Уравнение Муни ф Уравнение Ривлина ф Общие уравнения Трелоара ф Вклад внутренней энергии в высокую эластичность ф Уравнение Огдена

В 3.3 было показано, что при равновесной изотермической де­формации полимерных сеток работа внешних сил W равна измене­нию свободной энергии. Функция W в дальнейшем получила назва­ние высокоэластического потенциала. Последний зависит в случае трехмерной однородной деформации (см. рис. 3.4) от кратностей растяжения по трем главным осям координат Х, k2l кз [77]. Обзор важнейших этапов развития механики деформации полимерных се­ток сделан Трелоаром [3.1, 3.2].

3.6.1. Уравнение Муни

Исходя из предположений о том, что сшитый эластомер (рези­на) в нсдеформированном состоянии является несжимаемым и изо­тропным материалом и что деформация при простом сдвиге подчи­няется закону пропорциональности между напряжением и деформа­цией, Муни получил известное уравнение

W=CX (Ч + Д2+/1-3) 4- С2 (ХГ24-/.72 -/Г2-3), (3.37)

из которого для простого растяжения (или одноосного сжатия) сле­дует

а = 2(/2-л-1)(С1+С2/А), (3.38)

а для простого сдвига

*1.2=2(СХ + С2)у, (3.39)

где о — истинное нормальное напряжение; — нормальное напря­жение сдвига; у — деформация простого сдвига, причем 2(С + С%) = *=G — модуль сдвига. Хотя уравнение Муни очень популярно, но детальный анализ приводит к выводу [3.1], что уравнение Муни плохо согласуется с экспериментом при растяжении (л>2,5), не согласуется при сопоставлении растяжения и сжатия и, кроме того, серьезные трудности лежат в наблюдаемых отклонениях от линей­ности при простом сдвиге. Для натурального каучука причиной

отклонения уравнения от эксперимента может быть кристаллиза­ция при растяжении.

3.6.2. Уравнение Ривлина

Ривлин проанализировал общую форму высокоэластического потенциала через инварианты конечных деформаций:

г ^2 п2 , - 2 Г 2-», 2 I ' '2: 2 i 2' 2 , ^ 2 2,2

J 1 Ai - j - - р А-з; / 2 a jA2 Г /v2^3 - j - ;; / 3 — А1А2А3.

Полагая, что W=Wr(Iu /2, /3), и учитывая, что для несжимаемо­го материала /3 = 1 и, следовательно, /2“АГ2 + А2“‘2 + ?*з“2э имеем в общем случае

W= ^ ^ си ^ 1 зу </2 — ЗУ,

где с// — упругие постоянные.

В нулевом приближении / = 0, / = 0, W~c0q; учитывая, что № = 0 при ki= i, получим, что и с0о = 0.

Во втором приближении имеем

(А — 3)+£Г2 (/я — 3), (3.40)

где Ci~-=Cw и C2 — Cq. Полученное уравнение (3.40) есть уравне­ние Муни. Таким образом, в формулировке Ривлина уравнение Муни имеет более общее значение по сравнению с частными допу­щениями Муни.

3. 6. 3. Общие уравнения Трелоара

Как указывает далее Трелоар [3.1], общее уравнение деформа­ции может быть получено как функция частных производных от W(IU /2), так как /3^1 или Для упрощения полагаем

случай двумерного растяжения (а3 = 0), тогда

в1 = 2 (X? - /|) (а^/дЛ + ltdW/df2),

(3.41)

а2=2 (il - xl) (au^/ал+kdw/д 12).

Для простого растяжения, например, имеем (в направлении 1)

3==j1 = 2 (х[ —1 j (dW/dli+^dW/dlj. (3.42)

Если считать, что dW/dIi = Ci и dWjdI2 = c2— константы, то получа­ем уравнение Муни (3.38).

Уравнения (3.41) были подвергнуты экспериментальной провер­ке Ривлиньш и Саундерсом [3.3]. Они заключили, что W=Ci(Ii—3) + - ЬФ*(/2—3), где Ф*— функция, убывающая с увеличением 12. Было показано, что dW/dI2— величина относительно малая по сравнению с Ci=dW/dIu т. е. она играет роль поправки, и исчезает совсем, если резине дать набухнуть в растворителе.

В связи с ограниченностью применения уравнения Муни предла­гались другие уравнения, в частности выражения для высокоэласти­ческого потенциала с учетом сжимаемости материала (инвариант h=ki2h22h2¥= 1). Например, Линдли предложил следующее урав­нение: ^ '

0(xJ+X* + &-3)+J - В {(K^-cf-a-c)2}. (3.43)

Учет сжимаемости эластомеров и резин при деформации связан с тем, что более точная теория высокой эластичности должна учи­тывать и малое изменение объема образца при деформации. В связи с этим вновь возник интерес к вопросу о вкладе энтропийной и энер­гетической составляющих в высокоэластические силы, рассмотрен­ному в предыдущем разделе этой главы.