В 1826 г. Н. И. Лобачевский доложил на заседании Отделения физико - математических наук Казанского университета о своей новой геометрии. Не­сколько позже с такой же теорией выступил Я. Больяй. Полное признание гео­метрии Лобачевского произошло через 42 года в 1868 г., когда Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского имеет место и на псевдосфере, или гипер­болической поверхности. С тех пор геометрия Лобачевского называется гипербо­лической, в противоположность эллиптической геометрии Г. Ф. Римана (1854 г.) (не смешивать с общими римановыми геометриями) и параболической геометрии Евклида - все три имеют прямое отношение к «солитонно-вихревым» структурам фракталов энергии в масштабах квантового вакуума. Фактически Лобачевский ввёл в математический анализ геометрическую границу существования рассма­триваемой идеи, названную «кругом Лобачевского». Вследствие необычайной плодотворности его геометрия позволила провести анализ квантового вакуума благодаря наполнению «круга» физическим содержанием введённого нами по­нятия «границ диапазона геометрических масштабов наблюдаемости» химико­физических свойств материи-энергии. В концепции двух видов энергии граница круга Лобачевского имеет геометрическое и физическое содержание горизонта наблюдаемости свойств энергии, поскольку круг - это достаточно «плоский» участок сферической оболочки солитона.

Примечание. Приведённые термины - эллиптическая геометрия, гиперболи­ческая и параболическая - характеризуют уравнения т. н. «абсолютов» неевкли­довых геометрий в плане теории групп в проективной геометрии (7, с. 399). В ана­лизе квантового вакуума необходимо задействовать одновременно все геометрии, идея взаимосвязанности которых изложена Клейном в «эрлангенской программе». Мы используем «экзотические», для инженеров, термины, только с целью указа­ния «математических точек роста идей» для будущего более глубокого анализа свойств квантового вакуума.

Трёхмерное пространство Лобачевского-Бельтрами имеет отрицательную кривизну (-1/№). Поэтому мы рассматриваем геометрию Лобачевского и Бельтра - ми как геометрию вихря. Трёхмерное пространство Римана имеет положитель­ную кривизну 1 R1. Поэтому рассматриваем геометрию Римана как геометрию солитона. Пространство Евклида занимает промежуточное положение, в котором радиус кривизны имеет бесконечно большое значение R-*оо. Это позволяет рассма­тривать геометрическую модель сконденсированной энергии как геометрию пло­ского участка пространства (одного из мгновенных состояний энергии в перио­дических преобразованиях системы «вихрю юояитон»). Оно ограничено «кругом Лобачевского» как границей наблюдаемости событий в круге достаточно малого радиуса г, вырезанного в оболочке сопряжённых вихря и солитона с радиусами кривизны R.

Все три пространства, очевидно, разнородны, но при определённых условиях должны быть однородными. Уточним эти условия. Пространства становятся одно­родными лишь периодически в процессе взаимных преобразований разных геоме­трий друг в друга, по существу одной «переменной геометрии Клейна», совершае­мых в определённой последовательности, т. к. не существуют одновременно. Они должны быть взаимно сопрягаемы (в общем случае по-разному). Эго отдельные одноимённые («достаточно однородные») образы «переменной геометрии», перио­дические преобразования которых растянуты во времени, существовавшие в про­шлом или будут существовать в будущем. Они обладают другими интересными свойствами, необходимыми для анализа взаимосвязанных элементарных геометри­ческих структур энергии внутри фрактала одного диапазона масштабов. Фрактал составлен из взаимосвязанных, несмотря на индивидуальные различия в масштабах одноимённых структур и явную разнородность солитонов, эллипсоидов, гипербо­лоидов или вихрей, а также их промежуточных вариаций, разнородности которых мы отождествляем с разными геометриями (7, с. 397-399, 528-531, 717, 742-743).

Находясь внутри фрактала в разных масштабах в его геометрических структу­рах, элементарные структуры энергии разных геометрий взаимно преобразуются в строгой последовательности вследствие действия закона сохранения энергии во всём бесконечно широком диапазоне геометрических масштабов квантового ва­куума Содержание «строгой последовательности» характеризуется константами Мироздания ж, е, h и А (числа Авогадро).