Рассмотрим подробнее смысл основных уравнений (4.19). Прежде всего заметим, что эти уравнения могут быть формально получены, если предположить, что движение системы происхо­дит по закону (4.15), отвечающему порождающему решению, а затем усреднить за период Т = 2л/ю уравнения движения ро­торов (4.6), умноженные на a,/ks. Таким образом, основные уравнения (4.19) являются приближенными уравнениями равно­весия средних моментов сил, действующих на роторы виброеозбу - дителей в установившемся синхронном движении.

Обращаясь к анализу отдельных членов уравнений (4.19), отметим, что величина o, L,(o, e>) представляет значение вращаю­щего момента двигателя, вычисленное в порождающем прибли­жении (ps = (ps = osoj; при этом момент osLs(o, a), в отличие от момента L,(o„g>), отсчитывается в направлении вращения s-ro ротора *). Величина Rs (to) есть момент сил сопротивления движению ротора, также вычисленный в порождающем прибли­жении и отсчитываемый в направлении вращения s-ro ротора.

Величины W'-K) выше были названы вибрационными момен­тами (см. § 4). Эти моменты можно трактовать как дополни­тельные средние моменты, действующие на неуравновешенные роторы вследствие колебаний основания, на котором они уста­новленьі[16]). Вибрационные моменты представляют для роторов как бы добавочные средние нагрузки (в случае, если WiK>>0) или добавочные вращающие моменты (в случае, если WtK)<;0).

Наличием вибрационных моментов объясняется самосинхрониза­ция вибровозбудителей, вибрационное поддержание вращения, а также ряд своеобразных явлений, сопутствующих принуди­тельной электрической или механической синхронизации.

Физическое существо этих явлений, о которых подробно го­ворится ниже, состоит в наличии существенной' «вибрационной связи» между отдельными роторами, обусловленной колебаниями общего основания, на котором они установлены. Возникновение вибрационных моментов и является проявлением этой связи. Иногда указанная связь достаточно сильна и носит такой харак­тер, что движение вибровозбудителей с желательной комбина­цией сдвигов фаз существует и устойчиво «само по себе». При этом можно не вводить искусственных связей между роторами, т. е. использовать явление самосинхронизации. В других случаях для обеспечения существования и устойчивости требуемого дви­жения приходится либо изменять характер «естественных» ви­брационных связей, либо вводить ту или иную искусственную связь (элементы принудительной синхронизации).

Согласно выражению (4.20) вибрационный момент W[K действующий на ротор s-ro возбудителя, можно рассматривать как сумму

Wi* = і uif (5.1)

j=i

слагаемые которой

гт ГЪ'Ъ і m e„meco4

wij = — u>u] = — — , - sin (as — a3) (5.2>

г M (or —

представляют «частные» вибрационные моменты, характеризую­щие воздействие s-ro возбудителя на І-й. При этом имеет место свойство взаимности wif* = — — 0, вследствие кото­

рого, как уже отмечалось в § 4, сумма всех вибрационных моментов тождественно равна нулю:

2 W(K) = i 2 «,<£> = о. (5.3)

S=1 «=1 1

Именно поэтому вибрационные моменты w{p не входят в уравнение баланса энергии (4.22): вибрационные моменты не изменяют общего баланса энергии в системе, а лишь перерас­пределяют подводимую к системе энергию между отдельными

возбудителями, подгоняя «медленные» и тормозя «быстрые» воз­будители как раз таким образом, что обеспечивается их син­хронное вращение (смысл взятых в кавычки терминов «быстрый» и «медленный» возбудитель станет ясным несколько ниже, после введения понятий о парциальных угловых скоростях вращения роторов возбудителей). Заметим, впрочем, что равенства типа ’(5.1) и (5.2) справедливы не для всех типов возбудителей и не при любом характере иде; г-'-ации системы (см. § 8).

