Схема определения напряжений в тонкостенном (t/R ^ 1) ци­линдрическом сосуде с внутренним давлениемр, средним радиу­сом R и толщиной стенки t представлена на рис. 6.4.

Из условия равновесия проекций всех сил, действующих в се­чении А-А, на ось 2 (рис. 6.46):

^Z = р■ п-R2 - аг ■ 2п-R■ t = 0 можно вычислить меридианальные напряжения аг:

Р • R гч

°г = СТ2 = "277• (6.5)

Для вычисления тангенциальных напряжений стф из сосуда нужно вырезать круг толщиной b (вместе с содержимым), как пока­зано на рис. 6.4а двумя вертикальными осевыми линиями. Потом этот круг (вместе с содержимым сосуда) нужно разрезать по диа­метру и отбросить нижнюю часть. Вырезанная часть напоминает ломтик лимона (рис. 6.4в). Условие равновесия проекций всех сил на ось вертикальную ось у для вырезанной части сосуда имеет вид:

^ Y = р ■ 2R ■ b - 2 а9-1 ■ b = 0,

откуда получим формулу для вычисления тангенциальных напря­жений:

ст9=сті = 2-^ = 2стг. (6.6)

Рис. 6.4 Схема определения напряжений в цилиндрическом сосуде давления

Третье главное напряжение ar изменяется от - р на внутренней поверхности сосуда до 0 на внешней поверхности. Следовательно, ar по крайней мере в R/t раз меньше стф. При расчете тонкостен­ных сосудов ar принимают равным нулю:

ar = ст3 = - р...0 * 0. (6.7)

Из формулы (6.6) для максимального напряжения можно по­лучить выражение для расчета давления р при заданном напря-

жении стт = ст1

Р =-

R

(6.8)

t _ t0 • exp(er) “ = а1 •■

R0 • exp(e„)’

где R0 и t0 — начальные радиус и толщина сосуда.

Момент потери устойчивости пластических деформаций будет соответствовать максимуму давления (р = ркр) при возрастании деформации. Но деформаций в формуле (6.8) две. Чтобы исполь­зовать степенной закон нагружения (5.40), нужно их выразить через интенсивность деформаций е, а напряжения ст1 выразить через интенсивность напряжений стг. Используя формулы (6.5)- (6.7), можно все напряжения, входящие в выражения для вычис­ления интенсивности напряжений, выразить через ст1. В резуль­тате получим

"; = J2-[("і — "2)2 +("2 — "з)2 + ("з -"і)2] =

"1 —^ Т +(^—0 Ц+(0—"1)2

=тз

2 '21 +1

= "1-

= "1-

-"1

1—2 )2+(2 )2+(—1>2

или

(6.9)

01 Стф тзо.

Чтобы выразить деформации er и ez через еф = е1, воспользуем­ся уравнениями соосности компонентов девиатора напряжений и компонентов девиатора деформаций:

СТ1 ~ст2 _ СТз - СТ1

Є1 - Є2 Є2 - Єз Єз - Є1 . (6.10)

После подстановки в эти уравнения значений напряжений для цилиндрического сосуда они примут вид:

G1 - СТ1/2 _ СТ1/2 - 0 _ 0 - СТ1

ez - er

er - ет

Сокращение на ст1/2 и приведение к общему знаменателю пер­вого равенства дает: ez - er = еф - ez или еф + er - 2ez = 0. Но при пла­стической деформации должно сохраняться постоянство объема:

(6.11)

еф + er + ez = 0.

Совместное решение уравнений (6.10) и (6.11) дает:

(6.12)

ez = 0,

e = —e

с'ф сг*

Стенка цилиндрического сосуда давления работает в услови­ях плоской деформации (ez = 0). Теперь, используя формулу (2.40), можно cвязать тангенциальную деформацию (єф = e1) с интенсив­ностью деформаций ei уравнением

e =^3- 'V (e1 - e2)2 + (e2 - e3)2 + (e3 - e1)2 =

А 3

з eф,

^ - 0)2 + [0 - (-єф )]2 + [(-єф ) - єф]2

A ■ en

S'

s

R0 ■ exp (V3 ■ Єі )

(6.14)

■ exp(-V3 ■ ei).

откуда e,=~er eі. (6.13) Подставим выражения (6.9) и (6.13) в формулу (6.8), получим: 2

R0 ■ exp ^2 et 2 ■ A ■ t0 V3 ■ R0

t ■ expI -^3 ^

Р =

В формуле (6.14) давлениеp выражено через одну независимую переменную ei, и можно искать его максимум:

2 • A • t0 V3 • R0

•[n • en-1 • exp(-V3 • ei ) + en •(-V3)• exp((3 • ei ) = 0,

dp

dei

eic = n = 0,577 • n. 3

откуда

Тангенциальная деформация стенки сосуда в критическом со стоянии:

V3 „ _ V3 n _ n

e<?c 2 Єіс 2 /3 2. (6.15)

Критическое удлинение окружности стенки сосуда в два раза меньше, чем критическое удлинение при растяжении стержня или полосы.

Подставив это значение єіс в выражение (6.14), получим фор­мулу для вычисления критического давления:

- Kb К ■ - R-, (6.16) R0

где

Коэффициент kaB показывает, во сколько раз предел прочно­сти для цилиндрического сосуда больше предела прочности образ­ца при линейном растяжении. Сплошная линия на рис. 6.5 по­строена по точной зависимости коэффициента kaB от n.

Точками нанесена прямая линия, вычисленная по приближен­ному равенству. Видно, что для стенки цилиндрического сосуда предел прочности во всем диапазоне изменения показателя уп­рочнения n конструкционных сталей (0...0,25) несколько боль­ше предела прочности при линейном растяжении по ГОСТу. Но максимальное превышение при n = 0 всего 15%. На практике этим пренебрегают и при расчетах сосудов считают kaB = 1,0.

При разрушениях стенки сосудов шейка обычно незаметна. Ха­рактерный вид изломов показан на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Характерный вид разрушения сосудов давления

Рис. 6.5 Зависимость Ов сосуда от показателя n

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

Основные деформации после потери устойчивости локализу­ются в узкой полосе вдоль одной или двух плоскостей скольже­ния. Удлинения от сосредоточенной деформации практически нет. Поэтому суммарные деформации удлинения стенки сосуда в тан­генциальном направлении оказываются практически равными равномерной деформации (n/2).