Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы. Метод векторных диаграмм. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фазо­вый портрет колебательной системы. Негармонические колебания математического маятника. Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением. Коэффициент и время затухания, логарифмический декремент, добротность. Колеба­ния в системе с сухим трением. Явление застоя.

Окружающий нас мир полон движущихся объектов. Чрезвычайно важным клас­сом движений являются такие, в которых объект совершает финитное (ограниченное) движение вблизи некоторого положения равновесия. Разумеется, под движением мы понимаем не только его простейшую форму — изменение положения объекта в про­странстве, — но и любое изменение во времени свойств материи, распределенной в про­странстве. Колебаниями называются процессы, повторяющиеся (или приблизительно повторяющиеся) во времени.

Любая система, колебания которой мы будем изучать, может быть охаракте­ризована некоторой физической величиной, отклонение которойДх, y, z, t) от равновесного значения зависит от координат и времени.

В случае механических систем (а именно такие системы мы будем далее изучать в курсе «Механика») движущимися объектами являются точечные массы или физически малые элементы объема материальной среды (жидкости, газа, твердого тела и т. д.). Поэтому при описании колебаний таких систем функцияfx, y, z, t) может характе­ризовать смещение (линейное или угловое), скорость, ускорение, деформацию, кинети­ческую или потенциальную энергию, давление и пр.

При колебаниях в электрических системах колеблющейся величиной f может быть ток в цепи, заряд на пластинах конденсатора колебательного контура, напряжение на катушке индуктивности. В случае открытого колебательного контура в окружающем пространстве колеблются электрическое E(x, y, z, t) и магнитное B(x, y, z, t) поля.

Колебания могут быть результатом кратковременного внешнего возбуждения. Тогда они называются свободными, или собственными. Такие колебания происходят на частотах, обусловленных исключительно конструктивными особенностями системы — собственных частотах, и продолжаются в течение некоторого характерного времени — времени затухания, зависящего от диссипации энергии в системе.

Для поддержания незатухающих колебаний к системе должна непрерывно подво­диться энергия от внешнего источника. В этом случае колебания будут вынужденными. В зависимости от способа поддержания незатухающих колебаний различают вынужденные колебания под действием периодической силы, автоколебания, параметрические коле­бания, релаксационные колебания и т. д.

Далее мы постепенно рассмотрим все многообразие механических колебаний.

7/////////Г//Ї'/////////

Рис. 1.1.

Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свобо­ды. Если положение системы может быть описано одним единственным параметром f(t), зависящим от времени, то такая система имеет одну степень свободы. Примерами таких систем являются хорошо известные из школьного курса математический и пру­жинный маятники, изображенные на рис. 1.1, если первый из них движется в одной плоскости, а второй — по прямой.

Для математического маятника^) может характеризовать либо угловое смеще­ние (ft) = a(t)), либо линейное смещение вдоль траектории ft) = s(t)) точечной массы m от положения равновесия, а для пружинного маятника f(t) = s(t), где s(t) — смещение массы m от ее равновесного положения, изображенного пунктиром.

Движение таких и подобных им систем можно описать на основе второго закона Ньютона:

ma = F. (1.1)

Если пренебречь вначале силами сопротивления (в дальнейшем мы учтем их действие), то на массу m математического маятника будет действовать результирую­щая сила F = N + mg (N — сила натяжения нити), направленная, вообще говоря, под углом к траектории, а на массу m пружинного маятника, лежащего на гладкой горизон­тальной поверхности, — горизонтальная сила Ft, являющаяся функцией смещения s от положения равновесия.

Так как смещение s(t) в случае математического маятника определяется танген­циальным ускорением, то уравнение (1.1) для обоих маятников запишется в виде

d 2 2 dt2

= Ft (s),

(1.2)

dt2

= Ft(s) = - mgsin -;

где - — длина нити.

В первом уравнении использована проекция Ft(s) результирующей силы F на направление скорости в виде Ft = - mgsina = - mgsin(s/1).

В рассматриваемых примерах возвращающая сила Ft(s) является, вообще го­воря, нелинейной функцией смещения s. Поэтому точное решение уравнений (1.2), ко­торые являются нелинейными, получить не удается. Далее мы рассмотрим некоторые примеры таких нелинейных колебаний.

Здесь же мы будем считать смещения малыми по сравнению с длиной нити или длиной недеформированной пружины. При таких предположениях возвращающая сила пропорциональна смещению:

Ft (s) = - mg -; Fx (s) = - ks. (1.3)

Выражение слева записано при учете условия sin(s/1) » s/1, а справа — с использо­ванием закона Гука, справедливого при малых деформациях пружины с жесткостью k.

