гх, еу, ег, уху. Затем по соответствующей для дан­ного кружка диаграмме определяется х0Кт и по формулам (46)— (48) — значения напряжений, соответствующие известным де­формациям:

™ *=т^г-

Полученные напряжения ох, о и т могут не соответствовать хранящимся в памяти машины напряжениям ох, оу, хху. Поэтому Для каждого кружка определяются разности напряжений

Да' = а — а';

X X Xі

Да' = а — а';

У У у’

Ат' = т — х ,

ху ху ху’

которые надлежит устранить путем приложения по контуру кружка некоторых фиктивных сил. Данные фиктивные силы вызы­вают изменение напряжений и деформаций как в самом рассма­триваемом кружке, так и во всех остальных кружках. Приращения деформаций и напряжений вычисляются по сле­дующим формулам и добавляются к хранящимся значениям де­формаций и напряжений: а) в самом кружке Да,-^І±£Д<., + ^І±ІЄ-Д<т,; (50)

Ч-^тР-Ч

8 Аах'

(62) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59)

rt А г2 ‘ 2Д* Ду rt Дг2 ’ Ах2 — Ay2

ху

где

До'

(60)

X

2 Ara 2

Act! — A o',

Приращения деформаций вычисляются по известным формулам теории упругости:

_1_

Е v—*

Аег = - в - (А ах + А а )

Ал: и А у определены в п. 11.

Добавки напряжений и деформаций производятся после опре­деления и запоминания Да^., Дсг^, Дт^ для всех кружков пластины. После суммирования добавок заканчивается первое приближение. Так как при осуществлении добавок нарушается соответствие между ах и а'х, ау и оу, %ху и %'ху, то все операции повторяются снова. Этот процесс приближений продолжается до тех пор, пока разности Да^, Аау и Дт^ не окажутся пренебрежимо малыми.

Изложенный метод решения основывается на теории малых упруго-пластических деформаций, но благодаря использованию ЦВМ позволяет значительно расширить имеющиеся возможности. Снимаются ограничения в отношении равноценности свойств ме­талла |;з различных точках пластины, распределение температуры может иметь практически любой характер.

Однако решение будет правильным, если соблюдаются условия простого температурного нагружения [8]. В противном случае решение необходимо выполнять за несколько этапов, каждый из которых соответствует конкретному промежуточному полю темпе - Рэтур. При протекании пластических деформаций одному и тому же Распределению нагрузок могут соответствовать различные поля Напряжений в зависимости от того, в какой последовательности эти нагрузки прикладывались.