Наибольшие значения вибрационных моментов

(назовем их модулями вибрационных моментов) являются мерой ■сйлы вибрационной связи ме)т;ду роторами. На основе представ­ления (5.1) нетрудно заключить, что модуль вибрационного мо­мента равен произведению возмущающей силы F,=

= m8esto2, развиваемой s-м возбудителем, на своеобразное «пле­чо» этой силы As, которое будем называть эффективной ампли­тудой колебаний оси ротора этого возбудителя, обусловленных действием всех прочих возбудителей:

(5-4)

Конкретное выражение для эффективной амплитуды колеба­ний будет получено в § 6 для случая двух вибровозбудителей; €олее общее выражение приводится в § 12. Здесь же заметим, что если величины статических моментов роторов всех возбуди­телей увеличить в некоторое число р раз, то согласно (4.20) мо­дули вибрационных моментов WtK) возрастут в р2 раз. При сохранении отстройки к»2 — р величины Wm возрастают про­порционально со4, а при рх« 0 (случай мягкой амортизации те­ла) — пропорционально о>2. Можно сказать также, что модули ви­брационных моментов возрастают с увеличением интенсивности колебании тела, на котором размещены роторы возбудителей. При увеличений массы тела М и при сохранении отстройки величй-

яы убывают; в пределе при М 00, как и при полно-

стью уравновешенных роторах (toses = 0), что отвечает непод­вижному телу, величины W[K) = 0, т. е. вибрационная связь между роторами отсутствует. Заметим, что действие частных я вибрационных моментов и> ^ , т. е. вибрационной связи между, роторами, вполне подобно тому, как если бы между s-м и /-м ро­тором была установлена пружина, создающая момент, пропор­циональный синусу модуля угла сдвига фаз |а, —а,1 вращения роторов. Поворотная жесткость с„, соответствующая этой фик­тивной пружине при I а, — a, j — 0, в рассматриваемом простей­шем случае равна по модулю величине

д (as — a,-) as-aj=o 2 м | со2— т> | ’

т. е. модулю частного вибрационного момента. Устойчивое со­стояние соответствует в зависимости от знака разности ю — р* либо углу сдвига фаз а» — сс, = 0, либо углу a, s — а3- = л.

Указанная простая интерпрета' ія действия вибрационных моментов, объясняющая одновреме но механизм явления само­синхронизации, часто оказывается есьма удобной при качест­венном анализе.

Введем далее в рассмотрение величины ю», которые равны угловым скоростям установившегося вращения роторов вибро­возбудителей при условии, что го "ледние установлены не на вибрирующем теле, а на неподвижном основании, и что за по­ложительное направление угловой скорости принято направле­ние, в котором вращается ротор s-ro возбудителя в рассматри­ваемом синхронном движении. Эти угловые скорости ю, будем называть парциальными угловыми скоростями возбудителей.

Угловые скорости вращения роторов возбудителей, установ­ленных на неподвияшом основании <pa0, определяются из урав­нений

L[17] (ф*о) = R (І Ф*о I) sgn ф50, (5.5)

а парциальные угловые скорости, согласно приведенному опре­делению, будут *)

= ФЛ. (5.6)

т. е. удовлетворяют уравнению

osLs (asci)s) = R°s (ws) sgn ws. (5.7)

Парциальная угловая скорость положительна, если s-й ротор, будучи установлен на неподвижном основании, вращается

в том же направлении, что и в рассматриваемом синхронном

доііжении.

В случае, когда указанные направления вращения противо­положны, то <в, отрицательно; при этом двигатель асинхронного типа работает в генераторном режиме. Парциальные угловые скорости вибровозбудителей с выключенными двигателями или вообще не имеющих двигателей равны нулю. Как будет ясно из дальнейшего, понятие о парциальных угловых скоростях может рассматриваться как обобщение понятия о частотах автоколе­баний.

