При чисто хрупком разрушении, согласно механике трещин [11.2; 11.5; 11.13], локальные напряжения в вершине пропорцио­нальны корню квадратному из длины трещины.

Для определения напряжения в вершине микротрещины а* воспользуемся результатами механики хрупкого разрушения. При рассмотрении идеально упругого образца с поперечным боковым разрезом длины I (при отсутствии внешнего растягивающего на­пряжения оба берега разреза 'совпадают, т. е. разрез при этом имеет нулевую толщину) получим следующее выражение для поперечного компонента напряжения в плоскости разреза х = 0 при У> 0:

где у— расстояние от вершины разреза; /<г—коэффициент интен­сивности напряжений для нагрузок первого типа (растягивающие нагрузки, нормальные по отношению к плоскости трещины). Вели­чина К используется в литературе для характеристики напряже­ний вблизи вершины трещины и зависит от формы образца и характера распределения приложенных нагрузок.

В выражении (11.13) первое слагаемое отражает напряженное состояние образца при 1 = 0. Обычно его вкладом пренебрегают, так как рассматривают достаточно длинные трещины, но в настоя­щей работе для общности этот член сохраняется. Для случая крае­вой поперечной трещины в тонкой полоске коэффициент интенсив­ности напряжений в вершине трещины имеет выражение

Kt(l/L) = aVlU.^0lL), (11.14)

где ф*(//L)—численно табулированная, монотонно возрастающая с ростом аргумента функция. При //L<C 1, что соответствует полу - бесконечной полоске, ф* (//1^1,12 и ф*(//1) = 1,14 при l/L = 0,1. Подставляя коэффициент интенсивности напряжений (11.14) в вы­ражение (11.13), получим распределение напряжений вблизи вер­шины трещины:

«.(0)=ofi+?*да KW)I - (1U5>

Из этого выражения видно, что край разреза (у== 0) является

особой точкой решения задачи методами линейной теории упругос­

ти, в которой напряжение стремится к бесконечности при у-*-0, что не имеет физического смысла для реальных полимеров. При реше­нии той же задачи с учетом дискретной микроструктуры материала бесконечных напряжений в вершине трещины не возникает.

Рассмотрим распределение напряжений по связям в окрестности вершины трещины в линейном приближении. Пусть А —характер­ный размер микроструктуры, например среднее расстояние между атомами, цепями полимера и т. п., тогда распределение напряже­ний по дискретным элементам микроструктуры в вершине трещины можно приближенно получить из (11.15), учитывая дискретность

строения полимера путем замены переменной у на произведение £Д, где^‘=1, 2, 3, ... — номер дискретного элемента (начиная отсчет от крайнего) в вершине микротрещины:

(11.16)

Эта зависимость представлена гистограммой на рис. 11.8 (сплош­ная ломаная). Для сравнения на том же рисунке штриховой лини­ей представлена зависимость (11.15), соответствующая континуаль­ной теории.

При хрупком разрушении под Д имеет смысл понимать расстоя­ние л, на которое продвинется вершина трещины при флуктуации, приводящей к разрыву связей. В этом случае на крайнюю связь,

Рис. 11.8. Схема распределения напряжений вблизи вершины краевой поперечной трещины в тонкой полоске,

Сплошная линия — при учете дискретной микрострук­туры (формула (11.16)); штриховая линия — без учета (формула (11.15)). При построении принято 7/Х=0,2;

С /А= 12; Ф* (0,2) = 1,19

находящуюся в вершине (£= 1), действует напряжение, которое будем обозначать

а*=0[1+?.(//1)УЛ/(ЭД1=ар(/). (11.17)

При относительно малых длинах трещины //L <С 1 функцию ФS(l/L) в (11.17) можно считать постоянной, равной 1,12, поэтому

а*=а(1 + 1,12уТ/(2Х), (11.18)

а при выполнении более сильного условия 1^>К это выражение примет вид

о*^1,12о1/1Д2Г)=оР(/). (11.19)

Совокупность выражений для скорости роста трещины v(l, a*) вида (11Л0) и для напряжения в вершине трещины o*(l, о) типа

(11.17) полностью определяет скорость роста трещины как функ­цию ее длины и приложенного к образцу напряжения а, рассчитан­ного на все поперечное сечение образца.

