Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Скорость распространения. Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость. Волновое урав­нение. Волны в сплошном шнуре. Отражение волн. Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругих телах. Поперечные волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова. Продольные волны. Скорость волн в тонком и толстом стержнях. Отра­жение и прохождение волн на границах двух сред. Удельное волновое сопротивление.

Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Рассмотрим колебания N >> 1 масс на резиновом шнуре (рис. 4.1а). Отклоним несколько масс в середине шнура от положения равновесия (рис. 4.1б), и затем отпустим их в момент време- ни t = 0. Как показывает опыт, эта начальная конфигурация, представляющая собой по форме импульс, с течением времени трансформируется в два одинаковых импульса, которые побе- гут в разные стороны с некоторой конечной скоростью с (рис. 4.1в). Эти импульсы добегут до концов шнура, изменят свою поляр- ность при отражении и побегут в об- ратном направлении (рис. 4.1г). Пос- ле встречи в середине шнура они от- разятся еще раз, восстановят исход- ную полярность и спустя время Dt = 21 / с вновь встретятся в сере- дине, сформировав исходный им- пульс. Затем этот процесс с перио- дом Dt будет повторяться до тех пор, пока импульсы не затухнут из-за дис- сипации энергии.

С точки зрения повседневного опыта в этом нет ничего удивительного, поскольку сме­щения группы масс ведут к возникновению упругих сил, стремящихся вернуть эту группу в положение равновесия и одновременно вывести соседние частицы из положения равновесия. С точки зрения описания колебаний «на языке мод» также понятно, что отклонив, а затем отпустив группу частиц, мы возбуждаем много мод. Колебания всех N частиц про­исходят одновременно на нескольких нормальных частотах ар. Все эти частоты различ­ны, и сумма нормальных колебаний представляет собой биения. Поскольку через время, равное периоду биений, колебания группы частиц в центре шнура восстановятся, то оче­видно, что период биений равен упоминавшемуся несколько ранее времени Dt = 21 / с. Определим скорость с, исходя из представления о биениях, как суперпозиции нор­мальных колебаний. Для этого вначале перепишем дисперсионное соотношение (3.55) в виде /

Н

1 ------ 1--------------- 0 Рис. 4.1.

Ч

па 1 = 2W sin —

pp N +1

w p = 2W sin p 2

Строго говоря, при наличии многих частот в спектре колебаний, даваемых формулой (4.1), биения не будут периодическими — начальная конфигурация не повторяется. Визуально это будет проявляться в ис­кажении формы бегущих импульсов, если длина им­пульса l > a (импульс «накрывает» мало частиц), а шнур достаточно длинный. Говорят, что искажение им­пульса связано с дисперсией «среды» (шнура с масса­ми), по которой импульс распространяется.

Это искажение будет ничтожным, если 1 и >> а (группа состоит из большого числа колеб­лющихся масс). Так обычно и происходит при распространении возмущений в твердом теле, где а ~ 10-10 м (расстояние между узлами кристаллической решетки, около кото­рых колеблются атомы).

(4.2)

Если 1 и >> а, то в спектре колебаний доминируют низшие моды, которые харак­теризуются волновыми числами kp, где p = I, II, III, ... << N. Частоты этих мод получаются из формулы (4.1):

p = I, II, III, ...

p p N +1

Здесь использовано приближение sin x » x при x << 1. Эта зависимость wp (kp) изображена на рис. 4.2.

Обратим внимание, что низшие частоты располагаются эквидистантно: Dw = wII - wI = wIII - wII = ... Поэтому период биений (см. также формулу (3.14)) полу­чается равным:

2я 2( N +1)

Лг = — = —---------------------------------------------------------------------- (4-- 3)

Dw W ( )

Если учесть, что длина шнура 1 = a(N +1), то скорость движения импульса в среде без дисперсии равна:

21

Fa

(4.4)

c0 = — = aW = J— . 0 Лг

Если мы будем увеличивать число масс N на шнуре фиксированной длины, тем самым уменьшая расстояние я, то мы сделаем предельный переход к непрерывному рас­пределению масс — т. е. к однородному весомому шнуру, при этом

pj = m / a (4.5)

является массой единицы длины однородного шнура (иногда употребляют термин «плотность единицы длины»). Поэтому окончательно для скорости распространения импульса произвольной формы по шнуру имеем

~F

Например, в случае тонкого резинового шланга с линейной плотностью pj ~ 0,1 кг/м, натянутого с силой F ~ 102 Н, скорость движения импульса получается равной с0 ~30 м/с. Такая сравнительно небольшая величина скорости позволяет легко наблюдать распространение и отражение импульса.

Итак, подведем некоторые итоги.

1. Если пренебречь периодической структурой среды, то скорость с0 распрост­ранения импульса не зависит от его формы, а сам импульс при распространении не иска­жается (нет дисперсии).

2. Если ось x направить вдоль шнура и задать начальное возмущение (в момент t = 0) в виде s(x), то с течением времени возмущение шнура будет иметь вид:

11

2 s(x — с00 + 2 s(x + с00. (4.7)

Первое слагаемое описывает возмущение, бегущее со скоростью с0 в положи­тельном направлении оси х, указанном на рис. 4.1, а второе соответствует импульсу, рас­пространяющемуся в противоположном направлении.

3. У концов невесомого шнура с массами с0 оба импульса отражаются. Отраженный импульс имеет противоположную полярность (направление смещения s) по сравнению с падающим.

Аналогичные граничные условия реализу-

с0

ются для сплошного массивного шнура с закреп-

Рис. 4.3.

ленными концами (рис. 4.3).

4. В области перекрытия бегущих импульсов образуется колебание, называемое сто­ячей волной. Так мы приходим к понятиям бегущих и стоячих волн, при этом стоячая волна может рассматриваться как суперпозиция волн, бегущих в противоположных направлениях.

Возбуждение волн. Рассмотрим колебания невесомого шнура с грузами, пра­вый конец которого закреплен, а левый под действием внешней силы в момент времени t = 0 начинает смещаться по гармоническому закону:

s(t) = s0sin wt. (4.8)

Под действием этой силы грузы, связанные друг с другом отрезками натянутого шнура, рано или поздно начнут совершать вынужденные гармонические колебания с частотой w. Естественно, что систему грузов (по аналогии с системой с двумя грузами) можно заметно раскачать лишь в случае резонанса, когда частота w совпадает с одной из нормальных частот wp.

Вначале придут в движение грузы вблизи левого подвижного конца шнура, а с течением времени в колебания будут вовлекаться все новые грузы.

Такие колебания представляют собой волновой процесс (волну), распространяю­щийся «слева - направо» с некоторой скоростью ср. На рис. 4.4 изображены положения колеблющихся масс в некоторый момент времени t0 . Поскольку грузы колеблются «попе-

S/Xjo)

M Рис. 4.4.

