В этой главе будут получены основные уравнения для простых течений в каналах с круглым, прямоугольным и кольцеобразным поперечным сечением. Во многих случаях эти уравнения позволяют, по меньшей мере, оценить величину таких факто­ров, как возникающее при работе давление или производительность.

В основе расчетов, относящихся к процессам течения, лежат законы сохранения массы, движения и энергии (например, [1-3]). Чтобы вывести простые и удобные в использовании уравнения, необходимо сделать некоторые допущения:

• Течение является полностью установившимся. Ни в одной точке канала не на­блюдается переходных режимов.

• Скорость течения мала: силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с си­лами трения. Течение ламинарное, поскольку числа Рейнольдса малы.

• Течение изотермическое: все частицы жидкости имеют одинаковую темпера­туру.

• С точки зрения гидродинамики течение является полностью развитым.

• Жидкость несжимаемая: ее плотность остается постоянной.

• Течение происходит при отсутствии внешних сил[10].

• Влиянием силы тяжести можно пренебречь.

• Расплав прилипает к твердым стенкам канала. Это означает, что скорость жид­кости на стенке равна скорости стенки (то есть на стенках отсутствует про­скальзывание).

Если перечисленные условия соблюдены, то простые фундаментальные уравне­ния можно получить из уравнения равновесия количества движения[11]

Количество 1 Г Количество 1 Г Сумма всех сил, 1 движения на входе I - < движения на входе I + J. воздействующих > = О (начальное) J [ (конечное) J [ на систему J

7J Т2 + ZF =о. (3.1)

В рассматриваемой системе количество движения может иметь место, например, как результат общего движения расплава или вследствие вязкости среды.

Однако если скорость в рассматриваемом равновесном пространстве не изменя­ется ни по величине, ни по направлению, или же если расплав считается несжимае-

—> ->

мой жидкостью (то есть его платность постоянна), то /} = /2 , и задача сводится к уравнению равновесия сил, HF. При этом на систему в рассматриваемом простран­стве действуют силы давления и сдвига.

Если возможно сделать дополнительное предположение о том, что линии тока являются прямолинейными, как, например, в случае течения в канале прямоугольно­го сечения, то в соответствии с [1] обобщенная процедура решения простых задач вязкого течения будет выглядеть следующим образом:

1. Записать уравнение равновесия количества движения для жидкого элемента с конечной толщиной слоя (с учетом уравнения неразрывности).

2. Предположить, что толщина слоя стремится к нулю, тогда уравнение равнове­сия количества движения перейдет в дифференциальную форму.

3. Ввести закономерность поведения материала (реологическое уравнение):

У=/(т). (3.1.1)

4. После введения граничных условий, которые представляют собой физически непротиворечивые значения независимых переменных, интегрированием урав­нений, полученных на этапах 2 и 3, можно будет получить следующие результа­ты: профиль скоростей v = /(г) или v = /(у), среднюю скорость v, максималь­ную скорость vmax, объемный расход V, силы F, действующие вдоль стенок канала, перепад давления Ар, диапазон времени пребывания в направлении радиуса t( г) или по оси у Г(у), а также среднее время пребывания?

Этот процесс более детально объясняется на примерах в разделах 3.1-3.3. Более подробные соображения и частично их дальнейшее развитие представлены в ра­ботах [4-6].