11.7.5. Уравнение долговечности

Напряжения, при которых производятся испытания, обычно значительно превышают безопасные. Поэтому процессом восста­новления связей в вершине трещины можно пренебречь и пользо­ваться выражением (11.11). Кроме того, в опытах выполняется условие при котором напряжение в вершине трещины

имеет вид (11.19). Подставляя (11.19) в (11.11), получим

ф, /)=^кехр[-Щт-ехр(ШШ^//7(2Х) .

Тогда логарифм скорости

lgz>(o, Z)=_iL^ + igZ>lc-fO,48-^///(;jA) (11.20)

kl ы kT

линейно возрастает при росте параметра о у" /, что совпадает с экспериментом. Характер зависимости (11.20) от температуры так­же совпадает с экспериментальными данными.

Разрушение твердого тела происходит в две главные стадии. Первая, медленная, стадия образует зеркальную зону поверхности разрыва, вторая, быстрая, — шеро­ховатую. На быстрой стадии реали­зуется атермический механизм раз­рушения. Временная зависимость прочности, называемая в инженер­ной практике статической устало­стью, выражается взаимосвязью между долговечностью тд и задан-

Рис. 11.9. Зависимость долговечности полоски из технического полиметилмета - крилата от приложенного растягивающего напряжения о, рассчитанная по формулам

(11.10) , (11.17) и (11.21)—линия 1 и по приближенным формулам (11.29), (11.30),

(11.31) — линия 2 [61] (при 0 К) п прямая АВР (при 20° С)

ным напряжением о; тд определяется суммарным временем разру­шения, например временем роста трещины от ее начального раз­мера до критического и временем прорастания трещины с критичес­кой скоростью vK до полного разрушения.

В процессе роста трещины на первой стадии от начальной длины /о напряжение в ее вершине (11.17) возрастает и при некоторой длине /к достигает значения ак*, что соответствует переходу от мед­ленной стадии (термофлуктуационного механизма разрушения) к быстрой (атермическому механизму разрушения), на которой ско­рость роста трещины vK практически постоянна. Следовательно, долговечность можно представить в виде

Тд=-с, + т2=-^-+^^, (11.21)

^ v(l, о) ГЛ<

и

где первый член отражает вклад в долговечность термофлуктуаци - ошюй стадии разрушения, а второй — атермической.

Выражая скорость роста трещины на первой стадии в виде

(11.10) с учетом (11.17) и выполняя интегрирование, можно полу­чить зависимость долговечности тд от напряжения о по уравнению

(11.21) . Зависимость IgTa(a), рассчитанная для технического поли - метилметакрплата при 20° С (293 К) приведена на рис. 11.9. При
расчете учитывалась линейная зависимость энергии активации раз­рыва связей от температуры [5; 9]:

(11.22)

U = U0-qT,

где Uо — значение энергии активации, экстраполированное к О К, постоянная q определяется из экспериментальных данных. Причи­на уменьшения U с температурой заключается в том, что из-за теп­лового (фононного) давления химические связи подрастянуты и требуется меньшая кинетическая энергия для их разрыва. В соот­ветствии с работой [61] UQ = 218 кДж/моль, а безопасное напряже­ние сго^26 МН/м2 [9]. Протяженность начальной микротрещины для примера взята равной /0 = 0,2 мкм, ширина образца L = 3 мм, а предельная скорость роста трещины vK для полиметилметакрила - та равна 700—800 м/с.

Зависимость!^тд(а) (рис. 11.9) практически линейна в облас­ти ао<а<ак. При приближении к безопасному напряжению долго­вечность неограниченно возрастает, а при напряжениях, превы­шающих критическое, практически постоянна.

Развитие экспериментальных методов изучения кинетики роста трещин достигло в настоящее время высокого уровня и дает воз­можность сравнивать и анализировать не только долговечности образцов в целом, но и непосредственно зависимость между дли­тельностью разрушения и длиной трещины.