С учетом (1.3) уравнения (1.2) примут одинаковый вид:

d2 s g d2 s k

d2=-7s; d2=-ms. (L4)

Различаются лишь коэффициенты в правых частях этих уравнений, которые численно равны отношению возвращающей силы при единичном смещении к массе колеблющегося тела и имеют размерность [с-2]. Если использовать обозначения

w 2=gw 2 = m, (1.5)

то уравнения (1.4) примут вид уравнения незатухающих гармонических колебаний, или уравнения гармонического осциллятора:

= -w2 s. (1.6)

dt

Решением уравнения (1.6) является семейство гармонических функций

s(t) = sosin(® 0t + j 0), (1.7)

в чем легко убедиться, дважды продифференцировав функцию s(t) по времени:

ds d2s 2

— = sowo cos(wot + Фo), = - soWo sin(wot + Фo).

Заметим, что если уравнение движения приводится к виду (1.6), то его решени­ем являются гармонические функции (1.7) с частотой wo, равной корню квадратному из коэффициента при s.

Значения этих гармонических функций в начальный момент времени (при t = o) определяются начальной фазой jo (см. ниже) и амплитудой колебаний so. У одной и той же системы эти значения могут быть различными при разных спосо­бах возбуждения колебаний.

Чтобы возбудить собственные колебания, надо вначале (при t = o) либо отклонить тело (задать начальное смещение s(o)), либо толкнуть его (задать начальную скорость ds —(o) = v (o)), либо сделать и то, и другое одновременно. Знание начальных условий dt (смещения и скорости) позволяет определить амплитуду so и начальную фазу колебаний jo из очевидных уравнений: s(o) = s(t^t=o = so sin(wot + jo^t=o = so sin jo;

(1.8) (1.9) (1.Ю)

ds dt

= sowo cos(wot + jo)|t=o = sowo cos t=o

v(o) =

j o.

Решение этих уравнений имеет вид:

v 2(o) 2 w o

wos(o) v(o) '

so = 1 s (o) +

j o = arctg-

Важно отметить, что амплитуда колебаний so, равная величине максималь­ ного смещения тела от положения равновесия, может пре­восходить начальное смещение s(o) при наличии начально­го толчка. Наряду с круговой частотой wo колебания характери­зуются циклической частотой vo = wo / 2л, равной числу коле­баний за единицу времени, и периодом колебаний T = 1 / vo, равным длительности одного колебания. Период гармонических колебаний (равно как и часто­ты wo и vo) не зависит от начальных условий и равен

m к.

T = 2л.

T = 2л

(1.11)

Другим примером являются колебания физического маятника — тела произ­вольной формы массы m, закрепленного на горизонтальной оси O' так, что его центр масс находится в точке O, удаленной от оси на расстояние а. При отклонении маятника от вертикали на небольшой угол а он будет совершать свободные гармонические коле­бания под действием силы тяжести, приложенной к центру масс (рис. 1.2).

Если известен момент инерции тела J относительно оси вращения, то уравне­ние вращательного движения запишется в виде

т d2a

(1.12)

J —— = M = - mgasin a. dt2

Если считать, что при вращении, например, против часовой стрелки угол a увеличивается, то момент силы тяжести М вызывает уменьшение этого угла и, следовательно, при a> o момент M < o. Это и отражает знак минус в правой части (1.12).

Для малых углов отклонения уравнение (1.12) переходит в уравнение гармо­нических колебаний

dt2 J из вида которого сразу ясно, что частота w0 и период Т колебаний соответственно равны mga

J mga

(1.13)

d 2a

Сравнивая выражения для периода колебаний физического (1.14) и математи­ческого (1.11) маятников, легко видеть, что оба периода совпадают, если J

(1.15)

Поэтому физический маятник характеризуется приведенной длиной (1.15), которая равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний. Период колебаний физического маятника (а, следовательно, и его приведенная длина l) немонотонно зависит от расстояния а. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера момент инерции J выразить через момент инерции J0 относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс: J = J0 + ma2. Тогда период колебаний (1.14) будет равен:

т=2p i+mL

mga

длине физического маятника: l = a+ + a+. В силу симметрии графика ясно, что l = a+ + a - . (1.17) Это обстоятельство позволяет для любой оси вращения O+ определить сопряженную ось O-. Период колебаний относительно этих осей одинаков, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. На рис. 1.4 изображены положения осей O+ и O-, при этом ось вращения, уда­ленная на расстояние a-, при такой форме маятника находится вне его.

Изменение периода колебаний при удалении оси вращения от центра масс O в обе стороны на расстояние а показано на рис. 1.3. Легко видеть, что один и тот же период колебаний может реализоваться относительно любой из четырех осей, рас- положенных попарно по разные стороны от центра масс. Можно показать, что сум- + + ч.. ма расстояний a1 и a2 равна приведенной

mga

a,

(1.14)

T = 2p

w 0 ='

J

■ = l.

(1.16)

Физический маятник применяется для измерения ускорения сво­бодного падения. С этой целью измеряют зависимость периода колебаний маятника от положения оси вращения и по этой экспериментальной зави­симости находят в соответствии с формулой (1.17) приведенную длину. Определенная таким образом приведенная длина в сочетании с измерен­ным с хорошей точностью периодом колебаний относительно обеих осей позволяет рассчитать ускорение свободного падения. Важно отметить, что при таком способе измерений не требуется определение положения цент­ра масс, что в ряде случаев повышает точность измерений.

Рис. 1.4.

Метод векторных диаграмм. Гармонические колебания (1.7) допускают на­глядную графическую интерпретацию. Ее смысл состоит в том, что каждому гармони­ческому колебанию с частотой w0 можно поставить в соответствие вращающийся с угло­вой скоростью w0 вектор, длина которого равна амплитуде s0, а его начальное (старто­вое) положение задается углом ф0, совпадающим с начальной фазой (рис. 1.5).

Вертикальная проекция вектора s0 изменяется со временем: s(t) = s0 sin j(t). Мгновенное положение вектора s0 определяется углом j(t), который называется фазой и равен:

j(t) = w 01 + j 0.

(1.18)

(циклов) в секунду, а продолжительность одного оборота (период) равна отношению угла 2р к угловой скорости w0: T = 2p/w0.

С помощью векторных диаграмм легко осуществить сложение гармонических колебаний. Так, если необходимо сложить два колебания с одинаковыми частотами s(t) = s1(t) + s2(t) = s01 sin (w0t + j1) + s02 sin (w0t + j2) = s0 sin (w0t + j0),

/

V

t

/

I V

s 0

Рис. 1.66.

Рис. 1.6а.

то амплитуду sQ и начальную фазу ф0 суммарного колебания s(t) с той же частотой w0 можно легко рассчитать из рис. 1.6а, на котором графически изображена операция сло­жения векторов s0 = s01 + s02 в момент времени t = 0:

s01 Sin Ф1 + s02 Sin Ф 2 s01 COS j 1 + s02 COS j2

ф0 = arctg

Ясно, что вертикальная проекция вектора s0 будет также изменяться по гармо­ническому закону с частотой Wo, поскольку взаимное расположение векторов S01 и S02 не изменяется с течением времени.

Из этой диаграммы наглядно видно, что суммарное колебание s(t) опережает по фазе колебание s^t) и отстает по фазе от колебания s2(t). Полная фаза для каждого из трех колебаний в произвольный момент времени отличается от их начальных фаз на одну и ту же величину W0t, которую при построении векторных диаграмм не учитывают. При этом колебание изображается неподвижным вектором (рис. 1.6б), а частота колеба­ния предполагается известной.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим колебатель-

ную систему, состоящую из точечного груза массы m и четырех связанных с ним пружин (рис. 1.7) — усложненный вариант рассмотренного выше пружин­ного маятника.

Если масса движется по гладкой горизонталь­ной поверхности (на рисунке показан вид сверху), то ее мгновенное расположение описывается двумя смеще­ниями из положения равновесия—точки О: s^t) и s2(t). Такая система обладает двумя степенями свободы. Бу­дем считать смещения малыми, чтобы, во-первых, вы­полнялся закон Гука, и, во-вторых, при смещении вдоль
направления “1 деформации пружин с жесткостью ^ не приводили к сколько-нибудь замет­ному вкладу в возвращающую силу Fi = -2kiSv Аналогично, при смещении в перпендику­лярном направлении ^ возвращающая сила F^ = -2k2^2- При таких условиях колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях происходят независимо друг от друга:

s1(t) = “01sin(w01t + jj), s2(t) = s02sin(w02t + j2). (1.19)

Здесь собственные частоты гармонических колебаний равны

2k2

w01 =V, w02 =л—, (1.20)

V m m

а амплитуды и начальные фазы определяются начальными условиями.

При возбуждении колебаний в такой системе при произвольном соотношении собственных частот w01 и w02 траектория колеблющегося груза может быть чрезвычайно сложной. Ее, в принципе, можно проанализировать, принимая во внимание тот факт, что результирующее движение груза является суперпозицией двух взаимно перпендикуляр­ных независимых колебаний.