0

рек» направления распространения (оси Ox), то волна называется поперечной. Эта волна добежит до правого закрепленного конца шнура и отразится. После этого будут существо­вать две волны: исходная бегущая (иногда ее называют падающей волной) и отраженная вол­на, которая бежит навстречу падающей. Спустя время Дг = 21 / ср отраженная волна достиг­нет левого конца, снова отразится, и «сформируется» мода колебаний. Конфигурация этой моды задается волновым числом к (см. соотношение (4.1)).

Рассмотрим подробнее падающую волну с этим кр. Пространственный период 1р , изображенный на рис. 4.4 как минимальное расстояние между массами, колеблющимися в фазе, называется длиной волны. Длина волны связана с волновым числом kp соотношением:

(4.9)

кр = 2я/1р.

Если силы вязкого трения, приложенные к каждому из грузов, малы, то амплитуды колебаний всех грузов будут одинаковы и равны s0 . Теперь мы можем записать уравнение бегущей волны — уравнение, описывающее смещение любой из масс в произвольный мо­мент времени. Для частоты wp, волнового числа к и амплитуды s0 оно имеет вид:

(4.10)

(xn, г) = s0 sin(w/ - кРх„); xn = a; 2a; ...; na; ...; Na.

Выражение j = - k рхя называется фазой волны. Уравнение (4.10) отражает

тот факт, что все массы колеблются с одинаковой частотой, имеют одинаковую амп­литуду s0 , однако эти колебания различаются по фазе j.

Определим теперь скорость ср движения этой волны. Для этого проследим за движе­нием гребня волны, вершина которого в некоторый момент времени находится в точке М. Пусть за время Дг этот гребень сместится на расстояние Дхп >> a. Поскольку на вершине гребня массы имеют максимальное положительное смещение, то фаза их колебаний постоянна и равна

(4.11)

Поэтому

(4.12)

wpДг - кp Dxn = 0 . Отсюда скорость с p получается равной

(4.13)

Скорость ср называется фазовой скоростью гармонической волны с частотой = 2pvр. Проанализируем зависимость этой скорости от волнового числа, пользуясь дисперсионным соотношением (4.1). Для этого перепишем его с учетом (4.4) в виде:

Рис. 4.5а.

0

Рис. 4.56.

p sin ——

(4.14)

График зависимости (4.14) называется дисперсионной кривой и изображен на рис. 4.5а.

На этой кривой точками отмечены значения частот wp и волновых чисел k. Пунктиром изображена прямая w = c0 k. Она получается из (4.14) предельным пере­ходом при а ® 0 (непрерывная среда).

Из формулы (4.14) или из рис. 4.5а можно сделать ряд принципиально важных выводов.

2

1) Из нелинейной зависимости wp = w(kp), описываемой формулой (4.14), следу­ет, что фазовая скорость гармонической волны cp = wp / kp зависит от k (или от wp ):

(4.15)

Зависимость (4.15) изображена на рис. 4.5б.

Это явление носит название дисперсии среды по отношению к распространяю­щейся в ней волне. Эквивалентным является выражение «дисперсия волны в среде». Если фазовая скорость волны не зависит от k, как, например, в случае непрерывной среды, то говорят, что дисперсия отсутствует.

2) Для маленьких волновых чисел (kpa << 1, или l >> а) дисперсия мала. Скорость таких «длинных волн» cp » c0, и среда может считаться сплошной.

3) С увеличением волнового числа kp (а значит и wp ) скорость cp, как это следует из (4.15), убывает. Такое поведение скорости называется нормальной дисперси­ей. Следует отметить, что в оптике, помимо этой, реализуется и другая ситуация, когда фазовая скорость света в некотором диапазоне частот может возрастать с увеличением частоты. В этом случае дисперсия называется аномальной.

a

4) Дисперсионная кривая заканчивается, когда волновое число и частота дости­гают максимальных значений kN и wN. Они получаются из (4.14) и (4.1) при N >> 1:

Это означает, что волны с частотой w > wN в такой среде распространяться не могут. Действительно, при частоте w = wN длина волны lN = 2p / kN = 2a. Волны с мень­шей длиной волны не могут существовать, поскольку на длине распространяющейся волны должно находиться не меньше двух колеблющихся грузов.

Заметим, что в некоторых случаях, например, при распространении электро­магнитных волн в твердом теле и в плазме, кривая дисперсии может начинаться с неко­торой точки на оси частот w(0) . В таких средах могут распространяться электромагнит­ные волны только с частотами w, лежащими внутри интервала w(0) < w < wN.

В качестве примера укажем, что для кристаллов величина F/a ~ 15 Н/м (F — упругая сила, величина которой определяется межатомным взаимодействием). Если при­нять массу иона равной m ~ 6 • 10-26 кг, то wN = 2.1 ~ 3 • 1013 c-1. Эта частота, как и

V ma

частоты колебаний молекул CO2 и H^O, лежит в инфракрасной области электромагнит­ного спектра. Поэтому при распространении ИК-излучения в кристаллах ионы могут совершать резонансные колебания. В этом частотном оптическом диапазоне может су­ществовать сильная дисперсия света.

Отметим, что при распространении волн в протяженных средах проблемы «на­стройки» частоты w внешнего воздействия, порождающего волну, на частоту wp од­ной из мод среды не существует. Любое воздействие внешней силы, даже сколь угодно близкой к гармонической, на самом деле всегда будет квазигармоническим, характери­зуемым узким интервалом частот Aw << w. С другой стороны, для протяженной среды к частоте w будут близки частоты w мод с большими номерами р (p >> 1). Разность частот двух соседних мод Awp = wp+1 - wp, как это легко видеть из рисунка 4.5, будет настолько малой, что Awp << Aw. Следовательно, для любой частоты w внешнего воз­действия, прикладываемого к границе среды, по ней побежит волна, которую в ряде случаев можно приближенно считать гармонической:

s(x, t) = s0 sin(wt - kx). (4.16)

Группа волн и ее скорость. Как и внешнее воздействие, волна, возникающая в среде, будет, строго говоря, квазигармонической, т. к. Awp << Aw. Поэтому вместо (4.16) следует записать уравнение волны в более усложненном виде:

s(x, t) = s0(x, t )sin[w0t - k0 x + j0(x, t)]. (4.17)

Здесь амплитуда s0 (x, t) и фаза j0 (x, t) являются медленно меняющимися фун­кциями времени на некотором масштабе времени t (сравните с формулой (3.19)). Есте­ственно, что такая волна представляет собой группу гармонических волн, частоты ко­торых располагаются вблизи основной частоты w0 в пределах интервала Aw » 2p/1. Каждая из волн группы в среде с дисперсией имеет собственную фазовую скорость. В среде с нормальной дисперсией волны большей частоты будут двигаться медленнее, чем волны меньшей частоты. Возникает естественный вопрос: что является скоростью

группы волн, и если такая скорость существует, то как ее вычислить? Какой физичес­кий смысл имеет эта скорость и в чем ее отличие от фазовой скорости?

