Дифференциальные уравнения задач о синхронизации, как правило, являются существенно нелинейными, и поэтому их ре­шение, вообще говоря, сопряжено со значительными трудностя­ми. Мояшо, однако, указать по крайней мере три класса задач, допускающих естественное введение в уравнения малого* пара­метра и последующее использование соответствующих эффектив­ных методов решения. Вместе с тем эти классы задач как раз и представляют основной практический и принципиальный, ин­терес. Остановимся на их краткой характеристике.

1) Задачи о синхронизации слабо связанных объектов. Оче­видно, что такие задачи действительно наиболее интересны, ибо, с одной стороны, синхронизацию технически наиболее просто и экономично осуществлять именно посредством «слабых» связей и, с другой стороны, при «сильных» связях между объектами последние можно рассматривать как единую систему, для кото­рой задачи о синхронизации практически не возникает. Так, на­пример, два механических дебалансных вибровозбудителя, валы которых связаны зубчатым зацеплением, практически образуют один двухвальный вибровозбудитель.

К задачам о синхронизации объектов со слабыми взаимными связями может быть отнесепо большинство задач о синхрониза­ции вибровозбудителей, задачи о синхронизации движений не­бесных тел, задача Гюйгенса о синхронизации часов, задачи о синхронизации автогенераторов и многие другие.

Математическим отражением факта слабости взаимных свя­зей между объектами является малость функций связей F ио сравнению с Xм в дифференциальных уравнениях (1.3) и

(1.4) . Иначе говоря, в данном случае уравнения (1.3) могут быть представлены в виде

= Xм (ж(8)) + fiF(s) (х(1), ..., хт, и, р) ^

и = U* (ж(1).............. - х(к), и, [і),

а соответствующие им уравнения (1.4) в переменных v

и т = at — в форме

^ = У« (*<’>, т) + рФ(8) (У11 y<h »,’т, р) <* = 1,..., к),

(2-2)

§- = V*

Здесь р 0 — малый параметр, a Fls) и U*, Ф(8) и V* —

вектор-функции того же типа, что и функции Fv's) и U, Фи) и V

в уравнениях (1.3) и (1.4;, причем F(s), U*, и V* явля­

ются также функциями параметра р, которые достаточно считать аналитическими по ц при р < ро, где ро > 0.

Заметим, что в радиофизике понятию «слабая связь» иногда дается несколько иная трактовка.

Весьма распространенным видом задач являются. задачи, о синхронизации одинаковых или почти одинаковых объектов, сла­бо взаимодействующих один с другим. В этом случае функции Х(4) в уравнениях (2.1) и функции Y(s) в уравнениях (2.2) не зависят от индекса s, что также приводит к некоторым упро­щениям.

2) Задачи о синхронизации объектов, близких к изученным. Во многих случаях объекты, синхронизация которых исследует­ся, близки к некоторым «стандартным» модельным объектам, свойства которых изучены. Такими стандартными объектами могут быть, например, линейные осцилляторы, консервативные объекты с одной или несколькими степенями свободы, простей­шие автоколебательные объекты.

Функции X в уравнениях (1.3) и функции в урав­

нениях (1.4) в рассматриваемом случае могут быть представле­ны в форме

Xм = А-;,*1 (*«) + ЦЛГ (./•', ц),

У«‘> (»“>, т) _ (/", Г) + (»<■>, 1, н). ( ’

Здесь по-прежвему и 3=0 — малый параметр, а функции Х^ и IV' — аналитические по р при р < Цо, где ро > 0. При этом уравнения

x<s) = Z^>(4s)) (* = 1,...,Л), (2.4)

получающиеся нз (1.3) прй р = 0 и F(t) = 0, как раз и явля­ются уравнениями упомянутых стандартных модельных объек­тов; обычно решения данных уравнений или их характер явля­ются известными, что облегчает решение соответствующих задач о сішхронизашіЕ. Особонно значительное упрощение достигается в случае, когда одновременно рассматривается задача о синхро­низации при наличии слабых связей между объектами.

3) Задачи о синхронизации объектов с приближенно извест­ным характером синхронных движений. Нередко встречаются случаи, когда заранее можно допустить, что в синхронном режи­ме, если он существует, объекты совершают движения, близкие к некоторым определенным движениям. Иными словами, можно считать, что в изучаемых движениях

xM(t) = x?(t) + VLx[’t, v) (2.5)

или

УМ (т) = Ї/00 С*) + ]УУо1 С*, р), (2.6)

где х^ и — функции известного вида, определенные с точ­ностью до некоторых постоянных параметров. Так, например,

решая задачи о синхронизации механических вибровозбудителей и небесных тел, часто можно предположить, что их движения по определенным координатам мало отличаются от равномерных вращений с некоторыми заранее неизвестными начальными фазами.

В подобных случаях в уравнения задачи (1.3) или (1.4) ока­зывается возможным эффективно ввести малый параметр, не­смотря на формальное отсутствие его в указанных уравнениях. С этой целью в правых частях уравнений выделяются такие слагаемые, что если опустить все прочие члены, то уравнения как раз будут иметь решения a4s) (или */os)). Эти остальные члены полагаются малыми, т. е. содержащими малый параметр р в виде множителя.

Подробнее данный способ введения малого параметра описан в книгах [54, 57, 61]; он широко использован нами при решении ряда задач о синхронизации (см., например, работы [32, 36, 57], а также § 4 гл. 3 и § 4 гл. 12).

Разумеется, введение малого параметра и применение соот­ветствующих методов являются эффективными лишь в том слу­чае, если так называемая порождающая система, т. е. система, получающаяся из исходной при р, = 0, оказывается более про­стой, чем исходная, так что можно найти нужное семейство ее решений (не обязательно общее решение!). Из изложенного вид­но, что для всех трех перечисленных классов задач о синхрони­зации дело обстоит именно так: система, получающаяся при ц = 0, неизменно является более простой, чем исходная и, по крайней мере, для второго и третьего классов задач имеет для координат объектов (или у[s)) решения заранее известного характера.