При использовании МКР, рассматриваемая область (в данном случае канал экс­трузионной головки) разбивается на расчетные ячейки с помощью сетки (рис. 4.2).

Узлы сетки лежат в пределах области интегрирования или точно на ее границах [ 14 ]. В простейшем случае сетка состоит из прямоугольных или квадратных ячеек с посто­янным шагом между узлами.

= 1 ////!	*-1 А	к + 1 S//////////////A	V/////A
		Ч-1-ул+1>	<*ьУл + 1>	Ц + 1.Уп+ 1>		) > > )
	Г -|		JxL, у „У	W+i-yn)
• f	'	1 1 ><*		Ч+1-Улч)
			(Хк. Уп-,)		> (
А-----	1—i--------------------- <	--------	,-------------- 4-------------- ,	►—

Дх

п= NT п +1 п л-1 п = 1

<

Рис. 4.2. Разностная сетка для плоского или осесимметричного канала

Для решения дифференциальных уравнений, описывающих решаемую задачу, они преобразуются в разностные уравнения путем замены производных в точке конечными разностями по границам ячейки. Например, производная функции и по координате х в точке п (рис. 4.3) заменяется следующим конечно-разностным выражением:

ди

(4.45)

дх

и(хп + Дх) - и(хп - Дх)

2 • Ах

Это означает, что касательная в точке [хп, и(хп)заменяется хордой, проходящей через точки [хп _,, и(хп _ t)] и хп + ,, и(хп + t)] (рис. 4.3). Тангенс угла наклона каса­тельной, который соответствует частной производной, заменяется тангенсом угла на­клона секущей, то есть конечно-разностным отношением. Уравнение (4.45) соответ­ствует так называемой центральной разностной схеме. Такие разностные схемы аппроксимируют производные более точно, чем так называемые граничные схемы — конечно-разностные схемы для передней или задней границы и точки внутри расчет­ной области (рис. 4.3). Центральная разностная схема может быть построена, только если доступны узлы сетки по обе стороны от текущего (центрального) узла. Если точка сетки хп лежит на границе или так близко к ней, что точки сетки по другую ее сторону не существует, то производная аппроксимируется с помощью передней или задней разностных схем (соответственно с шагом вперед или назад):

ди дх

и(хп + Ах) - и(хп) Дх

(4.46а)

ди

Дх

дх

(хорды)

АД X Аппроксимация производной с помощью задней разностной схемы

Аппроксимация производной с помощью центральной разностной схемы

х

•п

Рис. 4.3. Различные подходы к реализации разностных схем

Как показано на рис. 4.3, граничные разностные схемы обеспечивают менее точ­ную аппроксимацию, чем центральная разностная схема.

Явные и неявные разностные схемы

При составлении уравнений в конечных разностях для всех точек сетки получа­ется система уравнений для всех расчетных точек и, следовательно, состоящая из такого количества уравнений, которое соответствует количеству неизвестных в си­стеме.

Полученная система, при необходимости, должна быть линеаризована, а затем решена с использованием одного из специальных алгоритмов решения систем урав­нений (некоторые из них описаны, например, в работе [14]). Решения этой системы представляют собой значения искомых величин в узлах сетки, то есть система урав­нений представляет собой решение в неявном виде; формулировка, соответствую­щая точному решению, здесь невозможна. Следовательно, такая разностная схема называется неявной. Если реализуется явная разностная схема, значения функции в точках сетки k + 1 вычисляются явно на основании значений в точках k, а иногда и в более отдаленных, например, k - 1, k - 2, и т. д. Таким образом, уравнение для вычисления значения функции ик +, в точке сетки k + 1 имеет следующую форму:

(4-47)

В примере для течения в канале это означает, что исходное состояние жидкости на входе в канал последовательно обрабатывается в направлении от входа к выходу. В отличие от неявного метода, в данном случае уравнения не решаются одновременно.

Явные методы в основном используются для расчета задач, в которых имеет мес­то временная зависимость (например, неустановившиеся процессы): здесь состояние во временной точке t + 1 вычисляется на основании состояний, имевших место в предшествующие моменты времени t, t - 1 и т. д.

Преимущество явных разностных методов состоит в том, что вместо системы уравнений требуется решить всего одно уравнение. Таким образом, процедура реше­ния упрощается за счет упрощения техники программирования. Кроме того, явные
разностные методы существенно быстрее, чем неявные. Однако точность, устойчи­вость и скорость сходимости явных разностных схем ниже, чем соответствующие показатели неявных методов. Кроме того, при использовании явных разностных схем невозможно оценить влияние условий ниже по течению, которые имеют место, на­пример, при сужении канала. При соблюдении определенных критериев устойчиво­сти и сходимости явные разностные методы дают результаты с удовлетворительной степенью точности [11,45,46]. Это особенно справедливо в тех случаях, когда влия­нием состоянием системы ниже по течению на ее текущее состояние можно пренеб­речь. Благодаря высокой скорости вычислений и относительно низких требований к устройствам для хранения информации явные разностные методы особенно хоро­шо подходят для реализации на персональных компьютерах. Большое количество примеров их использования приведено в работах [9-12]. Последующие несколько разделов посвящены исключительно явным разностным методам.

Преобразование уравнения энергии в дискретную форму для реализации явной

разностной схемы

В настоящем разделе использование явного метода конечных разностей будет продемонстрировано на примере преобразования уравнения энергии (4.44) в явную разностную форму.

Для решения этой задачи в первую очередь необходимо заменить производные в уравнении (4.44) их разностными представлениями:

(4.48)

дТ П+1 _-г.

дх Ах

и

(4.49)

&Т Т,+х-2Т,+ТКп_,

ду2 (Д у)1

Подставляя эти выражения в уравнение (4.44) и решая полученное уравнение относительно Тк + , „[16], получаем

ХАх

Tk, n+ 1 = Тк, п + -, чл,.2 (Tk, n + 1 " 2Tk, n + Tk, n-0 +

pcpv(n)Ay (4.50)

Лгг|(п) г'

+ ■

р cpv(n)

by

Здесь скорость на данном временном шаге заменяется ее средним значением: vx - v(n)= Y'(v*,„ + v*+1 ,„)• (4.50.1)

Из уравнения (4.50) ясно, что распределение температур в точке k + 1, то есть ниже по течению, рассчитывается на основе распределения температур в точке к, а также на основе текущего распределения скоростей (рис. 4.2).

Производя разбиение наслои, как показано на рис. 4.2, необходимо иметь в виду, что 2 <п< NT - 1. Если выбрана температура экструзионной головки Tw, то темпера­тура слоя NT рассчитывается на основании уравнения (4.50) путем введения допол­нительного шага шириной Ау/2 в непосредственной близости от стенки (ср. рис. 4.2):

Tk, NT ~ Tk, NT - 1 ,.„J4

k, NT - 1/2 = ------------ 2------------ • ( }

Подставляя с шагом шириной Ay/2 в уравнение (4.50), получаем: Tk + t = Tw,

Ук, п = ^k, NT И п-Г T/t. NT - 1/2-

Поскольку поток через щель симметричен, слой п = 0 должен иметь такую же

температуру, как и слой п = 1. Таким образом, для уравнения (4.50) устанавливается следующее:дляп - 1 ,Tk n = Тк п_{ [16,17].

Как показано, например, в работе [17], для осесимметричного канала применяет­ся аналогичная процедура.