Пусть в начальный момент времени t = 0 в линейный элемент объе­ма, представляющий бесконечную призму с бесконечно малым сечени­ем dxdy [см2] и с осью, совпадающей с осью ОZ (линейный источник), вводится теплота с равномерной линейной интенсивностью [Дж/см] (рис. 13.4, в).

Для решения этой задачи применим метод источников. Можно по­ложить, что мгновенный бесконечный линейный источник эквивален­тен бесконечному количеству мгновенных точечных источников интен­сивностью О - Q^dz' [Дж], расположенных по оси ОZ от - ос до +оо. Элементарное повышение температуры от любого выделенного мгно­венного точечного источника можно определить по формуле (13.22). Просуммировав действие всех мгновенных точечных источников, по­лучим решение задачи

где Я' - пространственный радиус-вектор, характеризующий отстояние точки Л от выделенного точечного источника с координатами (0, 0, z'): Я’2= Xі + г/2 + (z - zr)2.

Определенный интеграл в выражении (13.24) подстановкой

сводится к известному интегралу

Jexpj^—ї/2JrfC/ = 2 Jexp[-^]rfE/ = yfn.

После преобразований решение примет вид

где г - плоский радиус-вектор, характеризующий отстояние точки А от оси ОZ: г2 = Xі + у2.

Анализируя решение (13.25), видим, что процесс распространения теплоты является двумерным (плоским), изотермические поверхности представляют собой цилиндры с осью ОZ.

Частный случай: действие мгновенного линейного источника в бес­конечной пластине.

Пусть в начальный момент времени t = 0 конечное количество теп­лоты Q [Дж] вводится в элементарный объем dxdys [см3] (линейный источник) (рис. 13.4, г).

Воспользуемся решением (13.25), в котором:

Л 0

• интенсивность линейного источника У = “ [Дж/см];

• учтем теплообмен поверхностей бесконечной пластины с окру­жающей средой [формула (13.19)].

Окончательно решение примет вид

где Г2 = Xі + у2.