Рассмотрим зависимость тд(/) на стадии термофлуктуационно - го разрушения:

Выражая скорость роста трещины в виде (11.10) с учетом

(11.17) и выполняя численное интегрирование, можно получить временные характеристики термофлуктуационного разрушения в полном объеме. Однако важные результаты можно получить и при несколько упрощенной постановке задачи, позволяющей провести аналитические расчеты. Первым из упрощений является использо­вание скорости роста трещины в виде (11.11), в этом случае мы пренебрегаем процессом восстановления разорванных связей. Вто­рым упрощающим предположением является учет зависимости о*(1) в виде (11.18), соответствующем решению задачи о распре­делении напряжений вблизи вершины трещины для полубесконеч- ного образца, что, однако, не противоречит рассмотрению образ­цов конечной ширины с достаточно малыми начальными трещина­ми (см., например, [11.15; 11.16]).

Выполняя интегрирование в пределах от /0 до некоторого теку­щего значения /^/к при любом заданном растягивающем напря­жении, находящемся в интервале ао<а<ак, получим (пренебрегая пока второй стадией г2)

(11.24)

Тд=С/ ехр [(£/ —«Д/0)а)/(&7%

Рде, согласно [иле], С и f — коэффициенты, слабо зависящие от о и Т. Так как для полимеров ою/(кТ) — величина порядка 1 или бо­лей и Х-С/о, то

^_3,75А;ГУ7о/(2л)_ 2,66&///0/А

(11.25)

Кроме того, р(/) = 1 + 1,12]///(2Я) и (J(/0) = 1 + 1,12}/ 1о/(2к) —

коэффициенты концентрации напряжений в вершине растущей и начальной микротрещин. В зависимости (11.24) предэкспоненциаль­ный коэффициент С слабо по сравнению с экспонентой зависит от своих аргументов. Зависимость времени роста трещины от ее дли­ны выделена в отдельный множитель f, быстро стремящийся к еди­нице при возрастании /.

Совокупность формул (11.24) — (11.26) описывает процесс роста трещины от ее начальной длины /0 до текущей / до тех пор, пока возрастающее в процессе роста трещины напряжение в ее вершине не достигнет критического значения ак при котором происходит переход к атермнческому механизму разрушения. Вклад медленной стадии разрушения % в долговечность образца по уравнению (11.24) определится в этом случае из формулы (11.26) после под­становки в нее вместо I критической длины трещины /к, которая определяется из условия а* (/) = ак*. Подставляя в (11.18) / = /к, получим

(11.271

Подставляя в (11.26) /к в виде (11.27) и пренебрегая слабой за­висимостью коэффициента f от начальной длины микротрещины /0

(это справедливо, если У/оДкО, что практически всегда выполня-

ется), получим во всем исследуемом диапазоне напряжений f^l. В результате получим следующее приближенное выражение долго­вечности для хрупкого разрушения:

тд = С ехр ( ч ) =с ехр ( (ц.28)

где С определяется формулой (11.25). Это интерполяционное урав­нение долговечности справедливо внутри интервала напряжений (его, Ок). Зависимость 1§'тд;,т) для полиметилметакрилата, вычис­ленная по уравнению (11.28), практически совпадает с прямолиней­ным участком АВ (рис. 11.9) численно рассчитанной точной зави­симости долговечности. Заметим, что вблизи во и ок уравнение нарушается.

Уравнение долговечности (11.28) ввиду сделанных упрощающих предположений является приближенным. В непосредственной бли­зости к безопасному напряжению о0 оно дает заниженные значения

долговечности, так как при их выводе не учитывалась возможность восстановления разорванных связей, а вблизи критического напря­жения <ак результат неточен, поскольку при /к полагалось, что f= 1, и не учитывалась длительность разрушения на быстрой стадии т2 (атермический механизм).

Учитывая, что энергия активации снижается с увеличением тем­пературы по линейному закону (11.22), преобразуем уравнение дол­говечности (11.28) к окончательному виду:

где

Л=С ехр(— q/k) = ■ 2 ’-66fer ^/оА exp (— q/k), (11.30)

VQtoa

B(/0)^0,79Kvr (11.31)

«Нулевая» энергия активации U0 в соответствии с зависимостью

(11.22) имеет экстраполяционный смысл U{T) при ОК.

Уравнение (11.29) совпадает с законом долговечности (11.8) Журкова, если положить Л=т0 и у = 0,79со V/0/Я. Из эксперимен­тальных данных следует, что А = 10~12—10~14 с [61].