Для того чтобы исследовать автоматическою систему управления, и в част­ности АСУ ЭП, необходимо располагать ее математическим описанием, т е си­стемой дифференциальных уравнений, характеризующих зависимости координат системы от внешних воздействий и друг от друга. В частном случае, когда про­изводные по времени от координат равны нулю, эти уравнения обращаются в ал­гебраические, описывающие статику системы

Наиболее распространенными способами математического описания, исполь­зуемыми при проектировании и исследовании АСУ ЭП, являются- дифференци­альные уравнения, записываемые в той или иной форме, структурные схемы, являющиеся графической интерпретацией дифференциальных уравнений; мат­

ії

ричные структурные схемы, находящие в настоящее время наибольшее распро­странение прн описании линеаризованных систем. Описание системы о виде дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши позволяет представить структури)ю схему системы в виде ряда связанных между собой элементарных интегрирующих звеньев 13]. В нелинейной системе коэффициенты дифференциаль­ных уравнений непостоянны и могут быть либо функциями времени, что в систе­мах электропривода встречается сравнительно редко, либо, как это бывает чаще, представлять собой функции переменных (координат) системы. На элементарное звено могут воздействовать также функции произведения внешних входных воз­действий или переменных системы. С учетом сказанного для элементарного k-vo звеиа можно записать

Ak&k = £ F (*д + £ F (х, х хд),

еде дк — инерционный коэффициент, который характеризует элементарное звено н в общем случае может быть переменным; Л* — производная от переменной на выходе рассматриваемого k-то звена; 2F (х,) — сумма воздействий, линейно или нелинейно зависящих от внешних воздействий или переменных системы, в том числе и от переменной Xkt %F (xi X Xq)—сумма воздействий, зависящих от произведения внешних воздействии нли переменных.

Ограничив для конкретности число входов и полагая, что

£ F (*,) = F м-F (Хк) = —*Qi с; я F {Xf х *в) = х^с,

(где X}, xr, xs — некоторые входные воздействия илн переменные системы; F (*/) — входной сигнал, нелинейно зависящий от Xi F (х*) — сигнал нелинейной обратной связи, охватывающий рассматриваемое элементарное звено), а также считая, что, как это бывает обычно, А^ — const, структурную схему элементарного энена можно представить в виде рис. 1-3, а. На ней статические характеристики нели­нейных связей F (*/) и F (хь) представлены графически. В установившемся ре­жиме результирующий входной сигнал на интеграторе равен нулю, т. е. =

= *о-с-

Координаты xi, ж*, xri xs, ха. с представляют собой физические величины, например напряжение, ток, скорость и т. п. Это удобно, так как значения, фигу­рирующие в математическом описании, равны значениям реальных физических величин. Однако при рассмотрении сложных автоматических систем большое число размерных коэффициентов часто делает структурную схему громоздкой, затрудняет ее понимание. В тех случаях, когда основной задачей является ком­плексное исследование сложной системы, структурную схему можно упростить за счет перехода к относительным величинам, т. е. применить нормирование.

Под величиной в относительных единицах (о. е.) понимают отношение неко­торой величины х к ее базовому значению за которое принимают обычно зна­чение в наиболее характерном установившемся режиме. Если я рассматриваемой схеме за базовое значение х^ принять Хь g, то базовым значением сигнала обратной связи Х0-с, б надо выбрать значение, соответствующее Хь б» П0 характеристике об­ратной связи. Это же значение целесообразно выбрать базовым для входных ве­личин хт= F (xi) и XfXs, Тогда Xi& определится по статической харак­теристике связи, как показано на рис. I-З, а, а определение базовых значений Хг а и Xs б должно быть произведено из равенства Xr gX*= X,,.с g, причем одно из базовых значений может быть выбрано произвоіьно. Структурная схема в о. е. будет иметь вид рис. 1-3, 6. Характеристики нелинейных связей в о. е. получены из исходных путем деления значений, отложенных по осям координат, на соответ­ствующие базовые значения.