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим для простоты группу из двух волн с одинаковыми амплитудами s0 и с близкими частотами ю1 и ю2 , бегущих в положи-

ю1 + ю2

тельном направлении оси х. Будем считать, что Аю = Ю2 - Ю1 << Ю0 =----------------------------------- ^----- • С такой

ситуацией мы уже встречались при анализе биений двух связанных осцилляторов. Зада­дим дисперсионные свойства среды дисперсионным соотношением ю = w(k). С его по­мощью вычислим значения k1 и k 2 двух волновых чисел, соответствующих частотам Ю1 и ю2 . Тогда уравнение группы волн примет вид:

Аю Ak 1 x 2 2 v 0

/ 4 „ 4 /

sin(w0t - k 0 x). (4.18)

s(x, t) = s0 sin(w1t - k1 x) + s0 sin(w2t - k2x) = 2s0 cos

+ k2

Здесь Ak = k2 - k1, k0 = —

На рис. 4.6 изображена группа из двух волн в некоторый фиксированный мо­мент времени t0 . Выделим две точки: М и R. Первая из них отвечает фиксированному значению фазы фМ = w0t - k0xM, при которой sin jM = 1. Очевидно, что скорость этой точки, определяемая из условия djM = w0dt - k0dxM = 0 , равна

dxM

M

ю0

(4.19)

dt k0

и совпадает с фазовой скоростью волны с частотой ю0 .

Амплитуда квазигармонической волны (4.18) определяется как

, . fАю Ak ^ ....

s0(x, t) = 2s0 cos 1------------------------------ x , (4.20)

V 0

и ее распределение на рис. 4.6 изображено пунктиром в виде медленно меняющейся вдоль х огибающей волны основной частоты ю0. Точка R на вершине этой огибающей будет двигаться со скоростью, отличающейся от с. Действительно, для координаты xR этой точки, как это следует из (4.20), можем записать условие

Аю Ak

1----------------- xR--- = const.

2 2 R

(4.21)

За время dt она сместится на расстояние dxR, которое находится из равенства:

Аю, Ak,

— dt - у^ r = (4.22)

Следовательно, скорость движения вершины огибающей будет равна

(4.23)

= dxR = Aw dt Ak

Эта скорость характеризует движение группы волн и называется групповой скоростью. Ее смысл станет еще более понятным, если в пределах интервала Aw в группе будут нахо­диться волны с близко расположенными часто­тами, как, например, изображено на рис. 4.7а.

Сама группа имеет вид одного импуль­са длительностью Ти, распространяющегося вдоль оси х (рис. 4.7б). Импульс будет двигать­ся с групповой скоростью и = dw / dk. На дис­персионной кривой (рис. 4.7в) эта скорость рав­на угловому коэффициенту касательной прямой в точке А. «Синусоида» внутри импульса будет его обгонять и двигаться с фазовой скоростью c = w0 / k0 . Численно эта скорость будет равна угловому коэффициенту отрезка ОА. В среде без дисперсии дисперсионная кривая является пря­мой линией w = ck. Поэтому Aw

w0

(4.24)

Ak

т. е. фазовая и групповая скорости совпадают. В среде с нормальной дисперсией, как это видно из рис. 4.7в, u < c. В среде с аномальной дисперсией кривая w = w(k) должна загибаться вверх и, формально, u > c. Однако обычно эта зависимость настолько нелинейна, что понятие групповой скорости теряет смысл.

Действительно, когда импульс, изображенный на рис. 4.7б, пройдет очень боль­шое расстояние в диспергирующей среде, то форма его исказится, и он растянется в пространстве. В среде с сильной аномальной дисперсией это искажение происходит уже на малых расстояниях, поэтому говорить о распространении импульса как целого с груп­повой скоростью и некорректно.

Дисперсионное уширение импульсов негативно сказывается, например, на ско­рости передачи информации (количество бит в единицу времени) посредством коротких световых импульсов, бегущих по волоконно-оптическим линиям связи, длина которых достигает нескольких тысяч километров. Два следующих друг за другом импульса мо­гут расшириться настолько, что сольются в один (станут неразличимыми). Естественно, что приемник, установленный в конце линии, «воспримет» два импульса как один, и часть передаваемой информации будет утеряна.

Волновое уравнение. Уравнение бегущей гармонической волны в однородном шнуре, где дисперсия отсутствует (w = c0k), по аналогии с (4.16) имеет вид:

/ x t +------

(4.25)

s(x, t) = s0 sin(wt + kx) = s0 sin

Знак «-» соответствует волне, бегущей в положительном направлении по оси Ox, а знак «+» — в отрицательном.

В более общем случае распространения произвольного импульса (группы волн), двигающегося с той же скоростью с0 , уравнение волны можно записать в виде:

(4.26)

t+

s( x, t) = s

где s(0) — произвольная функция своего аргумента 0 = t + x / c0 .

Покажем, что закон движения шнура (4.26) и, конечно, его частный случай (4.25) являются решениями некоторого уравне­ния движения, которое называется волно­вым уравнением. Это волновое уравнение можно получить предельным переходом из уравнения (3.47).

На рис. 4.8 показан фрагмент ко­леблющегося шнура. На этом фрагмен­те изображены три отрезка шнура дли - Рис. 4.8.

ной Ax и массой dm каждый. Смещения этих отрезков в некоторый произвольный мо­мент времени равны sn-1 = s(x-Ax, t), sn = s(x, t), sn+1 = s(x + Ax, t). Ускорение цент-

Э 2 s( x, t)

рального отрезка s n = ■

■. Оно записано в виде второй частной производной фун­

at2

(4.27а) (4.27б)

lim = iim a®0 a

dx x+— 2

'n—1

lim a®0

= lim Ax®0

ax

dx

x—

кции s(x, t) по времени. Учтем далее, что s(x + Ax, t) — s(x, t) as Ax®0 Ax ax s( x, t) — s(x — Ax, t) as

Ax

& ax

Обратим внимание, что сила F

является проекцией на направление

x+dx / 2

смещения s силы F, приложенной к центральному элементу справа (в точке x + dx/2 ).

as

Аналогично, слева (в точке x — dx/2 ) проекция этой силы равна — F--------------------------------------

ax

действующая этих сил, очевидно, определяется приращением первой производной на длине бесконечно малого элемента dx:

x— dx /2

. Равно-

Если теперь учесть, что dm = pjdx (p1 — плотность единицы длины, или ли­нейная плотность шнура), то (4.28) примет вид волнового уравнения:

Э 2 s

(4.29)

