§ 1. Методы малого параметра Пуанкаре и Ляпунова в задачах о синхронизации слабо связанных объектов

Методы Пуанкаре и Ляпунова являются в настоящее время одними из наиболее эффективных средств исследования и по­строения периодических решений нелинейных дифференциаль­ных уравнений, содержащих малый параметр. Эти методы полу­чили значительное развитие благодаря трудам преимущественно отечественных ученых — JI. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, А. А. Витта, Б. В. Булгакова, И. Г. Малкина и ряда других исследователей.

Систематическое изложение методов Пуанкаре и Ляпунова можно найти, uaupuiiop, в книгах 174, 184, 188, 237J, а приме­нительно к задачам о синхронизации — в книге [57]. Здесь мы остановимся лишь на некоторых главных идеях этих методов и специфике их использования при решении задач о синхрониза­ции слабо связанных объектов; несколько подробнее об указан­ных методах говорится в § 1 гл. 10.

Одна из основных идей метода Пуанкаре состоит в рассмот­рении вместо исходной системы уравнений той обычно более простой системы, которая получается из исходной при р = D, т. е. порождающей системы. После того как периодическое реше­ние порождающей системы найдено, возникает важный вопрос о том, отвечает ли этому решению периодическое решение исход­ной системы, обращающееся в него при р = 0. Только при усло­вии. что такое соответствие между решениями исходной и порож­дающей системы имеется, периодическое решение порождающей системы можно рассматривать как приближенное решение ис­ходной системы, а дальнейшие приближения, если это необхо­димо, вычислять в виде рядов по степеням малого параметра. Затем надлежит исследовать устойчивость найденных решений, для чего обычно используют теорию устойчивости А. М. Ляпуно­ва. Естественно, что характер всего исследования существенно вависит от характера порождающей системы и ее решения.

В задачах о синхронизации слабо связанных объектов порож­дающая система в исходных переменных и в имеет вид (см. уравнения (2.1) гл. 1)

4S) = *W(4S)) (* = і,...,л),

»о = и* (*о1), • • •, 4h и0> 0),

а в переменных и v записывается в форме (см. уравнения (2.2) гл. 1)

•^=r"'W*V) <» = !,...,*>, (12)

= яТ, т,0).

Пусть система (1.1) допускает синхронное решение, т. е. реше­ние, характеризующееся равенствами (1.1) гл. 1. Тогда вследст­вие того, что время не входит явным образом в правые части уравнений (1.1), т. е. вследствие автономности этих уравнений, последние должны допускать также синхронное решение вида

лг)о (t — а.) nJs, o)a4 - і у1? [пі/'ш (і %,)]

(;' = 1, ...,r5; s = 1, (1.3)

Upo — Upo (t, (Xj, . . ., CXft) (p = 1, ..., v),

где a. — произвольные постоянные. Решение (1.3) получается из исходного решения путем замены t на t + а, в решениях отвечающих s-му объекту, и последующего решения уравнения ДМ »ро. Но тогда легко заключить, что если система (2.2) до­пускает некоторое периодическое решение У$ (т), • VpO (т), то она непременно допускает также семейство периодических ре­шений вида

у]о = wjs)coas - j - yf [те-8)со (f + аД

vpo — l-’po lxi ®т> • • •> ah)i

зависящее от к произвольных постоянных oti, ..а*. Указанные постоянные играют роль начальных фаз объектов в синхронных движениях.

Таким образом, для задач о синхронизации слабо связанных объектов характерно наличие у порождающей системы семей­ства периодических решений, зависящего по крайней мере от к произвольных параметров (число таких параметров может быть и большим — см. § 2). Этот случай является в теории периоди­ческих решений Пуанкаре, во-первых, особенным, требующим специального исследования, и, во-вторых, наиболее интересным с принципиальной точки зрения.