Как устанавливается путем соответствующего исследования [184], при наличии у порождающей системы семейства периоди­ческих решений, зависящего от некоторого числа произвольных параметров аь..., а*, вообще говоря, нет полного качественного соответствия между периодическими решениями исходной и по­рождающей систем уравнений. А именно, оказывается, что син­хронные решения исходной системы, т. е. системы (2.1) гл. 1, обращающиеся при р = 0 в синхронные решения (1.3) порож­дающей системы (1.1), могут соответствовать не всем значениям постоянных ае, а лишь значениям, удовлетворяющим некоторой системе конечных уравнений

Ps(cci, ...,aft) = 0 (s = 1, ...,&), (2.1)

составляемых по определенному правилу (см. ниже).

Далее, вообще говоря, не всем решениям уравнений (2.1) будут отвечать устоіічіпше г її и [»ом п г, ю движения. Исследование устойчивости показывает [33, 34, 57, 184, 216], что для доста­точно широкого класса систем основную роль в отборе устойчи­вых решений играет требование, чтобы для определенного реше­ния уравнений (2.1) все корни у, (за исключением, быть может, одного нулевого корня) алгебраического уравнения к-й степени

имели отрицательные вещественные части. Для многих систем сформулированное требование является не только необходимым, но и достаточным условием устойчивости (в малом и при доста­точно малых значениях параметра |i); кроме того, при выполне­нии данного требования для соответствующего решения уравне­ния (2.1) этому решению действительно отвечает единственное решение исходной системы дифференциальных уравнений, обра­щающееся при |х = 0 в порождающее решение (1.3).

Таким образом, если постоянные as найдены из уравнений (2.1) и для них к тому же все корни х уравнения (2.2) кроме, быть может, одного удовлетворяют условиям

Rex,-<0 С/ = 1, ..., к), (2.3)

то выражения (1.3) могут рассматриваться как полноценные пер­вые приближения к решению задачи.

Условия наличия у уравнений (2.1) вещественных решений относительно постоянных аь..., а* могут рассматриваться как необходимые условия возможности синхронизации объектов (мы имеем в виду случай, когда постоянные ав по своему физическо­му смыслу должны быть вещественными).

Решение исходной системы, т. е. системы (2.1) гл. 1, при необходимости можно разыскивать в виде рядов по степеням малого параметра (см. § 1 гл. 10). К счастью, однако, в большин­стве задач о синхронизации вполне достаточно ограничиться нахождением первых членов рядов, определяемых приближени­ем (1.3), при условии, конечно, что постоянные найдены из уравнений (2.1). Напомним, что эти постоянные определяют фа - зировку движения объектов в синхронных режимах системы.

Таким образом, уравнения (2.1) играют весьма важную роль при решении задач о синхронизации: они служат для вычисле­ния фаз движения объектов в исходном приближении, для уста­новления условий существования синхронных движений в систе­ме; через левые части этих уравнений Ps(ai, ..., ак) выражаются и условия устойчивости синхронных движений. Назовем функ­ции Р, порождающими функциями, а уравнения (2.1) — основ­ными уравнениями задачи о синхронизации слабо связанных объектов. Отмстим, что эти 7Утравяеяия не могут быть составлены только на основе информации, содержащейся в порождающей системе (1.1); для этого необходимо учесть также те члены в исходных уравнениях (2.1) гл. 1, которые содержат малый пара­метр, в частности члены, отвечающие функциям связей fiF(8,(a:(1,J..., x<h), и, ji Впрочем, для составления функций Р,(<хі, ..., ah) обычно оказывается достаточно линейных относи­тельно (д, членов разложений функций pF<8), т. е. выражений (AFM (*“>,... , х(0ю. и0. 0(.

Весьма существенно, что трудности получения выражений для порождающих функций Р8 в явной форме для задач о син­хронизации слабо связанных объектов определяются не степенью

сложности всей системы в целом, а лишь степенью СЛОЖНОСТИ отдельных изолированных объектов и системы связи. Это обстоя­тельство значительно облегчает решение задач о синхронизации объектов со слабыми связями.

Рассмотренным результативным соотношениям задачи о ис­следовании синхронизации слабо связанных объектов часто можно придать значительно более удобную форму [40, 41, 43, 57, 81, 164, 165, 209—211, 282—286І. Предположим, например, что существует такая функция D = D(aі, ..aj, что выполня­ются соотношения

dDldas = — Ps (ab..., a*) (s = 1, ..., k). (2.4)

Функцию D (последняя, как и P„ здесь предполагается вещест­венной) назовем потенциальной функцией.

Рассматривая совместно соотношения (2.1)—(2.4), нетрудно прийти к выводу, что устойчивые синхронные движения системы могут соответствовать тем стационарным точкам осх, • • •, «ь потенциальной функции D(aі, ..afc), в которых эта функция имеет минимум, обнаруживаемый на основе анализа членов не выше второго порядка в разложении ее вблизи стационарных то­чек. Доказательство, а также более точная формулировка этого утверждения приводятся в § 8 гл. 10.

Таким образом, функция D в рассматриваемых задачах о синхронизации играет ту же роль, что и потенциальная энергия системы в задаче об отыскании и исследовании устойчивости положений равновесия консервативных систем.

Сформулированный критерий устойчивости синхронных дви­жений был назван интегральным [40, 41, 43], поскольку функ­ция D, так же как и порождающие функции Ре, зависит от ус­редненных за период характеристик движения системы, вычис­ленных для порождающего решения. Значение этого критерия определяется тем, что потенциальная функция D во многих кон­кретных задачах о синхронизации имеет отчетливый физический смысл, что позволяет рассмотреть вопрос о наличии или отсут­ствии тенденции объектов к синхронизации в весьма общей форме, а также облегчить решение задачи синтеза систем с син­хронизирующимися объектами. Другое достоинство интегрально­го критерия состоит в том, что он открывает возможности для использования хорошо разработанных алгоритмов попска экстрему­мов функции многих переменных, допускающих применение сов­ременных вычислительных машин. При наличии этого критерия условия устойчивости движения могут быть к тому же выражены в явной форме с помощью известной теоремы Сильвестра.