F Э2 s

2

Эt pi Эx

Это волновое уравнение является математическим выражением второго закона Ньютона, в котором ускорение единицы длины шнура и действующая на него сила запи­саны в виде вторых частных производных смещения s по времени и координате соответ­ственно. С математической точки зрения оно является линейным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка. Его решение хорошо известно: им может быть любая функция s(0), аргумент которой «сконструирован» в виде (4.26), а IF скорость c0 = — . Убедимся в справедливости этого утверждения. Для этого вычис- VP1 лим вторые производные в соответствии с правилами дифференцирования функции со x сложным аргументом 0 = t +------------------- : c

0 ds Э0 = ds ; Эs = ds Э0 d0 Эt d0 ’ Эx d0 Эx

ds Эt

ds d0

1 + —

(4.30)

2

d2s

d2 s d02

Э 2 s

Э 2 s

(4.31)

Эt2 d02 Эx2

Подставляя вторые производные из (4.31) в (4.29), приходим к выводу, что при

c0 = — уравнение (4.29) тождественно удовлетворяется, т. е. функция s(0) действи- IP1 тельно является его решением. Волновое уравнение является одним из фундаментальных уравнений. В разных областях физики это уравнение получается как результат применения соответствующих законов, описывающих поведение систем различной природы (механических, электро­магнитных и др.). В общем случае оно описывает распространение волн в трехмерном пространстве и имеет более сложный вид: 22

Э 2 s Эt2

222 Э s Э s Э s —2 +-------- 2 +---- 2" Эx Эу Эг

2

(4.32)

Под s может подразумеваться любая колеблющаяся величина: смещение, ско­рость, плотность, давление, электрический ток, электрическое напряжение, напряжен­ность электрического и индукция магнитного полей и др. Важно подчеркнуть, что если нам удается получить волновое уравнение (выве­сти его) для какого-либо процесса, то стоящий перед вторыми пространственными про­изводными множитель сразу определяет квадрат скорости распространения волны в среде без дисперсии. Этим приемом часто пользуются для вычисления скорости распростра­нения волн различной природы. Ниже мы тоже так поступим, когда будем рассматривать волны в твердых телах, жидкостях и газах.

Отражение волны на конце шнура. Мы уже упоминали в начале этой лекции, что волна, достигнув конца шнура, отразится. Характер этого отражения зависит от ус­ловий закрепления конца шнура (граничных условий).

Рассмотрим вначале более подробно процесс отражения импульса от зак­репленного конца шнура.

На рис. 4.9 показаны последовательные стадии отражения импульса треугольной формы, где пунктиром изображены «падающий» и «отраженный» импульсы. Если длитель­ность импульса равна tи, то его протяженность вдоль струны равна c0ти. Пусть в момент времени t = 0 он добежит до конца струны. В последующие моменты времени шнур будет воздействовать на кронштейн, к которому прикреплен его конец, с переменной силой, пер­пендикулярной направлению движения импульса. Эта сила в момент времени t > 0 начина­ет тянуть кронштейн вверх. В течении времени 0 < t < tи / 2 она остается постоянной, и в момент времени t = ^ / 2 становится равной нулю. По третьему закону Ньютона с такой же силой кронштейн действует вниз на конец шнура. В момент времени t = t и / 2 шнур

становится прямым. Однако часть шнура длиной сги / 2 продолжает двигаться вниз по инер­ции. При t >Ти/2 шнур тянет кронштейн вниз, и это действие прекращается при t = t и. Естественно, что кронштейн воздействует на конец шнура с силой, направленной вверх, тормозя движение его элементов вниз. Окончательно поперечное действие шнура на крон­штейн прекратится при t > tи, когда сформируется отраженный импульс, имеющий проти­воположную (по отношению к падающему) полярность.

Рис. 4.Ю.

Если по шнуру бежит гармоническая волна, то по достижении закрепленного конца шнура возникает обращенная отраженная волна. Чтобы учесть изменение ее полярности, в аргумент уравнения отраженной волны добавляют фазовый сдвиг фотр = р. Поэтому говорят, что в этом случае при отражении фаза волны скачком меняется на р, или «теряется полвол­ны». В общем случае при произвольных граничных условиях сдвиг фазы фотр может менять­ся в интервале 0 < фо1р < р. Поясним сказанное простейшим расчетом.

Пусть по шнуру бежит гармоничес­кая волна. Достигнув конца шнура при x = 1, она будет отражаться (рис. 4.10). Смещение любого участка, имеющего ко­ординату x < 1, определяется как суперпо­зиция бегущей и отраженной волн:

s(x, t) = s0 sin(wt — kx) + s0 sin[wt — k(21 — x) + фотр]. (4.33)

В (4.33) учтено, что отраженная волна, во-первых, проходит расстояние «туда и обратно», равное 1 + (1 - x) = 21 - x, и, во-вторых, приобретает сдвиг фазы фотр при ее отражении. Проведем суммирование в (4.33) и получим:

ф отр

(4.34)

s(x, t) = 2s0 cos

sin

wt — k1 + фотр 2

Полагаем, что амплитуда волны s0 остается постоянной при распространении и не меняется при отражении.

Это выражение является уравнением стоячей волны. Основные ее характерис­тики могут быть сведены к следующим:

1. В стоячей волне все участки шнура колеблются с одинаковой частотой w и в фазе, однако амплитуда этих колебаний меняется вдоль шнура, т. е. стоячая волна являет­ся модой колебаний.

2. Амплитуда колебаний в стоячей волне получается из (4.34) равной:

ф отр

k (1 — x) +

(4.35)

A(x) = 2s0 cos

Из этого выражения видно, что некоторые участки шнура колеблются с ампли­тудой, равной 2s0 . Это так называемые «пучности» стоячей волны. С другой стороны, существуют участки, которые остаются неподвижными, т. к. для них амплитуда А = 0. Это так называемые «узлы» стоячей волны.

На рис 4.11 изображены

Рис. 4.11.

x

смещения фрагмента струны для трех последовательных моментов времени ti, t2 и t3. Нетрудно пока­зать, что расстояния между двумя со-

седними узлами, указанными точка­ми, равно расстоянию между двумя соседними пучностями, отмеченными крестиками, . р 1

и составляет величину Дх = — = —.

3. Все части шнура, лежащие между двумя соседними узлами, совершают коле­бания в фазе. При переходе через узел фаза колебаний скачком изменяется на р, что соответствует изменению знака А(х).

4. На конце шнура (х = 1) амплитуда

(4.36)

A(1) = 2s0 cos

Для закрепленного конца шнура А(1) = 0 и фотр = р. На рис. 4.10 показан участок в полволны, который «теряется» при таком отражении. Расположенная правее этого участка часть волны, изображенная пунктиром в области х > 1, после поворота направления распро­странения как раз и будет являться волной, отраженной в закрепленной точке х = 1.

Обратимся теперь к отражению волны от свободного конца шнура. Технически это можно реализовать, если конец шнура привязать к тонкой и легкой нити, которая служит лишь для создания натяжения шнура с силой F.

