На рис. 6.17 представлена форма шейки при деформации, ко­гда радиус кривизны R равен радиусу минимального поперечного сечения (а) шейки.

Рис. 6.17 Распределение напряжений в шейке цилиндрического образца при R/а = 1

Геометрически нелинейную задачу о распределении напряже­ний в минимальном сечении шей­ки цилиндрического образца при больших пластических деформа­циях решил П. Бриджмен. Оно опубликовано в его классической монографии «Исследование боль­ших пластических деформаций и разрыва». В соответствии с этим решением интенсивность пласти­ческих деформаций е; и, следова­тельно, интенсивность напряже­ний а; постоянна в минимальном сечении шейки. Поэтому парамет­ры кривой нагружения материа­ла не влияют на распределение напряжений, которое дается фор­мулами:

а2 + 2aR - r2 2aR

а2 + 2aR - r2 2aR

Ътт =^00 =-P + V ■1п

Vzz = - P + Vi Vm =- P + Vi

(6.22)

1 + ln

1 + ln j a2 + 2aR - r2 3 2aR

N

2R

na2 ' a I 2R! Здесь r — текущий радиус; 0 — полярная координата враще­ния радиуса r вокруг оси z; Szz — среднее напряжение, с которым растягивается минимальное сечение шейки образца; P — внешнее гидростатическое давление, при котором растягивается образец в специальной установке. Рис. 6.17 построен прир = 0. Из него видно, что интенсивность напряжений в минимальном сечении шейки всегда меньше сред-

(6.23)

• ln11 +

S„ =

1 +

- = <J:

него растягивающего напряжения Szz. Максимальные нормальные напряжения возникают в центре минимального сечения (г = 0), где они, согласно формулам (6.22), определяются как

1+ln |1+а 2R

(6.24)

^1max ®zzmax Р ^

Максимальное значение гидростатического напряжения в цен­тре минимального сечения шейки:

a 2R

(6.25)

= - Р + °i

1 + ln І1-

В приведенных выше формулах неизвестен радиус кривизны шейки. Бриджмен в своих расчетах использовал результаты непо­средственного измерения этого радиуса на разрушенных образцах. На рис. 6.18a показана статистическая обработка 121 результата измерений радиуса кривизны шейки образцов для различных ста­лей, испытанных Бриджменом при различных гидростатических давлениях вплоть доp = 300 кГ/мм2.

Экспериментальные результаты на рисунке обозначены точ­ками. Сплошной линией — уравнение регрессии, которое имеет вид

a

0,62

(6.26)

R

= 0,994• (ei -0,29)

Пунктирными линиями обозначена полоса среднеквадратич­ных отклонений, которые составляют ±0,142.

На рис. 6.186 показан аналогичный график для стали № 9-2 Бриджмена. Видно, что если на график поместить точки для одной

Рис. 6.18 Эмпирическая зависимость кривизны шейки от деформации: a — построенная по 121 результатам испытаний для разных сталей; 6 — для одной стали (№ 9-2). Точки — результаты измерений по Бриджмену.

стали, то ширина полосы разброса значительно меньше: с 0,142 она уменьшается до 0,04.

Таким образом, кривизну шейки при одноосном растяжении цилиндрического образца можно вычислять по формуле

RR = Ar ■ (e, - e0R )nR, (6.27)

где Ar, e0R и nR — постоянные, которые следует определять из гра­фиков типа рис. 6.18.