Допустим теперь, что все парциальные угловые скорости положительны и одинаковы:

К»! = Ю2 = ... = IDfc = М* > 0. (5.8)

Тогда в силу (5.7) справедливы соотношения

Le (о8ю*) = asRs (to*) (s = 1, ..., к). (5.9)

Складывая все эти равенства, умноженные предварительно на о., получим

к к

2 osLs (oso)*) = 2 R] (а*). (5.10)

S—l £—1

Последнее соотношение в точности совпадает с уравнением

(4.23) для определения угловой скорости синхронного вращения ю. Таким образом, в случае одинаковых и положительных пар­циальных угловых скоростей вращения дебалансных вибровозбу - днтелен одпо дз возможных значений угловой скорости синхрон­ного вращения ю равно общей парциальной угловой скорости вращения вибровозбудителей ю*:

со = со*. (5.11>

Если, как это часто бывает, уравнение (4.22) имеет единст­венное решение, то синхронное вращение дебалансных вибро­возбудителей может происходить только с угловой скоростью,

равной общей парциальной угловой скорости ю*.

Полученный результат легко понять, исходя из физических соображений. Действительно, в дебалансных вттбровозбудителях наличие колебаний основания, па котором они установлены, практически не вызывает дополнительных потерь энергии на трение. Поэтому естественно ожидать, что если роторы таких возбудителей, будучи установленными на неподвижном основа­нии, вращались с одинаковыми по модулю угловыми скоростя­ми, то при установке на колеблющемся теле эти роторы будут вращаться с теми же средними угловыми скоростями. Положе­ние, естественно, может измениться, например, в случае так на­зываемых планетарных вибровозбудителей, в которых затраты энергии на преодоление сопротивления качению роликов суще­ственно зависят от характера колебаний тела, на котором возбу­дители установлены (см. п. 5, § 8).

Заметим теперь, что при выполнении равенства (5.11), т. е. при одинаковых положительных парциальных скоростях возбу­дителей, в силу равенств (5.9)

Z. (о., со) == 0 (s = 1, ..., к), (5.12)

основные уравнения (4.19) принимают вид Ps (а15 ..., а*) == — j - WlK) (аь..ah) &

s Т 2 т& sin <“• - °*> = 0 (* = !,•••,*).

(5.13)

Таким образом, порождающие фазы в данном случае опреде­ляются из условия равенства нулю вибрационных моментов

Нетрудно заметить, что уравнения (5.13) допускают реше­ния вида

as = ?*n + a0 (s = l

где каждое из чисел может быть равно нулю или единице,

а ссо — произвольная постоянная. Ниже, в §§ 6 и 7 будет показа­ло, что во многих важных частных случаях, а также при доста­точно общих предположениях среди этих решений непременно имеется такое, которое отвечает устойчивому, по крайней мере, в малом, синхронному движению. Тем самым будет установлено, что в указанных случаях при одинаковых и положительных пар­циальных угловых скоростях вибровозбудителей их самосинхрони­зация непременно возможна. В соответствии с терминологией, вве­денной в § 1 гл. 1, можно также сказать, что в этих случаях име­ет место тенденция вибровозбудителей к самосинхронизации. Из соображений непрерывности следует, что это заключение останет­ся в силе по крайней мере также и при достаточно малых разли­чиях в парциальных скоростях. Фактически же, как будет пока­зано в § 6, самосинхронизация при определенных условиях будет иметь место и при резко отличных значениях парциальных ско­ростей вибровозбудителей.

Здесь же заметим, что в случае, когда парциальные скорости to, положительны и не слишком сильно отличаются одна от дру­гой, выражения для избыточных моментов 2,(о», ю) могут быть су­щественно упрощены. Действительно, в этом случае можно с до­статочной точностью использовать линейные соотношения (4.10), положив

Zs (Os, ws) = zs (os, to) — ks (G)s — co), (5.14)

где, как и ранее (см. равенства (4.11) и (4.13)),

(CTS, со) dLR (сг/о) ( dRs(ш)

Но при со, > 0 (s = 1, ..к) согласно (4.20) уравнение (5.7) для определения парциальной скорости cos может быть записано в виде

Zs(as,(os) = 0. (5.15)

Поэтому из равенства (5.14) следует

Zs (os, ю) = ks («s — ©)• (5.16)

Полученное соотношение позволяет записать основные урав­нения (4.19) в форме

Ps (аъ..ak) == (ю8 — ю) — г - Ws (al5 ..., aft) = 0

(-1 ч (517)

и получить из уравнения баланса энергии (4.22) следующее про­стое выражение для приближенного значения угловой скорости синхронного вращения ю через парциальные угловые скорости:

“a^'.TV - (5Л8)

Таким образом^ угловая скорость а» равна средневзвешенному значению от парциальных скоростей <и8, причем роль весовых ко­эффициентов играют положительные суммарные коэффициенты демпфирования ks. Отсюда, в частности, следует, что угловая ско­рость синхронного вращения не меньше чем наименьшая и не больше чем наибольшая из парциальных скоростей:

Inf [Ші, ..., со;і]< (0 < Sup.. ., 0);Л. (5.19)

В заключение приведем выражение вибрационных моментов вытекающее, например, из формул (8.35) настоящей

главы:

W*K) = 1^7 (* = !,••■,*). (5-20)

Здесь

Л(1) = <(L(I))> = <(Г(1) - П(І))> (5.21)

— среднее за период Т = 2я/и зпачепие функции Лагранжа

Lm = Т{{) — П(1) несущего тела В0 (вибрирующей платформы),

вычисленное для порождающего приближения (4.15),

7,( 0 = -1 М'х*, П(1) = ~ слж2 (5.22)

— соответственно кинетическая и потенциальная энергии плат­формы. Производя вычисления при использовании выражения

(4.15) для ж0 и равенств (4.17), находим

Л(1> = ТМ ~ТСх = Т Iм <^°)>2 “ с* <(ж°)2>5 =

Г / JL ms. ч

— Mto2 <^22 "Ж sin + “«)sin + “і)/ ~

І 8=1 5=1

2 ,„2 .

-^2 2 "жїcos +as)cos +“*)/]=

=1 3=1 J

Jlf (04 vv mses miej / /r 004

= 2 2 ~м~~и~со& ^ <5-23>

S=1 j=l

Это выражение позволяет непосредственно проверить справедли­вость равенств (5.20), полученных в § 8 для значительно более общего случая. При учете этих равенств основные уравнения (4.19) записываются в форме

Рв(аъ...,aft)sl[zs(as,«)-^] = 0 (s = 1.... ft), (5-24)

а несколько менее общие уравнения (5.17) — в виде Р«(«і> — і ®ь) = (®s — ©) — = 0 (*=l,...,fc). (5.25)

§ 6. Некоторые важные частные случаи

1. Случай двух вибровозбудителей. О явлении вибрационного

поддержания вращения. Многие важные закономерности само­синхронизации вибровозбудителей можно проследить на простей­шем случае двух возбудителей.

При к = 2 основные уравнения (4.19) имеют вид

р =Jl 1_*i

(6.1)

К

Zi(0i, <о) + 4~ м2 ^ р2 sin К — a2) | = О,

1 f,.4 m, p., 1 Z2 (ст2, w) — — J —^-2-? sin (otj — a2) 1 = 0.

