5.2.1.

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ СФЕРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рассмотрим равновесие половины малого симметричного сфе­рического элемента, изображенного на рис. 5.16.

Сферические координаты: r — радиус; ф — угол азимута (дол­гота на глобусе); 0 — угол места (широта на глобусе).

Выделим сферический тонкостенный элемент с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Рассечем этот элемент по

диаметру 0 = 0. Получим сфериче­скую чашу, изображенную в сред­ней по высоте части рис. 5.16. Для нее составим уравнение проекций всех сил на ось 2.

Рис. 5.16 Расчетная схема уравнения равновесия для половины малого сферического элемента

Проекция напряжений ar, дей­ствующих на всей внутренней по­верхности элемента, равна этим напряжениям, умноженным на площадь проекции внутренней по­верхности на плоскость, перпенди­кулярную оси 2. Эта эпюра изобра­жена в верхней части рисунка, и сила от нее составляет: N2 = ar - л - г2.

При увеличении радиуса r на малую величину dr напряжения ar получают приращение dar. Поэто­му проекция на ось 2 равнодейст­вующей радиальных напряже­ний, действующих на наружную поверхность элемента, равна:

(N2 + dN2) = (ar + dar) - л - (r + dr)2.

Эпюра, создающая эту силу, показана в нижней части рисунка. Напряжения сте, действующие в диаметральном сечении стен­ки элемента, создают погонную силу, равную aedr. Эпюра этой силы изображена в средней части рисунка. Ее равнодействующая:

N2e = сте - 2 -л - r - dr.

Суммируя все перечисленные силы, получим уравнение рав­новесия для половины сферического элемента:

£ Z = 0 = N - (N + dNz) + N2,=

= ar - n-r2 -(ar + dar)-n-(r + dr)2 +ct0 • 2n •r dr = 0.

Сокращая на л, раскрывая скобки, пренебрегая малыми вели­чинами второго и третьего порядка и уничтожая члены (-стг - лг2 + + ar ■ лг2), получим:

ar - 2r - dr + dar - г2 - сте - 2r - dr =0.

После деления этого выражения на г2 - d, получим дифферен­циальное уравнение равновесия с двумя (ar и сте) неизвестными функциями от r:

dQr + 2(pr ~р8 ) = 0 dr r

(5.21)

Чтобы получить из (5.21) обыкновенное дифференциальное уравнение, нужно выразить напряжения через радиальное пере­мещение uk. При записи закона Гука учтем, что в силу сфериче­ской симметрии

^8 ; ^8 r ; ^r

dur dr '

Тогда уравнения закона Гука примут вид:

sr = E' [°r _V' (СТФ +СТе )] = E' [°r _ 2v-ct9 ] = dr;

ф

ф

E

E

єф = 1 -[СТф - V'(CT0 + CTr )] = — '[(1 - V) - СТф - V'CTr ] = ~r.

Решим эту систему из двух уравнений относительно напря­жений: d

°r -2v' СТФ = E' ~r;

-v' Or + (1 - v)' СТф = E' Ur;

откуда следует:

стф = CTe = C ■

(5.22)

стг = C

(1 - v) .^- + 2v u dr r

. dUr + u dr r du.

где

E

C = -

1 - v-2v2

Подставим формулы (5.22) в уравнение (5.21):

d2ur

C ■

(1 - v)

dr 2 dur

2C r

(1 - v)

= 0.

dr

Q I 1 d ur 1 -2v-|----------- - u ■ — r dr r2 -2v ■ u-v ^ - u r dr r

Сократив на С ■ (1 - v), получим обыкновенное дифференциаль­ное уравнение сферически симметричной задачи:

(5.23)

d2ur + 2 dur _ 2u _ о dr2 r dr r2

Его решение будем искать в виде степенной функции: ur = A ■ rn, где: A, n — постоянные. Вычислим производные этого решения:

— = A ■ n ■ rn 1;

du dr d2u

L = A ■ n ■ (n -1) ■ rn-2.

dr 2

После подстановки этих производных в уравнение (5.23) полу­чим:

A ■ n ■ (n -1) • rn-2 + — • A ■ n ■ rn-1 - -—- ■ A ■ rn - 0, r r2

или после сокращения на A ■ rn-2:

n ■ (n -1) + 2 • n - 2 = 0; ^ n2 + n - 2 = 0; ^

ni,2 =-2±^(-1) -(-2) =-0,5±1,5;^

ni = 1,0; n2 = -2,0.

Двум решениям (n1 и n2) соответствуют два значения постоян­ной А. Общее решение уравнения (5.23) получается в виде суммы

A,

г2 ’

этих решений:

(5.24)

где постоянные A1 и А2 определяются из граничных условий.