Критерий независящего от пути интегрирования J-интеграла удобно применять к численным решениям задач о напряженном состоянии материала у трещин или других острых дефектах, по­лученных методом конечных элементов или методом сеток. Этот критерий основан на понятии механического потенциала П.

Механическим потенциалом называется разность между рабо­той внутренних сил W, совершенных в объеме V тела:

W = J w • dV,

(V)

и работой постоянных внешних сил A, совершенной на поверхно­сти S этого тела: .

A = I q ■ u ■ ds.

(S)

Таким образом, потенциал вычисляется по формуле

П= J w-dV - J q ■ u ■ ds, (6.119)

(V) (S)

где w — работа внутренних сил (напряжений), затраченная на де­формацию единицы объема материала:

3

(6.120)

w i=1

=Z Z. К і ■ d0i, і

і=1 0

В случае нагружения тела одной сосредоточенной силой, как

показано на рис. 6.49а, второй интеграл, входящий в определение

потенциала по формуле (6.119), равен работе, совершенной этой

силой: - ^

A = I q ■ й ■ ds = Pc ■ йс,

(S)

где йс — вектор перемещения той точки тела, в которой приложе­на постоянная сила Pc.

На рис. 6.496 эта работа равна площади прямоугольника (0­3-2-4-0). С другой стороны, линия (0-1-2) представляет собой кривую нагружения. Если при нагружении тела работа никуда не рассеивается, то площадь под кривой нагружения (затемненная на рисунке точками) в силу закона сохранения энергии, равна работе внутренних сил W, совершенных во всем объеме V материала:

йс

W = J P ■ du.

0

Потенциал П представляет собой разность этих работ. Заштри­хованная горизонтальными линиями площадь на рис. 6.496 равна разности (A-W), следовательно она равна - П.

Из рис. 6.496 ясно, что величина - П является избытком рабо­ты постоянных внешних сил, который может быть использован на любой процесс, не связанный с деформацией материала. Он мо­жет быть использован на разрушение конструкции, сотрясение ее деталей и фундамента, на звуковые волны и т. п. Если этого из­бытка работы нет (П = 0), то никакого разрушения не будет.

Рис. 6.49 Определение механического потенциала (6) и его приращения при увеличении длины трещины на At (в) в случае нагрузки сосредоточенной силой (а)

В механике разрушения эта задача решается для тела с трещи­ной (например, рис. 6.49а) на единицу толщины материала t (точ­нее, на единицу проекции длины фронта трещины на направле­ние, перпендикулярное направлению ее движения).

J-интегралом называется производная механического потен­циала П по длине трещины l, взятая с обратным знаком:

йП dl '

J = -

(6.121)

Чтобы пояснить физический смысл формулы (6.121), на рис. 6.49в нанесены две кривые нагружения, одна — для образца с трещиной исходной длины l, другая — для образца с трещиной, получившей приращение на Al. Из рис. 6.49а видно, что если тре­щина длиной l получит приращение длины на Al, то высота мини­мального сечения образца на столько же уменьшится. Поэтому кривая нагружения для трещины большей длины пройдет ниже. Сравнивая рис. 6.496, в, видим, что приращение потенциала при увеличении длины трещины на Al составит

А(-П) = - П(і + Al) + П(і) = {W (l) - W (l + M)}u._u

графически эта величина представлена горизонтальной заштри­хованной областью на рис. 6.49в. С учетом этого J-интеграл выра­зится формулой 1 (А(-П) ^ _ 1 jW(l) - W(l + Al){ _ _ (6123)

J Al—>0;

J _-

Такое определение J-интеграла легко использовать для вычис­ления его критического значения применительно к изгибным образ­цам с трещиной длиной l и сечением h ■ t из идеально пластического

Рис. 6.50 Схема сечения изгибного образца с трещиной и эпюра напряжений в минимальном сечении

(6.122)

dW _ 1 dl t

t I

Al

Al

Al—0

м.