сводя ооозначения

AU) _ m2e2C0~ и W _ -'W^ „ _ „ _

1 — „I 2 2 1» 2------- ГГТ 2 2І» 1 2 — “»

M|(0 _P*| M j 0) j

Aa=Aix)/2, Ft = m&& (s -1,2); (6.2)

И = и™ (») = I 'ЩїЬ - м = ?А

представим эти уравнения в следующей более компактной форме:

Рг S3 [zx (сь ю) + W(K) (to) sgn (ю2 — Рх) sin а] — 0,

1 (6.3)

Рй = Т [%2 К» ®) — ^<К) (“) SSn (®2 — Р^) sin “] = °*

2

Величина ТУ<к)(ю) представляет собой в рассматриваемом слу­чае наибольшее возможное значение (модуль) вибрационных мо­ментов W[K) и WiK а величины А и Л2 — эффективные амплитуды колебаний осей соответственно первого и второго ро­торов. Величина А(Ґ по своему смыслу является амплитудой установившихся колебаний оси первого ротора (вместе с платфор­мой, на которой он установлен) под действием центробежной силы Fz = Отзе2<в2, развиваемой вторым ротором, а величина —

амплитудой колебаний оси второго ротора под действием центро­бежной силы F = тіЄіо2, возникающей при вращении первого ротора. Таким образом, эффективная амплитуда колебаний оси ро­тора в рассматриваемом случае прямолинейных колебаний плат­формы равна половине амплитуды колебаний оси этого ротора, возбуждаемых другим ротором.

Обратимся к изучению возможных синхронных движений; из уравнений (6.3) находим

^1 (Оц ю) + Z2 (ст2) ©) = 0,

(6-4)

ЫН ОЬ / тт. /9 '» (ТС * ' /9 о

V'- > (<о) sgn ( or — /і-j ІУ' -' (со) sgn ї й - — />-)

Первое из этих уравнений представляет собой - частный случай уравнения (4.22) и служит для нахождения первого приближения к угловой скорости синхронного вращения ю; второе уравнение служит для определения сдвига фаз а = «і — ct2 при вращении ро­торов в возможных синхронных движениях. При выполнении не­равенства

IZг (Ох, ©) I = I Za (о2) м) I < W(K) («), (6.5)

т. е. при условии, что модули избыточных моментов не превышают модуля вибрационного момента, указанное уравнение имеет два существенно различных вещественных решения (очевидно, что ре­шения данного уравнения, отличающиеся на 2пп, где п — целое число, можно считать тождественными)

а = а(1) = х, а = «<2) =* я — %, (6.6)

= arcsin

где

Неравенство (6.5), таким образом, является условием, при котором возможен эффект самосинхронизации вибровозбудителей.

Синхронное движение, отвечающее первому ив решений (6.6)г условно назовем синфазным, а отвечающее второму — противофаз­ным. Рассмотрим вопрос об устойчивости этих движений. Уравне­ние (4.24) в данном случае является линейным, и из него при уче­те (6.3) получается следующее условие устойчивости: ;

v _ d(Pi~PJ _ д(рг-р*) =

да

х ~~ даг да

-&1, ~t ^2 t^(K) (со) sgn (со2 — рх) cos а <С 0. (6.8)

12

Поскольку к. > 0 и PF(K>(co) > 0, то отсюда следует, что в дорезо­нансной области (со < рх) синфазное движение устойчиво, а про­тивофазное движение неустойчиво; в послерезонансной облаяти (со > рх), напротив, синфазное движение неустойчиво, а противо­фазное устойчиво.

Рассмотрим подробнее условие возможности эффекта самосин­хронизации вибровозбудителей. Как и в общем случае, указанное условие непременно выполняется, если парциальные скорости со і и ©2 положительны и одинаковы, поскольку при этом избыточные моменты Z(olt со) и Z2(o2, со) обращаются в нуль. В случае поло­жительных и не слишком сильно отличающихся парциальных ско­ростей синхронная угловая скорость со согласно (5.18) будет

и поэтому выражение (5.16) для избыточного момента Zi((Ji, со) может быть записано в форме

Zi К, со) = К — со) = (СО! — соа). (6.10)

JB результате условие самосинхронизации (6.5) примет вид

(6.11)