Процесс отражения треугольного импульса от свободного конца шнура показан на рис. 4.12. Обращают на себя внимание два обстоятельства:

1. Отраженный импульс сохраняет ту же полярность, что и падающий. Это свя­зано с тем, что при движении свободный конец будет тянуть вверх прилегающие к нему слева участки шнура, и, в результате, будет возбужден отраженный импульс, в котором элементы шнура также смещены вверх. В случае гармонической волны отраженная вол­на находится в фазе с падающей. Образующаяся стоячая волна будет описываться урав­нением (4.34), в котором фотр = 0 .

2. Конец шнура совершает «взмах», величина которого вдвое превышает амплитуду импульса в его середине. Для гармонической волны на конце шнура (х = 1) образуется пуч­ность стоячей волны. Это следует из формулы (4.36), в которой следует положить фотр = 0 .

Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания s(t) = Х0 sin wt, где X0 — очень малая амплитуда. Поэтому левый конец шнура можно считать закрепленным. По шнуру побежит гармоническая волна (рис. 4.13), которая после отражения от правого закрепленного конца приобретет сдвиг фазы, равный р. Добежав до левого конца, она еще раз отразится, а сдвиг фазы станет равным 2р.

t=7-

t=t

Рис. 4.12.

Двукратно отраженная волна наложится на постоянно бегущую вправо гар­моническую волну. Если сдвиг фазы колебаний у этих волн будет кратным величине 2р, то результатом наложения будет волна, амплитуда которой превышает амплиту­ду Х0 исходной бегущей волны. Таким образом, бегущая волна усилится. Если бы не было потерь энергии, то нарастание амплитуды при многократном отражении было бы неограниченным. Однако потери, как мы не раз видели, также увеличатся с ростом амплитуды. Поэтому колебания установятся: в систему будет закачано не­которое количество энергии, а дальнейший приток ее будет равен диссипации.

Определим частоту внешнего воздействия w, с кото­рой следует двигать левый крон­штейн, чтобы обеспечить макси­мальное усиление волны. По­скольку бегущая гармоническая волна может рассматриваться как рис 4 13 набор следующих друг за другом

со скоростью с0 импульсов разной полярности, то мы проследим за усилением любого из них (например, заштрихованного на рис. 4.13). Время движения импульса (для определенно­сти точки А в его начале) по шнуру туда и обратно равно At = 21 / c0 . Учтем далее, что после двух отражений этот импульс два раза обратится. Для его усиления необходимо, чтобы в мо­мент t = At левый конец шнура проходил положение равновесия и двигался при этом вверх:

(4.37)

s(At) =X0sin(wAt) = 0, s (At) = X 0 w cos(wAt) = +X 0 w.

Поэтому частота w должна удовлетворять условию

wp At = 2pp, (4.38)

гдеp = I, II, III, ... .

Отсюда

pc0 1

wp =

(4.39)

Конфигурацию колеблющейся струны на частотах (4.39) можно легко нарисовать, когда амплитуды бегущей и отраженной волн не меняются вдоль шнура и равны меж­ду собой. Очевидно, что это будут стоячие волны, рассмотренные нами выше и соот­ветствующие одинаковым граничным усло­виям: на обоих концах шнура должны быть узлы смещения.

Рис. 4.14.

Для примера на рис. 4.14 изобра­жены три возможные конфигурации шну­ра в момент времени, когда смещения эле­ментов шнура максимальны. Колебания, соответствующие этим конфигурациям, яв­ляются нормальными колебаниями (мода­ми), а частоты wp wn, Юш — нормальными

частотами. Если действие внешней силы прекратится, то эти колебания будут продолжать­ся как собственные, пока не затухнут.

Условие (4.39) можно переписать в более наглядном виде, если перейти от частоты wp к длине волны lp = 2pc0 / wp :

(4.40)

Это условие означает, что при нормальных колебаниях на длине шнура должно уклады­ваться целое число полуволн. Легко теперь видеть, что каждая из мод может быть воз­буждена, если прикладывать силу нужной частоты к любому участку шнура, за исключе­нием тех, которые совпадают с узлами данной моды.

1 = p— . 2

Видоизменим граничные условия и сделаем оба конца шнура свободными (привяжем их к натянутым легким нитям). Подсчитаем частоты вынуждающей силы, на которых возбуждаются стоячие волны (моды). Учтем, что после двух отражений импульс не меняет свою полярность, по­этому условие (4.40) останется прежним.

wI

Wii

Wii

На рис. 4.15 показаны конфигу­рации мод для шнура со свободными кон­цами. Видно, что при нормальных коле­баниях на длине шнура также должно ук­ладываться целое число полуволн, но та­ким образом, чтобы на концах шнура были пучности.

Закрепим теперь только левый конец шнура и будем двигать кронштейн с малой амплитудой X0 . Условие оптимального возбуждения стоячих волн (мод) получается из тех соображений, что импульс обращается только при отражении от левого конца шну­ра. Для усиления импульса необходимо, чтобы левый конец в момент времени t = At двигался вниз, проходя положение равновесия:

(4.41)

s(At) =X0sin(wAt) = 0, s(At) = X0w cos(wAt) = - X0 w Поэтому частота w должна удовлетворять условию

wp At = (2 p - 1)p, (4.42)

где p = I, II, III, ...

Отсюда

(4.43)

w p =-pr°(2 P -1).

p 21

Последнее условие становится более наглядным, если перейти к длине волны 1

1

1 = (2p -1)-^,

(4.44)

4

где p = I, II, III, ... .

Соответствующие три низшие моды изображены на рис. 4.16. Очевидно, что это будут стоячие волны, отвечающие разным граничным условиям: на левом конце должен быть узел, а на правом — пучность. На длине шнура при этом укладывается нечетное число четвертей длин волн.

Замечание. При возбуждении моды мы задавали закон движения закрепленного конца шнура в виде s(t) = X0 sin wt, что может вызвать у читателя некоторое недоумение — как может двигаться закрепленный конец? Однако амплитуда колебаний X0 обычно значи-

ю,

тельно меньше амплитуды колебаний в пучностях, поэтому незначительно вибрирующий конец шнура может рас­сматриваться, как неподвижный.

ю

Волны в упругих телах. Как

ю

Рис. 4.16.

мы видели, силы взаимодействия меж­ду соседними колеблющимися элемен­тами шнура обеспечивают распростра­нение в нем волн. В упругих телах такие силы сводятся к касательным и нормаль­ным напряжениям, возникающим при деформациях сдвига и растяжения (сжа­тия). Этим деформациям соответствуют 2 типа волн: поперечные и продольные. Рассмотрим эти волны по отдельности.

Поперечные волны. Если по стержню, изготовленному из упругого материа­ла, ударить молотком в его средней части (рис. 4.17), то к его концам побегут импульсы, как это имело место в шнуре с грузами, изображенном на рис. 4.1. Однако поперечные смещения частиц стержня будут незаметны для глаза, поэтому для регистрации бегу­щих по стержню возмущений требуются специальные методы.