Постоянный коэффициент

Пй “ AftX/iб'^о. с. й»

имеющий размерность времени и зависящий от выбора базовых значений ве­личин на входе и выходе элементарного звена, называется базовой постоянной времени [9J.

Базовая постоянная времени может быть определена так называемым инте­гральным методом. В соответствии со структурной схемой в о. е. можно записать

^*6** *= *2] -*о. с*

Если рассматривать переходный процесс, в котором выходная переменная изменяется от 0 до I (в абсолютных единицах — от нуля до базового значения), то в результате интегрирования этого выражения получается

] 00

откуда

О

Если и х0.с представляют собой электрические напряжения или являются физическими величинами, которые могут быть преобразованы в напряжения, то с помощью интегратора легко реализуется схема для определения 7*6 го из­меренным входному сигналу и сигналу обратной связи.

Многие системы, в частности системы стабилизации, работают при некотором определенном для данного режима значении регулируемой координаты. Это поз­воляет произвести линеаризацию системы известным из теории автоматического управления способом, когда переходят к приращениям координат, используют коэффициенты передачи элементов, определенные в рабочей точке, и заменяют произведения приращений переменных их суммой. Так, в схеме рис. 1-3, 6 коор­
дината хп представляет собой произведение переменных хг и Xs, Прн линеариза­ции, давая ирирашения переменным, можно записать

нач 4" ~ (^/-аач 4" Д^/") нач~Ь ^xs)*

Произведение Xraa4Xs„34 войдет в уравнение статики и будет исключено из системы уравнений в приращениях. После исключения произведения Д^Дх5 как величины второго порядка малости операция умножения окажется заме­ненной суммированием. В прямые каналы будут введены звенья с пе­редаточными коэффициентами Xs нач н Хг нач - значения которых определя - «отся выбором режима, принятого за начальный (рис. 1-4).

Линеаризация гладких нели­нейных характеристик связей сво - дитси к замене нелинейной связи пропорциональным звеиом с коэффи­циентом передачи, представляющим собой в о. е. тангенс угла наклона касательной к характеристике связи в точке, соответствующей начальному режиму, как это показано на рис. 1-3, б для коэффициента ki.

В абсолютных единицах (а. е.) коэффициент передачи определяется как отно­шение приращений выходной величины к входной, определенных по касательной в рабочей точке (рис. 1-3, о). Коэффициенты в а. е. и о. е. связаны между со­бой выражением

^=А;Яо. с.б/^6»

Очевидно, что значения k% и ^ зависят от того, в какой рабочей точке работает система.

При линеаризации нелинейной связи, охватывающей элементарное звено, в зависимости от рабочего режима различными оказываются и коэффициент пе­редачи получающегося апериодического звена, и его постоянная времени, В точке А (рис. 1-3, 6), где касательная к характеристике связи параллельна прямой, про­ходящей через начало координат и точку В, соответствующую базовому режиму, коэффициент обратной связи ^0.с. Haq= 1, а постоянная времени равна В дру­гой рабочей точке &о-с*Иач отличен от единицы и апериодическое звено, на вход которого действуют сигналы Xs „ач Xrm4 AJcj, описывается передаточ­

ной функцией

(р) — У(^*£6Р) _

1 +*о. с.вач /{Ткб Р) Ткр +

ГДЄ fifr — 1/^о. с-нач? = б/*о. с. нач*

Система управления может содержать и негладкие нелинейности, например, типа ограничения зоны нечувствительности н др. При анализе такой системы иногда удается выделить режимы, в которых эти нелинейности не оказывают влияния на ее работу. Так, например, ограничение выходного напряжения регу­лятора не сказывается при малых значениях входного сигнала, наличие сухого трения иногда может не учитываться, если в процессе регулирования скорость двигателя не снижается до значений, близких к нулю, не во всех режимах созда­ются условия, при которых в результате влияния зазора двигатель и ИО оказы* ваются не связанными друг с другом. В этих случаях система может рассматри­ваться как линеаризованная.

При исследовании режимов, в которых исключить влияние нелинейности нельзя, широко применяется метод гармонической линеаризации в совокупности с расчетами на АВМ и ЦВМ.