Полученное соотношение играет существенную роль в теории вибрационных устройств с самосинхронизирующимися вибровоз­будителями (см. § 9). Из него непосредственно видно, что само­синхронизация наверняка возможна, если парциальные угловые скорости сої и ©г вибровозбудителей, будучи положительными, до­статочно мало отличаются одна от другой. Вместе с тем эффект самосинхронизации может иметь место и при весьма существен­ных различиях в парциальных угловых скоростях, в частности, даже в случае, когда двигатель одного из возбудителей выключен из сети, т. е. когда £i(oi, to) за О, ZiCoi, to) s= — (to), и, таким

образом, парциальная скорость to і = 0. Условием возможности та­кого эффекта, называемого эффектом вибрационного поддержания вращения неуравновешенного ротора [18]), согласно (6.5) будет не­равенство

tfi(to)<W(K)(to), (6.12)

т. е. требование, чтобы момент сопротивления вращению ротора выключенного возбудителя не превышал модуля вибрационного момента РГ(К)(<»). Таким образом, этот последний момент является как бы тем предельным моментом, который может быть передан вращающемуся неуравновешенному ротору посредством колеба­ний его оси. Величина A^(to) = PF(K)(to)to представляет соответст­вующую предельную мощность, которая может быть передана ко­лебаниями для обеспечения самосинхронизации. Примечательно, что значение указанной мощности при практически реализуемых параметрах вибрационных устройств весьма значительно. Так, на­пример', при статическом моменте неуравновешенного ротора /гае = 10 кг • ы, эффективной амплитуде Л1 = 0,2Г> • 10~2 м и частоте to = лп/30 = п ■ 3000/30 = 314 с-1 получаем согласно (6.2)

■А^шах = WyK) (to) to = FA^ — тпгАги? =

= 10 • 0,25 • Ю~2• 3143 « 0,8• 106H - м/с « 800kBt (!)

Забегая вперед, заметим, что аналогичная величина в случае са­мосинхронизации колеблющихся объектов (например, маятников) при прочих равных условиях оказывается значительно меньшей

/_ С О С

CJV1. 3 о ГЛ. <J/«

Приведенный пример по существу дает объяснение широким возможностям практическего использования явления самосинхро­низации в вибрационных машинах и устройствах, в которых при­меняются вращающиеся неуравновешенные роторы.

Условие (6.12) приобретает особенно простой вид в случае, когда сопротивление вращению ротора обусловлено преимущест­венно сопротивлением в подшипниках. При этом для подшипни - ° 1

ков качения R і (to) fFі^» где / — коэффициент трения в

подшипнике, d — диаметр внутреннего кольца подшипника, и ука­занное условие при учете выражений (6.2) для И^Чеа) записы­вается в форме 2Ai/d>f.

Если учесть, что обычно 0,001 < / < 0,01, то отсюда видно, что вращение ротора может поддерживаться колебаниями, амплиту­да которых значительно меньше размера подшипников, в которых ротор вращается.

Изложенные результаты, таким образом, позволяют рассмот­реть явление вибрационного поддержания вращения как частный случай эффекта самосинхронизации. Более подробно это явление изучается в § 12, где задача решается как задача о захватывании вращения; там же приведены ссылки на соответствующие иссле­дования.

2. Случай почти одинаковых вибровозбудителей. Рассмотрим подробнее практически важный случай вибровозбудителей, парци­альные угловые скорости которых (предполагаемые положитель­ными) столь мало отличаются одна от другой, что основные урав­нения могут быть записаны в виде (5.13). Как уже отмечалось в § 5, эти уравнения допускают группу решений

as = ft я - f а0 (s = 1, ..., к), (6.13)

*

где qs — числа, каждое из которых может быть равно нулю или единице. Назовем такие решения решениями первой группы, при-

ж

чем решения, в которых т чисел <J& равны единице, будем крат­ко называть решениями типа (т). Исследуем устойчивость таких решений, ограничившись рассмотрением случая, когда почти оди­наковы также и параметры возбудителей т, г, и кв [31]. В этом случае уравнение (4.24) может быть представлено в форме (пола­гаем rriiEx = m2B2 = ... = mhEh = тг, кг = к. л = ... = kh = к0, Яг = = = • • •== Qm — 1, Qm+1 = • . . = Qh — 0)

Ах — — 2т - f к - f 2, А2 = 2т, — к.