Поскольку дисперсия волн механической природы в сплошной среде отсутству­ет, то скорость их распространения можно рассчитать с помощью волнового уравнения.

На рис. 4.18 показан фрагмент колеблющегося стержня. На средний элемент длиной dx действуют касательные напряжения (слева от (x) и справа от (x + dx)), вели­чины которых пропорциональны деформациям сдвига соседних элементов:

Ox

(4.45)

sT (x) = G tg g( x) = G

Ot (x + dx) = G tg g( x + dx) = G

x+dx

Здесь G — модуль сдвига, g — угол сдвига.

Если площадь поперечного сечения стержня равна S, то масса элемента dm = Spdx (р — плотность материала). Следовательно, уравнение его движения может быть записано в виде:

"ds		ds
dx V	x+dx	dx	x 0

S.

(4.46) (4.47)

Spdx £ = G

Поделив обе части (4.46) на S и dx, получаем волновое уравнение

d2 s = G d 2 s dt2 p dx2

Его решением, как мы уже отмечали выше, является любая функция аргу­мента 0 = t + x / c :

/ x t +—

s(x, t) = s(0) = s а скорость распространения волны G

(4.48)

(4.49) Процессы распространения и отражения поперечных волн в стержне полнос­тью аналогичны таковым в однородном натянутом шнуре, поэтому мы их рассматривать не будем. Сконцентрируем внимание на закономерностях переноса механической энер­гии бегущей волной.

Энергия, переносимая волной. В лекции по деформациям упругих твердых тел мы отмечали, что при деформации сдвига в единице объема тела запасается потен­циальная энергия

4 2 dx /

1

1

(4.50)

w =- Gg2 =- G

называемая объемной плотностью энергии деформации сдвига. В (4.50) полагаем ds

g» tgg =

dx

Помимо этого, единица объема с массой, равной p, и колебательной скоростью v = ds / dt имеет кинетическую энергию

ds 2

1 2 1 wv = — р v = — р v 2 2 Полная энергия единицы объема равна

(4.51)

dt v /

/_ds 4 2 dx V У

ds 2 dt V У

1 w = wg + wv = -

(4.52)

+p

Покажем, что в бегущей волне (4.48) wy = wv. Для этого вычислим производные:

+ — c v

(4.53)

dt d0 dt d0

ds ds d0 ds (_ 1 ^ ds ds d0 ds

dx d0 dx d0

Из (4.53) получаем Os _ 1 Os v т—= +—т—, или g= + —. (4.54) Ox c Ot ' c v 7 Отметим, что в бегущем волне деформации g какого-либо элемента пропорцио­нальны его колебательном скорости v Возводя в квадрат левое равенство (4.54), деля его пополам и учитывая, что с2 = G / р, получаем

'g = w— . (4.55) Равенство величин Wg и w— позволяет записать полную плотность энергии w в виде: (4.56) Поскольку волна движется, то она осуществляет перенос механической энергии. Так, например, за время Dt через площадку единичной площади, заштрихован- ную на рис. 4.19, будет перенесена энергия, равная DW = wcDt. В физике используют понятие плотности потока энергии, определяемой количеством энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Согласно (4.57), эта плотность равна

G

1

Os

Os Ot

1 = 2 Р

Ox v /

w = 2 wg = 2w—

(4.57)

/ A'A A
	1 >	■і	f

cDt ------------ Рис. 4.19.

►с ♦•х

r DW

(4.58)

J =----------- = wc

Dt

dS

Рис. 4.20.

и имеет размерность [J] = Дж/(м2 • с).

Если площадка имеет площадь dS, а ее нормаль n со­ставляет с направлением распространения волны (осью Ox) угол а (рис. 4.20), то количество энергии, переносимое волной че­рез эту площадку за единицу времени (поток энергии) равен

dF = wc • dS cos a. (4.59)

Профессором Московского университета Н. А. Умовым в 1874 г. был введен век­тор плотности потока энергии

J = wc, (4.60)

получивший название вектора Умова. С его использованием поток dF может быть записан в виде

dF = J • dS = JdS cos a, (4.61)

где dS = dS • n.

С подобным представлением потока вектора скорости мы встречались при изу­чении движения жидкостей.

Удобство вектора Умова становится особенно ощутимым, когда волна распрос­траняется в трехмерном пространстве. Тогда поток энергии через произвольную повер­хность S выражается в виде интеграла по этой поверхности: F = Jj • dS. (4.62) S Последняя формула будет использована ниже. Подсчитаем среднее за период значение вектора Умова для бегущей вдоль стер­жня поперечной гармонической волны s(x, t) = s0 sin(wt - kx). (4.63) Обьемная плотность энергии (сумма потенциальной и кинетической энергий) равна

(4.64) В некоторый момент време- ни она распределена вдоль стержня так, как показано на рис. 4.21. С тече- нием времени это распределение сме- щается вдоль оси Ox со скоростью с. Плотность потока энергии через лю- бое сечение x = const будет периоди- чески возрастать от нуля до макси- мальной величины ps0 w2 . Поэтому удобно пользоваться средним значением Jза пери- од T = 2я / w. Эта величина называется интенсивностью бегущей волны и равна —

Г 1^7 1 I = — J Jdt = — cpw

0

'ds 42

= ps0 w2 cos2 (wt - kx) .

w = р

dt

2 s 2 s0 .

(4.65)

Важно отметить, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды.

В стоячей волне нет переноса энергии, т. к. она является суперпозицией двух бегущих волн, переносящих одинаковое количество энергии в противоположных на­правлениях. Однако, локальное движение энергии в ограниченном пространстве меж­ду соседними узлами все же происходит. В самом деле, запишем уравнение стоячей волны (4.34), опустив в нем постоянные фазовые добавки фотр /2 и kl:

(4.66) (4.67)

s(x, t) = 2s0 cos kx sin wt.

Обьемная плотность энергии деформации сдвига равна:

1 G wg = — G

ds 2

= 2s0 k 2G sin2 kx sin2 wt,

dx

а обьемная плотность кинетической энергии выражается как:

2

/ds Hi у G P

>«,=2p 2 w2 поскольку c = —2- :

= 2s0w2p cos2 kx cos2 wt = 2s2 k 2G cos2 kx cos2 wt

22

(4.68)

Локальное движение энергии наглядно демонстрирует рис. 4.22, на котором пока­зан фрагмент стоячей волны в моменты времени t1 = 0 и t2 = t1 + T /4 (а) и соответствую­щие распределения wg (б) и wv (в).

Видно, что при t = tj, когда эле­менты стержня проходят положение рав­новесия и имеют максимальные скорос­ти, деформация отсутствует (wg = 0), а вся энергия запасена в виде кинетичес­кой энергии wv и локализована вблизи пучности. Однако через четверть перио­да колебаний частицы стержня сместят­ся на максимальные расстояния и оста­новятся (wv = 0). Энергия будет запасе­на в виде потенциальной энергии Wg и ло­кализована вблизи узлов. Это означает, что энергия из области вблизи пучности за четверть периода колебаний перетека­ет в обе стороны по направлению к узлам.

Затем она движется в обратном направ­лении, и этот процесс повторяется мно­гократно. Поток энергии через узлы отсутствует. Среднее за период значение пото­ка энергии через любое сечение x = const будет равно нулю (I = 0).

ct

а) С

Продольные волны. Такие волны могут быть возбуждены ударом молотка по одно­му из торцов упругого стержня. Возмущение, распространяющееся вдоль стержня, визуаль­но незаметно, однако основные закономерности такого волнового процесса можно смодели­ровать, если вместо стержня использовать длинную пружину с большим диаметром витков (рис. 4.23). Если эту пружину подвесить горизонтально на нескольких нитях (не показанных на рисунке) и резко ударить ладонью по левому торцу, то по ней побежит импульс сжатия с некоторой скоростью с. На рис. 4.23а этот импульс имеет длину ct и (ти — длительность импульса, равная длительности удара). Добежав до правого конца пружины, он отразится, при этом, если конец закреплен (рис. 4.23б), то отраженный импульс будет также импуль­сом сжатия. Если правый конец свободен, то отраженный импульс будет импульсом растя­жения (рис. 4.23в). Он возникает в момент сме­щения вправо свободного конца пружины, ког­да до него добежит импульс сжатия. Эта ситу­ация напоминает смещение свободного конца шнура. Отметим, что в рассмотренном случае смещения витков пружины происходят вдоль направления распространения волны, поэто­му волна называется продольной.

Рассмотрим теперь распространение импульсов сжатия и растяжения в стержне. Мысленно разобьем x стержень на ряд элементов дли­ной dx каждый. При распрост­ранении продольной волны концы каждого элемента, отмеченные на рис. 4.24 сплошны­ми линиями, будут смещены в новые положения, отмеченные пунктиром. Эти смещения s будем считать положительными, если они происходят в положительном направлении оси Ox, и отрицательными — в противоположном случае.

Пусть левый конец некоторого элемента, имеющий координату х, сместился в дан­ный момент времени t на расстояние s(x, t), а правый конец — на s(x + dx, t). Деформация растяжения (сжатия) определяется относительным удлинением элемента dx:

(4.69)

s( x + dx, t) — s( x, t) 5s dx 5x

e( x, t) = -

Отметим, деформации растяжения соответствует e > 0, а сжатия — e < 0 .

В отличие от поперечной волны, при растяжении (сжатии) уменьшается (увели­чивается) плотность среды р. Ее можно представить в виде

р = ро + 5р; |5р |<<ро. (4.70)

Здесь 5р — малая добавка к равновесной плотности р0 , причем 5р может быть как положительной, так и отрицательной. С учетом постоянства массы деформируемого эле­мента dx можем записать

р0^ = (р0 +5р)[^ + s(x + dx, t) — s(x, t)] = (р0 +5р^(1 + e). (4.71)

Раскрывая скобки и пренебрегая малой величиной e • 5р, находим

5р

= —e.

(4.72)

ро

•:«$i

#г::

:

‘І

Ш:

щ

.Л;:.) і?^

,-.:ґ./ ‘

: ■. ■ 1

ИМПУЛЬС СЖАТИЯ

ИМПУЛЬС РАСТЯЖЕНИЯ

Спустя некоторое время t после удара по торцу стержня (или после резкого оттягива­ния этого торца) распределение смещений s, деформаций e и возмущений плотности 5р в бегущих импульсах сжатия и растяжения будут иметь вид, показанный на рис. 4.25. Пункти­ром показаны распределения всех величин в один из последующих моментов времени.

Уравнение волны, бегущей вдоль оси Ox, в обоих случаях имеет вид s(x, t) = s(t - x/c). По аналогии с (4.54) деформация e = —s / —x и колебательная скорость v = —s / —t элемента связаны соотношением

(4.73) s„(x>0 s„(x+dx,0

—s 1 —s v

—x = - С —, или e=-c.

7г

I I I I

Подчеркнем, что в импульсе сжатия (e < 0) скорость v совпадает по направлению со скоростью с, а в импульсе растяжения они имеют противоположные направления.

x x + dx x Рис. 4.26.

Рассчитаем скорость распространения продоль­ных волн. На рис. 4.26 изображен фрагмент стержня и показан его элемент dx, к концам которого приложены нормальные напряжения on. Уравнение движения эле­мента с поперечным сечением равным S имеет вид:

—2 s

dm —у = S[on(x + dx, t)-on(x, t)], (4.74)

—t

где dm = Po Sdx. Чтобы (4.74) преобразовать к волновому уравнению, необходимо свя­зать напряжения on с деформациями элементов стержня. Наиболее просто это можно сделать для тонкого стержня.

Скорость волн в тонком стержне. Если стержень тонкий, то деформации и напряжения вдоль координаты x связаны известным законом Гука:

o n (x, t) = E Is —x

—s o n (x + dx, t) = E— —x

(4.75)

x+dx

где E — модуль Юнга.

Подставляя (4.75) в (4.74) и производя деление на р0Sdx, получаем волно­вое уравнение:

(4.76)

—2s E —2

—t 2 р0 —x2

Скорость продольных волн получается равной

(4.77)

Эта скорость превышает скорость поперечных волн (см. формулу (4.49)), по­скольку E > G. По порядку величины обе скорости совпадают и для различных матери­алов преимущественно лежат в диапазоне c ~ (103 +104) м/с.

Скорость волн в толстом стержне. Пусть вдоль оси толстого стержня (оси х) распространяется продольная волна, при этом колеблются элементы стер­жня, находящиеся вблизи его оси. Один из таких элементов показан на рис. 4.27. Под действием нормально­го напряжения о1 относительное удлинение Є1 определяется первым уравнением (1.27), приведенным в лекции по механике упругих тел: Oi - (02 +оз)т

Єї =-

x2

x, x

x x+dx

Рис. 4.27.

(4.78)

Это уравнение отражает тот факт, что при удлинении элемента dx, изображенного на рис. 4.27, площадь его поперечного сечения уменьшается (связь продольной и поперечной дефор­маций определяется коэффициентом Пуассона 0 <m< 1/2). Этот элемент потянет к оси стержня окружающие его элементы, развивая напряжения O2 и O3. Эти элементы (лежащие между плоскостями x = const и x + dx = const) начнут приходить в движение: снача­ла — находящиеся вблизи оси стерж­

L/2

(L — поперечный

ня, а затем и элементы, близкие к поверхности. Через время At =

размер стержня, с — скорость распространения возмущения) все элементы сместятся, и напряжения о 2 и о 3 исчезнут.

Если длительность Г и импульса, распространяющегося вдоль оси стержня, вели­ка, так что ти >> At = — , то в (4.78) можно не учитывать о2 и о3. Скорость такого длин - 2с

ного импульса будет определяться формулой (4.77). Такой режим можно реализовать, если

L << сГи. (4.79)

Условие (4.79) означает, что поперечный размер стержня L значительно меньше длины импульса. Такой стержень можно считать тонким. Если речь идет о гармоничес­кой волне, распространяющейся вдоль стержня, то условие (4.79) имеет вид

L <<1, (4.80)

где 1 = сТ — длина волны, Т — период колебаний. Так, например, для стального стер­жня с = — ~ 5000 м/с. При частоте V = 5000 Гц, 1 = с / V ~ 1м, поэтому стержни с

V Р

поперечным размером L ~ 1 см могут считаться тонкими.

Если длительности импульса ги << At = — (стержень толстый), то в (4.78) сле-

2с

дует учесть о2 и о3. Чтобы найти связь е1 и о1, вместе с уравнением (4.78) запишем аналогичные для Є 2 и е3 и сложим все три уравнения:

Є1 +Є 2 +Є3 = «° +°2- +Е’3)(1 - ЗД. (4.81)

Для краткости выкладок введем средние значения

11

Є = 3 (Є1 + Є 2 +Є3); о = 3(01 +02 +03).

Тогда (4.81) перепишется в виде

Є = о(1 - 2m). (4.82)

E

С учетом (4.82) уравнение (4.78) видоизменяется:

3me 1 + m

Є1 +—-— = — о1. (4.83)

1 1 - 2m E 1

Если положить в толстом стержне Є2 = Є3 = 0, то є = є1/3 , и искомая связь получится в виде:

Є Qj о1(1 + m)(1- 2m) (4 84)

1 E/ (m) E (1-m) ' '

В этом случае связь деформации и напряжения определяется как модулем Юнга

Е, так и следующей функцией коэффициента Пуассона

/(m) = (1 1)-1m 2 ). (4.85)

(1+m)(1 - 2m)

Легко убедиться, что при любых возможных значениях коэффициента Пуассона /(m) > 1 . Поэтому скорость продольной волны в этом случае

—/ (m) (4.86)

р0

превышает скорость волны в тонком стержне. Величину E • /(m) обычно называют «мо­дулем одностороннего растяжения».

Отметим, что наиболее сложен анализ для промежуточного случая, когда L ~ 1. Для волн с такой длиной волны имеет место дисперсия (фазовая скорость гармонической волны зависит от ее частоты). Распределение амплитуды волны в поперечном сечении стер­жня вдоль осей x2 и x3 аналогично распределению амплитуды для шнура длиной L со свободными концами при нормальном колебании. Стержень в этом случае выполняет роль волновода. При его плавном изгибании волна распространяется вдоль его оси.

Продольные волны переносят энергию, и для них справедливы все рассуждения и выводы, полученные для поперечных волн. Формально во все выражения для плотно­сти энергии w, вектора Умова Jи др. следует вместо модуля сдвига G подставить модуль Юнга Е или E • /(m) . Предоставляем читателю проделать это самостоятельно.

Явления на границе раздела двух сред. Рассмотрим подробнее прохожде­ние продольной волны через границу раздела двух упругих сред при нормальном падении волны на эту границу.

Ei, pi

Рис. 4.28. 1-я среда (падающая + отраженная волна) s1(x, t) - s01 sin(wt - k1 x) + s01 sin(wt + k1 x)

Пусть продольная волна распространя­ется со скоростью С1 - V E1/ р1 в среде с моду­лем Юнга E1 и равновесной плотностью р1 (рис. 4.28). Опыт показывает, что эта волна на гра­нице раздела двух сред (х = 0 на рисунке) частич­но отражается и частично проходит во вторую среду, которая характеризуется параметрами E2 и р 2 . Следовательно, можем записать 2-я среда

(прошедшая волна) s2(x, t) - s02 sin(wt-k2x) (4.87)

Здесь w — частота, s01, s01 и s02 — амплитуды падающей, отраженной и прошед­шей волн соответственно, k1 - w/ c1 и k2 - w/ c2 — соответствующие волновые числа.

Чтобы найти соотношения между амплитудами трех волн, определяющие отра­жательную и пропускательную способность («прозрачность») границы раздела, запи­шем два условия, которые должны выполняться на границе раздела при х = 0.

Первое — это условие неразрывности вещества:

S (0,t) - s2(0, t). (4.88)

Второе — равенство напряжений:

o1(0,t) - о2(0,t), или E1e1(0,t)-E2e2(0,t). (4.89)

С учетом (4.87) из этих условий получаем:

S01 + s01 - s02,

- S01E1k1 + s01E1k1 - -s02E2k2.

В акустике фундаментальным является понятие импеданса, или удельного вол­нового (акустического) сопротивления материала. Эта величина z определяется как:

(4.90)

-о. v

(4.91)

сжимающее напряжение

колебательная скорость

Импеданс легко можно выразить через характеристики материала, воспользо­вавшись формулой (4.73):

Отсюда

0 v (4.92)

-о E

z — - pc.

vc

С использованием этой величины и выражений для к 1 и к2 условия (4.90) примут вид:

s01 + s01 - s02

і, - (4.94)

- s01 z1 + s01 z1 - - s02z2.

Отсюда получаем искомую связь между амплитудами волн:

1 - z2 / z1

s01 ----------------- —- s

т, , 015 s02 -" : s01. (4.95)

1 + z2 / z1 1 + z2 / z1

Для практических целей пользуются коэффициентами отражения R и пропуска­ния Г, характеризующими отношение интенсивностей отраженной и прошедшей волн к интенсивности падающей волны. Эти коэффициенты получаются из (4.95) с учетом (4.65):

2

R = L - І1

01

02

(4.96)

01

01

2 1- z 2/z1 1 + z 2 / z1

T - — - — І

1

4(z2 / z1) (1 + z2 /z1)2

т 1 2 2 1 2 2 І - 2 cpw s0 - 2 zw s0

где использовано то обстоятельство, что интенсивность бегущей волны (см. формулу (4.65))

(4.97)

Рмс. 4.29.

зависит не только от амплитуды s0 и частоты w, но и пропорциональна акустичес­кому сопротивлению z. Следует отметить, что формулы (4.96) справедливы и для поперечных колебаний.

Из рисунка 4.29, на котором изображены зависимости (4.96), видно, что если z1 - z2 , отраже­ния не происходит. Поэто­му на практике, когда надо уменьшить отражение, стараются согласовать (сделать практически оди­наковыми) волновые со­противления двух сред.

Заметим также, что при z2 << z1, как в случае свободного конца стержня (z2 — сопротивление воздуха), или z2 >> z1 (закрепленный конец), R » 1,т. е. происходит прак­тически полное отражение волны, что мы и использовали выше при рассмотрении отра­жения в этих предельных случаях.