Рассмотрим вначале движение груза, если w01 = w02 = w0 (жесткости всех пру­жин одинаковы). Чтобы получить траекторию движения, исключим из (1.19) текущее время. Для этого перепишем (1.19) в виде:

— = sin w 0t cos j1 + cos w 0t sin j1,

S01

s2 . . a.21)

— = sin w 0t cos j 2 + cos w 0t sin j 2.

s02

Умножим первое уравнение (1.21) на cos j2, а второе — на cos j1 и вычтем второе урав­нение из первого. В результате получим:

— cosj2 _-“^cos j1 = cosw0tsin(j1 _ j2). (1.22а)

S01 s02

Теперь умножим первое уравнение на sin j2, а второе — на sin j1, повторим вычитание и получим

— sin j2 _ —sin j1 = sinw0tsin( j2 _ j1). (1.22б)

S01 S02

ґ	2	ґ	2
“1		“2	_ 2 JL
1		v “02 0	“01 “02

Наконец, возведем в квадрат каждое из равенств (1.22) и сложим их. В результате время будет исключено, а уравнение траектории движущегося груза будет уравнением эллипса:

j2 _j1) = sin (j2 _j1). (1.23)

Таким образом, в общем случае груз будет совершать периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей Os1 и O“2 зависят от начальной разности фаз Dj = j2 - j1.

0 < Дф < п/2

Dj = 0

Дф = п/2

п/2 < Дф < 0

п < Дф < 3/2 п

3/2 п < Дф < 2п

Дф = п

Дф = 3/2 п

Рис. 1.8.

На рис. 1.8 изображены траектории движения груза при различных значениях Dj.

Все траектории заключены в прямоугольник со сторонами 2s01 и 2s02. При Dj = 0 и Dj = p груз движется по прямой линии. При Dj = p/2 и Dj = 3p/2 полуоси эллипса со­впадают с Os1 и Os2 (при s01 = s02 эллипс вырождается в окружность). При разности фаз 0 < Dj < p груз движется по часовой стрелке, а при p < Dj < 2p — против часовой стрелки.

кУ

m = 1, n = 2

m = 19, n = 20

Рис. 1.9.

m = 2, n = 3

Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения T ~ 10-15 с. Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно перпендикулярных колебания с частотой w0 = 2p/T ~ 1016 с-1.

Если частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний не совпадают, но яв­ляются кратными: mw02 = nw01, где m и n — целые числа, то траектории движения пред­ставляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу (рис. 1.9). Отметим, что отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лисса - жу к сторонам прямоугольника, в который она вписана.

Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замк­нутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке.

v	---------	P У
	s

Фазовый портрет колебательной системы. В любой колебательной системе с од­ной степенью свободы смещение s(t) и скорость v (t) = ds/dt меняются со временем. Состояние сис­темы в каждый момент времени можно характери­зовать двумя значениями s и v, и на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяет­ся положением изображающей точки P с координа­тами s и v. С течением времени изображающая точ­ка P будет перемещаться по кривой, которую назы­вают фазовой траекторией движения (рис. 1.10).

Плоскость переменных s и v называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описы­вающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений.

Рис. 1.11.

Вначале проиллюстрируем сказанное на примере простейших гармонических колебаний вида s(t) = s0 sin(w0t + j0). Поскольку скорость

ds p

v(t) = dt = “0w0sin(w0t + j0 + у) опережает смещение

по фазе на p/2, то фазовая траектория будет эллипсом. Точка P будет двигаться по эллиптической траектории по часовой стрелке (при v > 0 смещение s

увеличивается, а при v < 0—уменьшается (рис. 1.11)).

Параметры эллипса определяются энергией, запасенной гармоническим осцилля­тором. Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения:

1 1

Епот =2 k“2 = 2 k“2 sin2(w0t + j0). (1.24)

Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости:

Екин = 1 mv2= 2 m w0“0cos2(w0t + j0). (L25)

Если принять во внимание равенство k = mw02, то легко видеть, что взаимопревращения одного вида энергии в другой за период происходят дважды. При этом полная энергия системы остается постоянной:

E0= Епот + Екин=:^ m( w 2“2 + V 2). (1.26)

Равенство (1.26) как раз и является уравнением эллипса, которое можно переписать в более удобном виде:

“2 +4 = ^ (1.27)

w 0 mw 0

Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия E0, запасенная осциллятором. Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и назы­вается особой точкой типа «центр».

С увеличением энергии Е0 возрастают амплитуды колебаний смещения s0 и ско­рости S0w0. Колебания, как правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траек­тории — эллипсами.

Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического маятника при произвольных углах а отклонения от положения равновесия. При этом будем счи­тать, что точечная масса m прикреплена не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины 1. Первое из уравнений (1.2) запишем в виде

da 2

—- = - w2 sm a. (1.28)

Рис. 1.12.

dt 20 v '

Это нелинейное уравнение не имеет простого аналитического решения, поэтому позднее мы приведем его приближенное решение. Од­нако многие закономерности таких колебаний можно проанализировать

с использованием фазового портрета на плоскости (a; а = - da-). С этой целью уравнение (1.28) надо преобразовать к такому виду, что­бы в нем остались только эти переменные, а время было бы исключе­но. Для этого угловое ускорение в левой части (1.28) преобразуем к виду:

d2a da da da da . 1 d(a2)

—=— = =—a = —-—-. (1.29)

dt2 dt da dt da 2 da

Подставляя (1.29) в (1.28), получим

1d(a2) = - w2 sin a da. (1.30)

Уравнение (1.30) отражает тот факт, что приращение кинетической энергии маятника равно убыли его потенциальной энергии в поле силы тяжести. Интегрируя (1.30), получим

a2 2

——w0 cos a = const. (1.31)

Если принять, что потенциальная энергия маятника в положении равновесия равна нулю, то константа выражается через запасенную маятником энергию Е0 = 2 ml2 a 2 (a 0 — угловая скорость маятника в положении равновесия):

Е

const = —°- - w2. (1.32)

ml20

Уравнение фазовой траектории (1.31) окончательно запишется в виде:

1 a2 . Е„

2 + (1 - cos a) = —j-f. (1.33)

0

2 w2 ' " ml2w2

При этом потенциальная и кинетическая энергии задаются выражениями

Екин = 2 m12 a 2; Екин = m12 w2(1-cos a). (1.34)

Используя (1.33), построим фазовый портрет системы (рис. 1.13).

Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа «центр» с координа­тами а =0, а = 2pn (n — целое число), соответствуют колебаниям маятника относи­тельно устойчивого нижнего положения равновесия. Такие колебания имеют место, если энергия системы E0 < ml2 w2 = 2mg1 (см. рис. 1.13). При этом, если E0 << 2mg1, то коле­бания будут гармоническими, а фазовые траектории - эллипсами. Если E0 ~ 2mgi, то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а, значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1.28) меньше, чем в случае гармонического осциллятора.

Верхнему положению равновесия с координатами а =0, а = (2n - 1)p соответ­ствуют особые точки типа «седло». Фазовые кривые, проходящие через «седла», соот­ветствуют энергии E0 = 2mg1 и называются сепаратрисами.

Если, наконец, E0 > 2mgi, то получаются незамкнутые (убегающие) траектории, соответствующие вращательному движению маятника.

Таким образом, сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две области: область замкнутых траекторий и область траекторий, приходящих из бесконечности и уходящих в бесконечность.

Отметим, что для негармонических колебаний нельзя употреблять термин «кру­говая частота», поскольку, как будет показано ниже, такие колебания являются, как пра­вило, суперпозицией гармонических колебаний с различными частотами. Период же является по-прежнему одной из главных характеристик колебаний. Фазовый портрет не позволяет определить, как быстро движется точка Р по траектории. Однако период нели­нейных колебаний математического маятника можно получить на основе приближенно­го решения уравнения (1.28).

Негармонические колебания математического маятника. Колебания мате­матического маятника при больших амплитудах, как уже отмечалось, не будут гармони­ческими. Это происходит потому, что возвращающая сила в правой части уравнения

(1.28) пропорциональна sin а и при больших а становится меньше той «линейной» силы (пропорциональной а), которая возвращает колеблющуюся массу в положение равнове­сия за неизменное время, равное четверти периода колебаний. Такая «линейная» сила обеспечивает независимость этого времени от амплитуды а0, т. е. изохронность колебаний.

Для анализа колебаний при больших амплитудах а0 запишем разложение sin а в ряд:

13

sin а = а а3 + ..., (1.35)

6

в котором отброшены члены более высокого порядка: а5, а7 и т. д. Подстановка (1.35) в

(1.28) приводит к нелинейному уравнению колебаний:

d а 2 w 0 3

—2- + ю0а = —^- а. (1.36)

dt 6

Решением этого уравнения уже не будет гармоническая функция. Действитель­но, допустим, что решением уравнения (1.36) будет гармоническое колебание вида а(0 = а0 sin(wt + j0). Подставляя это выражение в правую часть (1.36) и учитывая триго­нометрическое тождество

3 3 1

sin wt = — sinwt — sin3wt, (1.37)

4 4

приходим к противоречию. Получается так, что нелинейный член в правой части урав­нения изменяется во времени не только с основной частотой w, но также и с утроенной частотой 3w (частотой третьей гармоники). Чтобы устранить это противоречие, будем считать, что колебания маятника происходят одновременно на частотах w и 3w так, что

а(0 = а0 sin(wt + j0) + еа0 sin3 (wt + j0), (1.38)

где e — безразмерный параметр.

Подставляя (1.38) в (1.36), снова обнаруживаем, что нелинейный член, помимо двух частот w и 3 w, меняется во времени и на частоте 9w. Это говорит о том, что решение

(1.38) не является полным (в нем отсутствуют высшие гармоники 9 w, 27w и т. д.). Между тем, если амплитуда колебаний а0 не очень велика, то параметр e<< 1, и отсутствующие члены с высшими гармониками имеют амплитуды е2а0, е3а0 и т. д., которые много мень­ше амплитуды третьей гармоники еа0.

Теперь рассчитаем частоту w. Для простоты положим j0 = 0 (маятник получает начальный толчок в положении равновесия). Используя (1.38), запишем каждый из трех членов уравнения (1.36), опуская слагаемые, имеющие порядок малости е2 и выше:

= - w2a0 sinwt-9w2ea0 sin3wt;

d2a dt2

(1.39)

w a = w a0sinwt + w0ea0sin3wt;

2

2

2 3 3w 0 3 • w 0 3 • „ w 0 3.2 • ~

— w 0 a =----------- - a 0 sin wt +—-a 0sin3wt-------- - a 0 e sin--- wt sin3wt.

6 0 24 0 24 0 2 0

1

Заметим, что в последнем равенстве третье слагаемое в правой части, содержащее множитель a3 e, мало по сравнению с двумя предыдущими, и его также можно отбросить.

Сложим полученные три равенства. В силу (1.36), сумма левых частей равенств (1.39) равна нулю. Поэтому

3 1

0 = a0(-w2 + w2 - — w0a0)sinwt + a0(-9w°e + w°e + — w°a0)sin3w?. (1.40)

Поскольку равенство (1.40) должно выполняться для любого момента времени, то каждое из выражений, стоящих в круглых скобках, должно равняться нулю. Из равен­ства нулю первого выражения легко определить квадрат частоты основной гармоники

(1.41)

wz = w01 1 -1 a

2 1 - Oi 16

(1.42)

w0

a- Если —0 << 1, то для частоты получим 8 ч1 / 2

1 - a 20

w = w0

Последнее выражение показывает, что с возрастанием амплитуды колебаний их частота уменьшается (период увеличивается), т. е. нарушается изохронность колебаний.

Приравняем далее нулю второе выражение в круглых скобках в формуле (1.40):

2

(1.43)

- 9w e + w0e +—0 a о = 0.

0 24 0

Считая, что w » w0, находим величину малого коэффициента e :

(1.44)

e=

a2 192'

Если положить a0 = 15° = 0,26 рад, то e = 3,5-Ю-4, и вклад третьей гармоники в колебания ничтожно мал. Отличие частоты w от частоты гармонических колебаний w0 составит величину

16 w0 - w

w 0

w 0

(1.45) 6%. Таким образом, приближенным

w 0-w = a 0 = 4,2. 10-3

Даже при a0 ~ 1 рад e » 5-10-3,

решением уравнения (1.36) будет (1.38), где частота w определяется (1.41), а параметр e находится из (1.44).

Заметим, что негармонические колебания могут возникать не только при боль­ших отклонениях от положения равновесия системы. Например, если в разложении воз­вращающей силы Ft(s) по степеням s отсутствует линейный член, и оно начинается с члена, пропорционального ;3, то колебания будут ангармоническими при любых, даже сколь угодно малых, отклонениях.

Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением. В ре­альных системах всегда происходит диссипация энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся вообще.

Формально затухающие колебания описываются уравнением

ms = F% (s)+ FTp(s), (1.46)

которое, в отличие от (1.2), помимо возвращающей силы Ft, содержит и силу трения F. Сила сопротивления движению, вообще говоря, зависит как от направления скорости (например, при сухом трении), так и от величины скорости (при движении в вязкой среде). Если возвращающая сила пропорциональна смещению: Ft(s) = - ks, где к — коэф­фициент пропорциональности (для пружинного маятника—жесткость пружины), то урав­нение (1.46) можно переписать в виде

s - ^ + w2s = 0, (1.47)

m

где w0 = J--------------------- собственная частота незатухающих гармонических колебаний.

V m

Вначале мы рассмотрим затухающие колебания в случае, когда на колеблющее­ся тело действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости: F =-Ts. Такая ситуация может иметь место, например, при колебательном движении тела в воздухе или жидкости, когда число Рейнольдса Re ~ 1 или Re < 1. Тогда уравнение (1.47) можно записать в виде:

s + 25s + w° s = 0, (1.48)

где 5 = —-------------- коэффициент, или показатель затухания.

2m

Общая идея решения однородных линейных уравнений типа (1.48) заключается в следующем: в качестве функциональной зависимости s(t) надо выбрать такую, которая при дифференцировании по времени переходит в саму себя, то есть экспоненту: s(t) = s0e4 Подставим ее в уравнение (1.48):

s0e1t(12 + 251 + w2)=0. (1.49)

Поскольку e1 ф 0, получаем так называемое «характеристическое» уравнение:

I2 + 251+w2 = 0, (1.50)

которое в данном случае (для уравнения второго порядка) имеет два корня

112 =-5 + -^52 — w° , (1.51)

l t

а само уравнение (1.48) - два независимых решения: s1(t) = s01 e [1] и s2(t) = s02 e силу линейности уравнения (1.48) сумма любых его решений также является решением, то есть справедлив так называемый «принцип суперпозиции» решений, и общим реше­нием данного уравнения является

(-8+^82-w 0 )t (-8-д/82 - w 0 )t

в

17t

(1.52)

s(t) = s01e

Решение содержит две независимые константы s01 и s02, которые определяются из на­чальных условий s(0), v (0).

в зависимости от соотношения 8 и w0 возможны три случая.

Если 8 < w0, то д/d2 - wJ5 = i-Jw2 - 82 , где i = V-T — «мнимая» единица. Реше­

ние является комплексным1^ но, поскольку начальные условия действительные, то с помощью формулы Эйлера:

eij = cos j + i sin j (1.53)

нетрудно показать, что общее решение будет действительно и может быть записано в виде:

s(t) = s0e-8t sin(wt + j0), (1.54)

то есть представляет собой затухающие колебания, частота которых w меньше, чем у собственных незатухающих колебаний:

ю = д/ю2 -82 . (1.55)

Колебания, описываемые (1.54), не являются гармоническими (рис. 1.14). Под их амплитудой будем понимать величину

A(t) = sge-8t, (1.56)

которая монотонно убывает со временем. «Длительность» колебаний характеризуется временем затухания

(1.57)

1

Х= 8

Если подставить t в (1.56), то легко видеть, что по истечении времени затуха­ния t амплитуда убывает в е раз. Количе­ство совершенных системой колебаний за время t равно отношению этого времени к периоду затухающих колебаний T = 2p / w.

Если затухание в системе мало (8 << w0), то период колебаний T » 2p / w0, и число этих колебаний

Экспоненциальный закон убывания амплитуды со временем позволяет ввести безразмерный параметр — логарифмический декремент затухания 0, который равен ло­гарифму отношения двух последовательных отклонений в одну и ту же сторону:

0 = ln A(t) =5T. (1.59)

A(t + T) V 7

Из (1.57), (1.58) и (1.59) находим:

0=j. (і.60)

Логарифмический декремент затухания можно оценить, если подсчитать число колебаний, совершенных системой за время затухания t, то есть до уменьшения ампли­туды колебаний примерно в 3 раза. Чем больше число этих колебаний, тем меньше поте­ри энергии в системе.

Проследим за убыванием энергии, запасенной осциллятором, с течением вре­мени. Используя (1.54), запишем по аналогии с (1.24) и (1.25) выражения для потенци­альной и кинетической энергий осциллятора:

Епот = 2ks°e-25t sin°(wt + j0), (1.61)

Eкин = 2 mw2s02e-25t cos°(wt + j0). (1.62)

Заметим, что, строго говоря, скорость равна

v = s = - s05e-5t sin(wt + j0) + s0we-5t cos(wt + j0). (1.63)

Очевидно, что если 5 << w, то первым слагаемым в (1.63) можно пренебречь и записать выражение для кинетической энергии в виде (1.62). Суммарная энергия осцил­лятора убывает со временем:

E(t) = Епот + Екин = 1 s0°e-25t[k sin2(wt + Ф0) + mw2 cos2(wt + Ф0)]. (1.64)

Примем во внимание, что при 5 << w0 частота w » w0. Так как k = mw2 , то (1.64) оконча­тельно запишется в виде

E(t) = 2s02mw2e-25t = E0e-25t. (1.65)

12

Полная энергия осциллятора, равная вначале E0 = — s0mw0, монотонно убывает со вре­менем по экспоненциальному закону и уменьшается в е раз за время

1 t

1 e = 25 = Г (1.66)

«Качество» колебательной системы характеризуют безразмерным пара­метром Q, называемым добротностью. Добротность пропорциональна отноше­нию запасенной энергии E(t) к энергии DET, теряемой за период (рис. 1.15):

^ „ Е (t) ^ Е 0e-25t 2p

Q = Е = Е -25t Е -25(t+T) = 1 -25T. (1.67)

DEt Е 0e - E0e 1 - e

Если число колебаний велико, то 5T = 1/N << 1. Тогда

2p 2p p

Q =-------- ^ =----------------------------- » - = pN. (1.68)

1 - e 1 - (1 - 25T +...) 0 v '

Рис. 1.15.

При экспоненциальном законе убывания энергии со временем добротность Q оказыва­ется постоянной величиной, которую, как и логарифмический декремент затухания 0 , можно легко оценить по числу колебаний Nq = pN » 3N, совершенных системой до их полного прекращения (за время 3t амплитуда колебаний уменьшается в е3 » 20 раз, то есть колебания практически полностью затухают).

Следует отметить, что добротность не только характеризует затухание колеба­ний, но и является важной величиной, определяющей параметры вынужденных колеба­ний, осуществляемых под действием внешней периодической силы (см. далее).

Рассмотрим теперь случай 5 = w0, когда корни характеристического уравнения

кратные: l = 12 = -5. При этом частота w = -^w^ - 52 = 0 , то есть колебания отсутству­ют. Общее решение, как нетрудно проверить подстановкой, имеет следующий вид:

s(t) = (s0 + Ct)e-5t, (1.69)

где независимые постоянные s0 и C определяются, как и раньше, начальными усло­виями. Возможный вид зависимости s(t) при разных начальных условиях изобра­жен на рисунке 1.16.

Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у сис - 0 темы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких t. Такой режим движения на­зывается критическим. Рис. 1.16.

Наконец, если 5 > w0, то общее решение (1.52) является суммой двух убывающих с течением времени экспонент, поскольку -5 + - Jd2 - w2 < 0 . Возможный вид зависимостей s(t) похож на то, что изображено на рис. 1.16, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режи­ме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется апериодичес­ким, или закритическим.

5 < w Рис. 1.17.

Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равно­весия происходит в критическом режиме, а в колебательном и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, на­пример, гальванометры — приборы для электрических измерений — работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения s рамки к устойчивому от­клонению syCT, имеет наименьшую длитель­ность (см. рис. 1.17).

Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний яв­ляются фазовые портреты, построенные для колебательного (5 < w0), а также критичес­кого и апериодического (5 > w0) режимов (рис. 1.18).

При 5 < w0 фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стяги­вающихся в особую точку типа «фокус». На рис. 1.18 изображена одна из таких спира­лей. За каждый оборот радиус спирали уменьшается в eq раз. Для критического и апери­одического режимов 5 > w0 фазовые траектории сходятся в особую точку типа «узел».

S

s

s

Затухание колебаний в системах с сухим трением. На практике мы часто имеем дело с системами, в которых главную роль играет сила сухого трения, не завися­щая от скорости. Типичный пример — пружинный маятник, груз которого скользит по шероховатой горизонтальной поверхности, или колебательная система у стрелочных из­мерительных приборов, основу которой составляет вращающаяся рамка, испытываю­
щая действие сил сухого трения в оси вращения. Хотя сила F сухого трения и не меня­ется по величине, тем не менее она меняет свое направление при изменении направле­ния скорости. В силу этого необходимо записать два уравнения

F„

(1.70) (1.71) , то оба (1.72)

■ тр

s + w 0 s =---- — для s > 0;

m

F

s + w 0 s = + —— для s < 0. m

L тр

а в (1.71) — s2 = s--

mw 0

Если в (1.70) использовать переменную s1 = s + тр2

mw 0

уравнения примут одинаковый вид:

s1,2 + w0 s1,2 = 0 .

Фазовые траектории, соответствующие этому уравнению, представляют собой

тр

(s1 = 0) для верхней полуплос­

эллипсы с центрами, имеющими координаты s - = - F„

mw20

тр

кости s > 0, и s+ = + -

(s2 = 0) для нижней полуплоскости s < 0 . Чтобы нарисо-

mw

0

вать фазовый портрет, необходимо сомкнуть фазовые траектории верхней и нижней по­луплоскостей на их общей границе s = 0. Из построенного на рис. 1.19 фа­зового портрета видно, что движение пре­кращается после конечного числа коле­баний. Чрезвычайно важно, что система не обязательно придет к состоянию s = 0, а может остановиться, попав в зону зас­тоя s+ - s - . Зона застоя тем больше, чем больше сила F. Из фазового портрета легко определить убывание амплитуды колебаний за один период. Это измене­ние амплитуды в два раза превышает про­тяженность зоны застоя:

4 Fт

тр

(1.73)

DA = A(t) - A(t + T) = 2(s+ — s-) =

2 mw 0

Таким образом, в отличие от экспоненциального закона (1.56), характерного для вязкого трения, амплитуда колебаний убывает со временем линейно. На рис. 1.20 показана зависимость от времени смещения колеблющегося тела при сухом трении. Число совершаемых системой колебаний до их прекращения зависит от начальной амплитуды A0, и его можно оценить по формуле:

N=

(1.74)

DA 2(s+ - s-)

Оно зависит от начальной ампли­туды А0 . Частота колебаний

w0 = J— остается такой же, как

и при отсутствии силы трения (см. (1.72)).

Колебания продолжают­ся до тех пор, пока их амплиту­да остается больше половины ширины зоны застоя s+- s_. При этом в реальных условиях колеблющаяся масса останавливается в случайном положении внутри этой зоны (в точке Р на рис. 1.20).