где

(6.15)

Уравнение (6.14) легко решается. При т— 1, ..к— і оно имеет корень щ => Аі — 2 = — 2гп + к кратности ш — 1, корень «2 = Дг = 2лї — ft кратности ft — m — 1 и простой корень щ = = Лі + 2(га — 1) = ft. При /ге = 0 (а также при /те = к, поскольку решение (0) можно не отличать от (к)) имеем корень и — ~к кратности ft —1. Отсюда следует, что устойчивым в дорезонанс­ной области (<» < рх) является лишь решение типа (0), т. е, синх­ронное движение, близкое к синфазному (только для этого ре­шения отсутствуют положительные значения величин у). В после - резонансной области (и > рх) устойчивые движения возможны лишь в случае четного числа возбудителей ft = 21. А именно, ус­тойчивыми могут быть решения типа Ш, так как им соответству­ют корень в = Bj = вд == 0 кратности 21 —2 и простой корень « = *= ft. При этом в случав двух возбудителей (ft — 2, 1= 1) нулевой корень отсутствует и движение действительно устойчиво при (О > > рх — это согласуется с результатом, полученным в п. 1 настоя­щего параграфа. В случае же ft > 2, ввиду наличия нулевых кор­ней к, для решения вопроса об устойчивости требуется дополни­тельное исследование.

Таким образом, при почти одинаковых возбудителях тенден­ция к синхронизации имеет место по крайней мере в дорезонанс­ном режиме для любого числа возбудителей и в посдерезонапспом режиме — по крайней мере для двух возбудителей.

к

Возвращаясь к общему случаю возбудителей с почти одинако­выми положительными парциальными скоростями, заметим, что уравнения (5.13) удовлетворяются, если выполняются равенства

к

2 msBs cos as = 0, 2 sin = 0- (6.16)

(6.17)

Соответствующие решения уравнений (5.13) назовем решениями второй группы. Обращаясь к их рассмотрению, заметим, что соот­ношения (6.16) эквивалентны требованию, чтобы к векторов ев в плоскости xOyt имеющих модули т8е, и направленных под уг­лами а, к оси Ох, образовали замкнутый многоугольник (рис. 8). При этом вследствие произвольности ОДНОЙ ИЗ фаз <*« можно счи­тать, что

a* = 0,

т. e. вектор ek направлен вдоль оси Ox. Очевидно, что для к = 2

и к = 3 может существовать только по одному (с точностью до пе­рестановки номеров возбудителей) указанному выше многоуголь­нику, а для к > 3 — бесконечное множество многоугольников [19]). Это говорит о том, что для числа возбудителей, большего трех, разности фаз «. — ah для решений второй группы не определяются из уравнений (5.13) однозначно; для их нахождения, согласно за­мечанию 8 § 7 гл. 10, следует рассмотреть следующие приближе­ния. Дополнительного исследования в данном случае потребует и

Рис. 8.

вопрос о существовании и устойчивости синхронных движений, ибо уравнение (4.24) будет непременно иметь нулевые корни. Заметим, что такая ситуация является следствием определенной вырожденности рассмотренной системы; эта вырожденность исче­зает при учете неодинаковости парциальных скоростей возбуди­телей и ряда других факторов.

В случаях же двух и трех возбудителей задача решается до конца на основе рассмотрения уравнений (5.13) и (4.24), причем в случае двух возбудителей решение второй группы ai = я, аг = 0 совпадает с решением (1) первой группы. Как было показано в п. 1, это решение, отвечающее противофазному синхронному дви­жению возбудителей, устойчиво в послерезонансной (со > рх) и не­устойчиво в дорезонансной (<» < рх) области.