Весьма существенно, в частности, что наличие устойчивых синхронных движений, т. е. тенденции к синхронизации, удает­ся при достаточно общих предположениях доказать в случае периодичности потенциальной функции D по cti, ..ah1 а также' в случаях, когда D близка к периодической или функции Р, близ­ки к таким, для которых существует функция D, близкая к пе­риодической. (В этих случаях будем говорить о существовании квазипериодической квазипотенциальной функции; см. § 9 гл. 10).

Несмотря на то, что требование существования потенциаль­ной (или квазипотенциальной) функции D, казалось бы, накла­дывает на рассматриваемую систему достаточно жесткие усло­вия, эта функция существует во многих важных задачах о син­хронизации, а также и в других задачах теории нелинейных колебаний, для которых порождающая система допускает семей­ство периодических решений, зависящее от некоторого числа произвольных параметров. Расширению класса систем, для кото­рых действует интегральный критерий, способствует также и та обстоятельство, что, как можно показать, для его справедливости достаточно существования функции D, удовлетворяющей не условиям (2.4), а гораздо менее жестким соотношениям:

bgl"^ + bal^+ +Ь‘Ь-Щ^ = •■•,«*) (2-5)

(s = 1,

где bs3 = hjs — любые постоянные, подчиненные требованию, что-

ft ft

бы квадратичная форма В (z, z) — 2 2 bsjZsZj была подожн­ем }=1

тельной. На возможность подобного обобщения внимание автора - обратили Р. Ф. Нагаев и К. III. Ходжаев.

Выше мы умышленно несколько упростили ситуацию, чтобы не загромождать изложение второстепенными деталями и оговор­ками. Из опущенных подробностей отметим лишь, что в авто­номном случае, т. е. в задаче о внутренней синхронизации, из уравнений (2.1) определяются не сами начальные фазы а», а лишь фазовые сдвиги а,—ак, но зато обычно находится также первое приближение к синхронной частоте со; уравнение (2.2) должно иметь лишь к — 1 корней с отрицательной вещественной частью, ибо всегда присутствующий в этом случае нулевой ко­рень не играет никакой роли. Далее число произвольных посто­янных в порождающем решении (1.3) может быть больше, чем число объектов к, поскольку появление таких постоянных не обязательно связано с произволом в выборе начала отсчета вре­мени в движении каждого из изолированных автономных объек­тов. В этих, а также и других более сложных случаях условия устойчивости, выражаемые через посредство уравнений типа ' 2.2) и интегральный критерий устойчивости, являются не доста­точными, а лишь необходимыми, но играющими все же основ­ную роль при отборе устойчивых синхронных вложений. Ниже* в гл. 10, конкретные выражения для порождающих функций Р. приведены для некоторых типов систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр и представляющих интерес для теории синхронизации. В гл. 3, 4, 7 и 12 выражения для этих функций, а также для потенциальной или квазииотенци - альной функции D, еще более конкретизируются применительно к задачам о синхронизации определенных классов слабо взаимо­действующих объектов.

В заключение настоящего параграфа коснемся существенного и, к сожалению, часто неправильно освещаемого вопроса о строгости методов Пуанкаре и Ляпунова при их применении к решению прикладных задач.

Дело в том, что основной «работающий» аппарат этих методов позволяет установить факты существования и устойчивости ре­шения, а также сходимости соответствующих рядов, при доста­точно малых значениях параметра ц и при достаточно малых начальных отклонениях, Значительно труднее определить гра­ницы областей изменения малого параметра и начальных откло­нений, в которых эти факты имеют место: несмотря на наличие ряда интересных результатов (см., например, [254]), эффектив­ных универсальных методов здесь до сих пор не существует. Поэтому в подавляющем большинстве прикладных исследований (и задачи о синхронизации не составляют исключения) авторы ограничиваются установлением результатов «в малом», не опре­деляя радиусов сходимости рядов и областей притяжения най­денных режимов в фазовом пространстве системы. Между тем при практическом использовании указанных результатов прихо­дится иметь дело с конечными значениями параметра и и на­чальных отклонении. Иными словами, результаты локального исследования используются вовсе не локально.

Естественно, что такое применение рассматриваемых методов не является строгим и в принципе может приводить к ошибкам. Иначе говоря, в приложении к практическим задачам локальные результаты, найденные методами Пуанкаре и Ляпунова, явля­ются не достоверными, а лишь правдоподобными. Такие взгляды на рассматриваемые методы высказывались еще А. А. Андроно­вым и представителями его научной школы [19, 102]. Однако опыт использования методов Пуанкаре и Ляпунова показывает, что «степень правдоподобности» при указанном нестрогом, но осмотрительном применении локальных результатов на деле оказывается весьма высокой: как правило, эти результаты хоро­шо согласуются с экспериментом, являющимся здесь отнюдь не излишним. Представляется, что причина такого положения со­стоит, грубо говоря, в хорошей «корреляции» между математи­ческим и интуитивным понятиями «достаточной малости»; по этой, а также и по некоторым другим причинам реальное попа­дание в область, где локальные результаты несправедливы, го­раздо «менее вероятно», чем в ту область, где они верны. Под­робное рассмотрение изложенных соображений приводится в четвертой главе книги [57], а также в книге [61].