Некоторые существенные следствия

Из представления основных уравнений в форме (5.24) непо­средственно следует, что эти уравнения могут быть записаны в виде

Ps ^ - J - Л. (А(1> -%ZS (*., V) ) = 0 (7.1)

S 6 /

= !>•••> ^)ї

т. е. что в рассматриваемом случае, согласно изложенному в § 2 гл. 2, § 8 гл. 10 и в § 4 гл. 12, существует так называемая потен - циалъная функция

D = Аа) (аь..., ak) — В (ах, ..., ak), (7.2)

где

h

В (ocj,..., afe) = 2 zs (os, to) as. (7-3)

S=1

Функция Z) характеризуется тем, что устойчивые синхронные дви­жения соответствуют точкам ее грубых минимумов подобно тому, как положения равновесия консервативной механической системы соответствуют точкам минимумов потенциальной энергии (о поня­тии грубого минимума см. § 8 гл. 10). Через В в выражениях

(7.2) п (7.3) обозначен так называемый потенциал усредненных

неконсервативных сил. Б случае одинаковых парциальных скорос­тей вибровозбудителей, когда избыточные моменты Z, = 0, будем иметь

D - A(I)(ai,...,afe), (7.4)

т. е. устойчивые синхронные движения характеризуются миниму­мом среднего за период колебаний Т = 2яЛо значения функции Лагранжа колебательной части системы, вычисленного в порож­дающем приближении.

Из сказанного вытекают по мепыпей мере три существенных следствия:

1. Поскольку А(1> — периодическая функция ее. (см. формулу

(5.23) ), то, согласно изложенному в § 2 гл. 2 и в § 9 гл. 10, при одинаковых или близких парциальных скоростях вибровозбудптс- лей точки минимумов функции D непременно имеются, и поэто­му устойчивые в малом синхронные движения возбудителей всег­

да существуют [20]). Иными словами, при указанных условиях имеет место тенденция вибровозбудителей к самосинхронизации. Для частного случая двух возбудителей это было показано в преды­дущем параграфе.

2. Практическое решение задачи о синхронизации вибровозбу­дителей может быть выполнено путем использования интегрально­го критерия (экстремального свойства) устойчивых синхронных движений. Делается это следующим образом.

а) Составляется уравнение (или в более сложном случае —» уравнения) колебаний несущего тела В0 (платформы) под дейст­вием возмущающих сил, развиваемых вибровозбудителями при равномерном вращении пх роторов по закону <ps = os(toi + as), т. е. с общей угловой скоростью свис заранее неизвестными на­чальными фазами а„. (Речь идет о последнем уравнении (4.14), в котором принято ф« = оД(oi + ае).)

б) Находится решение этого уравнения ж0, соответствующее установившимся вынужденным колебаниям платформы (см. выра­жение (4.15)).

в) Найденное решение х° подставляется в выражение для функции Лагранжа Lm = 7Т(1) — П(1>, отвечающей колебаниям не­сущего тела (см. формулы (5.22)), после чего производится усред­нение по периоду Т — 2л/(о, т. е. вычисляется функция А(1). В ре­зультате получается выражение типа (5.23).

г) Составляется выражение (7.2) для потенциальной функции D. Значения фазовых сдвигов а8, которые могут отвечать устойчи­вым синхронным движениям, находятся из условий минимума функции D.

Заметим, что указапнып алгоритм решения остается таким же и для гораздо более сложных задач о синхронизации вибровозбу­дителей, чем рассматриваемая. В ряде случаев он оказывается бо­лее предпочтительным, чем другие способы (см. § 10).

3. Предположим, что упругие элементы, связывающие несу­щее тело с неподвижным основанием, являются столь мягкими, что средней потенциальной энергией колебаний <(П(1)Р можно пренебречь по сравнению со средней кинетической энергией <(Г(1))> (это предположение, как нетрудно видеть, сводится к требованию (в > Рх, т. е. к условию, что движение происходит «далеко» в пос­лерезонансной области). Тогда в случае возбудителей с одинако­выми парциальными скоростями их устойчивые синхронные дви­жения будут соответствовать минимуму среднего за период значе­ния кинетической энергии платформы. Иными словами, фазировка возбудителей при их самосинхронизации будет такой, чтобы коле­бания платформы были минимальными в смысле величины сред­ней кинетической энергии колебаний. В частности, при одинако­вых статических моментах возбудителей т, е» и при четном их числе к = 2к' всегда будет существовать устойчивое синхронное движение, при котором половина (т. е. к') возбудителей работает в противофазе с другой половиной возбудителей. Естественно, что при этом возмущающие силы, развиваемые возбудителями, взаим­но компенсируются, и поэтому колебания платформы практически отсутствуют. Об этих интересных эффектах, существенных для ря­да приложений, подробнее говорится в п. 4 § 8 и в пп. 6 и 7 § 14.

Если же предположить, что упругие элементы столь жестки, что кинетической энергией колебаний можно пренебречь по срав­нению с потенциальной (со < рх, т. е. движение происходит в до­резонансной области вдали от резонанса), то при тех же условиях в устойчивом синхронном двпжепин средняя потенциальная энер­гия должна быть максимальной. Поэтому устойчивой будет син­фазная работа всех возбудителей, при которой возмущающие си­лы складываются и колебания несущего тела максимальны. Не­трудно видеть, что эти заключения полностью соответствуют по­лученным в § 6 для случая двух возбудителей.

Изложенные положения ниже существенным образом обобща­ют»^ как на более сложные случаи синхронизации вибровозбуди­телей (см. п. 4 § 8), так и на широкие классы иных динамических объектов (см. §§ 4—7 гл. 12).