-ш-А1
4Мр(1 + М)

8W

Фс

Рис. 6.51 Изменение работы при увеличении длины трещины в изгибном образце из жесткоплас­тического материала

материала (рис. 6.49а). Для такого об­разца напряжения в опасном сечении с трещиной ограничиваются пределом текучести. Момент пластического шар­нира, соответствующий эпюре напря­жений на рис. 6.50, определяется фор­мулой (h - l)2

h-1.t. h-J) v Л Urn

Mp = |стт

• t.

Для вычисления работы внутрен­них сил W(l) выражение для пласти­ческого момента нужно умножить на критический угол поворота фс, при котором трещина начинает двигаться. W(l) соответствует на рис. 6.51 площади прямоуголь­ника со сторонами Mp(l) и фс: W(l) = Mp - Фс = Стт - Фс • (h4l)2 • t. В соответствии с формулой (6.123), J-интеграл можно выра­зить как:

От - Фс • (h -1)

dW 1

От ' Фс

J = -

2.(h-l) (-1)-

dl t 4 ' 2 Сравнивая последнее выражение с предыдущим, видим:

Стт -Фс • (h-1)2 • t

J =

= W (l) •

(h -1) • t

(h -1) • t

Обозначив площадь поперечного сечения образца за вычетом надреза (площадь нетто) через Ан: Ан = (h - l) • t для испытаний об­разцов с трещиной на изгиб, получим простую формулу для вы­числения J-интеграла:

2 • W Ан,

очень похожую на формулу, по которой определяется ударная вяз­кость:

KCU = А, Ан

где Ac = W — работа, затраченная на деформацию и разрушение образца при ударном изгибе. Формула для J-интеграла отличается от (6.125) только коэффи­циентом 2. Но физический смысл формулы (6.124) совсем другой. Это не средняя работа, затраченная на единицу площади разруше-

J =

(6.124)

(6.125)

ния, а удельная работа Гриффитса Gc, препятствующая страгива - нию трещины с места.

Попытаемся использовать полученный результат примени­тельно к диаграмме нагружения упрочняющегося материала, типа показанной на рис. 6.49в. Такая диаграмма представлена на рис. 6.52а.

Площадь под этой диаграммой равна работе внутренних сил; ее можно разбить на сколь угодно много наклонных параллело­граммов и треугольник, как показано на рис. 6.52б. Далее, не из­меняя площади этих параллелограммов, их можно выпрямить, превратить в прямоугольники, как показано на рис. 6.52в. Каж­дый из прямоугольников представляет собой диаграмму нагруже­ния для жесткопластического тела. Следовательно, каждый пря­моугольник можно обработать по формуле (6.124). Тогда

N

2 - ZAWi

1=1

AJl =-

= 2 • W1

Ан

" Ан :

где Wl — суммарная площадь прямоугольников на рис. 6.52в.

Остается найти J для треугольной эпюры 2. Работа внутрен­них сил W2 определяется площадью этого треугольника:

Mp 'А(Р2 _ стт • (h -1)2 • t Аф2

W2 =

2 4 2

AJ _ W AJ _~~dT

Согласно формуле (6.123), добавка к J-интегралу от этой части:

стт • 2 • (h - l) Аф2 _ 2 • W2

Ан

Формула аналогична предыдущей. Следовательно, независи­мо от формы кривой нагружения J-интеграл для изгибных образ­цов с трещиной может вычисляться по формуле

(6.126)

где Wc — площадь под экспериментальной кривой нагружения образца до точки, в которой инициировано движение трещины. Кроме того, из записанной на испытательной машине диаграммы нужно исключить деформации, связанные с перемещениями де­талей самой машины.

Методы экспериментального определения характеристик тре - щиностойкости стали KIc, Ъс и Jc на образцах различной формы с трещиной детально описаны в ГОСТ 25.506-85 «Методы механиче­ских испытаний металлов. Определение характеристик трещино - стойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении».