Рассмотрим балку простейшего сечения (прямоугольник) с прямо­линейной осью, и в центре тяжести ее левого торца поместим начало системы координат ATZ, направив ось X вдоль ее длины, осп Y и Z - вдоль главных осей поперечного сечения балки (рис. 15.5, а).

Выделим на некотором расстоянии д от начала координат двумя бес­конечно близкими сечениями аа и ЪЬ, перпендикулярными к оси ОХ, участок балки dx, отнесем его к единице длины и изобразим в несколь­ко увеличенном виде (рис. 15.5, б, в). Предположим теперь, что балка подвержена внешнему нагружению (центральной продольной силой N и изгибающими моментами в плоскостях X0Z и ХОК Му и Му соответ­ственно) и неравномерно нагрета как по длине, так и по поперечному сечению (причем значения температур и их распределение не оговари­ваются).

Рис. 15.5. Деформации балки в сечении лг в результате внешнего и теплового нагружений:

а - общая схема нагружения; 6 , в - деформации участка балки единичной длины:
с0 - смещение сечения ЬЬ по центральной оси: tp и у - углы поворота сечения
bb относительно осей О У и ()/; г - у и т координаты центра тяжести зоны остаточных
11 л асти11 ес к и х деформа цим

Соответственно в выделенном участке балки в результате внешнего и теплового нагружения каждое продольное волокно будет стремиться удлиниться (или укоротиться) на величину, обусловленную этим на­

гружением. Это удлинение (укорочение) волокна может быть реализо­вано полностью, частично или вообще не реализовано по причине, что это удлинение (укорочение) ограничено смещенным сечением Ь'Ь'(см. рис. 15.5, б, б), которое, согласно гипотезе плоских сечений, правомер­ной для балок, всегда при деформировании балок остается плоским. Таким образом, согласно выражению (15.5), действительная относитель­ная продольная деформация каждого волокна в сечении балки є(г/, г)[11], ограниченная смещенным, но плоским сечением, будет являться сум­мой упругой z( =—температурной є7(г/, z) и пластической zf)(y, z) деформаций:

е(глг) = СТ^—+er0/, z) + zp(y, z). (15.6)

t

Заметим, что выражение (15.6) является уравнением смещенного плоского сечения.

С другой стороны, как видно из рис. 15.4, б, б, геометрически урав­нением этого смещенного сечения является известное выражение

z(y. z) = z{] + cYz + czy, (15.7)

где 80 - продольная относительная деформация по нейтральной оси; cY = tg (р - кривизна оси единичной длины балки относительно оси У; су = tg у - кривизна оси единичной длины балки относительно оси Z.

Значение кривизны су или су принимается положительным, если центр кривизны расположен в отрицательных направлениях осей Z и У соответственно.

Уравнения (15.6) и (15.7) описывают одну и ту же плоскость, поэто­му приравняем их правые части и решим полученное выражение отно­сительно а {у, z):

а(г/, г) = Е^г{) +cYz + czy-zT (у, z)-zp(y, z)J. (15.8)

Поскольку выделенный участок балки должен находиться в равно­весии, то должны выполняться условия равновесия

jcr(/y, z)(IF - N

r

ja(/y, z)zdF = My r

fa(/A z)ydF = My

F

Подставляя выражение (15.8) в (15.9), получим три совместных урав­нения относительно трех неизвестных величин 80, су и су, которые назы­вают характерными деформациями сечения балки.

Решая эти уравнения, учтем, что интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения балки. Так как координатные оси являются главными осями поперечного сечения, то статические и цен­тробежный моменты равны нулю:

ydF = 0; Jzr/F = 0; jyzdF = 0.

F F F

Другие интегралы представляют собой:

JdF = F - площадь поперечного сечения;

F

jy2dF = JZ - момент инерции относительно оси Z,

F

Jz'dF = Jy - момент инерции относительно оси Y.

F

Учитывая эти выражения, получим формулы для определения ха­рактерных деформаций сечения балки:

e"=Jf(N + nT +N!')'

<^=ТГ{МУ+МУ+Му)’ НІ Z

где

E Jf.7 (y, z)dF = N1 - усилие, обусловленное неравномерным нагревом

/'

сечения выделенного участка балки;

Е (у, z)dF = Лт/' - усилие, обусловленное развитием продольных

г

пластических деформаций;

Е Js7 (y4z)zdF = Му - момент в плоскости X0Z, обусловленный нерав-

г

номерным нагревом сечения;

Е |єг (y, z)ydF = - момент в плоскости ХОУ, обусловленный нерав-

F

номерным нагревом сечения;

Е |є/; (y^z)zdF = М]у - момент в плоскости X0Z, обусловленный раз-

F /

витием продольных пластических деформаций;

Е fe>(y, z)ydF = M{> - момент в плоскости X0F, обусловленный раз-

/:

витием продольных пластических деформаций.

Полученные уравнения (15.10) являются универсальными в том смысле, что они справедливы для нагретых и не нагретых балок, рабо­тающих как в упругой, так и в упругопластической области. Но при этом, и это следует подчеркнуть, уравнения (15.10) справедливы, если извес­тна на любой определенный момент нагружения вся предыстория внеш­него и теплового нагружения, т. е. до этого момента прослеживалось развитие продольных упругих, температурных, пластических и действи­тельных деформаций во времени от начала нагружения во всех точках сечения выделенного участка балки.

С этой точки зрения оценим следующую ситуацию: балка была под­вергнута внешнему и тепловому нагружению, прослеживалась история нагружения, и в какой-то момент времени балка остыла, а внешнее на­гружение сняли, т. е.:

N = 0; М7 = 0; Му = 0; N1 = 0; М| = 0; М = 0.

I'ep(i/.z)dF

N1’ I _Дг.

EF

здесь Дг; = Je/# (г/,^)^//7 - величина объемного изменения металла, обус­ловленного пластическим деформированием металла в продольном на­правлении, на единицу длины балки, см2. В сварочной практике эту ве­личину объемного изменения металла называют объемом продольных пластических деформаций, а в случае полного охлаждения - объемом остаточных продольных пластических деформаций, а в зависимости от знака величины объемного изменения: минус - объемом продольного укорочения, плюс - объемом продольного удлинения; 2 , уг - координа­ты центра тяжести объема Дг, см (рис. 15.5, г, где, например, заштрихо­ванная часть сечения балки - зона остаточных пластических деформа­ций):

^zp(y, z)zdF zp{y, z)dF

F

js/; (y, z)ydF jV; (y, z)dF

F

Если положить, что объемные изменения по длине балки одинако­вы и координаты центров тяжестей этих объемов в любом сечении бал­ки неизменны, то 4(М

Соответственно:

/.

AV7 = |дг(л-)с/л - = Дг L, (15.13)

О

где AV- величина объемного изменения металла, обусловленная плас­тическим деформированием в продольном направлении на всю длину балки, см5; L - длина балки, см.

Значения кривизны в любом сечении по длине балки также одинаковы:

Су (х) = су; с z (х) = с z. (15.14)

Зависимости (15.11) представлены в форме, аналогичной той, кото­рая дается в курсе «Сопротивление материалов» для балок, подвергае­мых внецентренному сжатию или растяжению. Действительно, умно­жая числители и знаменатели правых частей формул (15.11) на модуль нормальной упругости, получим

где Nr = EAz Величина Np характеризует величину усилия, которое, будучи приложено в центре тяжести объема Дг, вызывает те же пара­метры деформации сечения, что и изменение объема металла, приходя­щееся на единицу длины балки. Такое написание формул для опреде­ления характерных деформаций сечения балки позволяет свести определение деформаций балочных конструкций, обусловленных объемными изменениями металла, к решению задач об изгибе бруса.

Для определения перемещений точек оси балки имеем известные из сопротивления материалов дифференциальные зависимости

(1ых

(lx d. x2 ’ dx2

где м и у, и у - продольные и поперечные перемещения точек оси балки.

Интегрируя первое уравнение от 0 до L, находим изменение длины балки по ее центральной оси:

L

М(1 = кх (/-) =

о

Подставляя значение є() из (15.11), с учетом (15.13) имеем

л г AV'

^о=-у - (15.17)

Интегрируя второе и третье уравнения (15.16) в пределах от 0 до я, находим углы поворота текущего сечения х:

фу = ~ГГ = jcY(lx + Фу (0)-

Интегрируя (15.18) еще раз от 0 до л получим уравнение изогнутой продольной оси балки

.V V

и'Лх)- J |( 5 ’ dxdx + лчру (0) + и у (0);

о о

.1' Л'

Uy (яг) = J jczdxdx + дчр7(0) + иу (0).

0 0

Постоянные интегрирования ф}(0), ф.,(0) и иу(0), uY(0) характери­зуют углы поворота и перемещений оси балки в нулевом сечении (я* = 0).

При сделанном ранее предположении, что объемные изменения по­стоянны по длине балки (15.12)-(15.14), эпюры кривизны су и ^пред­ставляют собой прямоугольники (эпюра кривизны су представлена на рис. 15.6, а).

Аналогично:

Фг =cyL. (15.22).

Подставив значение с, и су из (15.11) и учитывая (15.13), получим

АН

Фг =~Гг<л

JY

AV

Jz

Изгибающий момент в сечении х, определяющий прогиб балки иу(х) в этом сечении (рис. 15.6, в):

иЛХ) = RAX - C)-v| = C~y(L -

Отсюда максимальный прогиб в среднем сечении балки (стрелка прогиба)

(15.24)

(15.25)

Учитывая разобщенность полученных в настоящем подразделе ос­новных формул, связывающих объемные изменения металла с дефор­мациями и перемещениями точек балочной конструкции, приведем их в компактном виде:

т

(15.26)

В дальнейшем формулы (15.26) будут использованы для расчетной оценки остаточных геометрических искажений сварных конструкций балочного типа. Следует также заметить, что полученные формулы мо­гут быть расчетными и в случаях, когда объемные изменения обуслов­лены и другими причинами. 4

Определение же объемных изменений А г и А V в процессе сварочно­го нагрева и охлаждения является специфической сварочной задачей, рассматриваемой в следующих разделах.