Одномерная теплопередача в плоском теле (рис. 11.15) описывается с уравнени­ем нестационарной теплопроводности

дТ др г дТ

Здесь а — коэффициент температуропроводности.

Сопротивление теплопередаче через охлаждаемую поверхность указанного тела определяется уравнением

дТ

*'-ХдХ

<7"= ~Xj = а(Г0 - TF) Рис. 11.15. Модель охлаждения экструдата: 1 — толщина слоя, затвердевшего к моменту времени «р 2 — сопротивление теплопередаче; Г— температура; Тм — температу­ра расплава в момент времени t0 = 0; TF — температура охладителя; Т0 — темпе­ратура поверхности; ТЕ — температура затвердевания; р — плотность; ср — удель­ная теплоемкость; X — теплопроводность; а — коэффициент теплоотдачи; q" — тепловой поток через поверхность

При этом принимаются допущения;

• температура не зависит от теплофизических свойств материала (>., р, ср);

• геометрия профиля и его размеры постоянны (усадка не учитывается);

• граничные условия постоянны (a, TF)

• равномерное распределение начальной температуры (в момент времени t = 0 температура в любой точке равна тмУ

Аналитическое решение уравнения (11.2) приведено в работе [24];

5 + sin5 cos5 При этом 5 можно определить методом итераций из следующего выражения: 5 = - jjp - ctg(8); 0<8<у. (11.46) Безразмерный комплекс в уравнении (11.46) — - Ri X (11.5) представляет собой критерий Био, который может интерпретироваться как соотно­шение между внутренним (D/X) и внешним (1/а) сопротивлением теплопередаче. Безразмерный комплекс в уравнении (11.4а) а t k't

T(x, t) - TF ТМ-Тр

2sin8

-S--TT ■ е D1

(11.4а)

■ cos

представляет собой число Фурье, которое может интерпретироваться как безразмер­ное время охлаждения.

Безразмерный комплекс в уравнении (11 Ла)

T(x, t)-TF

(11.7)

©(*, t)

LM lF

называется степенью охлаждения.

Анализируя изменение степени охлаждения во времени для любой точки плоско­го тела, можно заметить, что в начальный момент (£0 = 0) Т= Тм и, следовательно, © = 1; для продолжительного времени охлаждения (Т= TF) © —> 0.

Задавая желаемую степень охлаждения затвердевшего слоя

(11.8)

©с

T(x, t)~TF

тм-тР

и предполагаемую толщину затвердевшего слоя уравнением

dE = D-xE, (11.9)

можно использовать уравнения (11.5) и (11.7) для решения уравнения (11.4) относи­тельно безразмерного времени охлаждения:

5 + sin(5) • cos(5)

D

2sin(8) • cos

Fo£ = - In

©,

(11.10a)

82

D

При этом

5 = Bi ■ ctg(5), 0<5<y. (11.106)

В работах [21-23] применены различные методы упрощения уравнения (11.10), а такжедается их сравнительный анализ. Эти методы основаны на экспериментальных данных.

Процедура, описанная в работе [22], дает наилучшие результаты для расчета сис­темы охлаждения экструдированных труб. Результаты ее использования приведены на рис. 11.16. Безразмерное время охлаждения Fo£ можно получить из предваритель­но определенной толщины отвердевшего слоя и степени охлаждения.

Далее полученное значение можно использовать для вычисления длины калибру­ющего участка при известной линейной скорости отвода профиля аЬ и коэффициен­те температуропроводности материала экструдата а.

Г)2

° vab' dl-»)

Le= Fo£

Для простоты предполагаем, что между экструдатом и охлаждающей средой име­ет место идеальный термический контакт, что подразумевает Bi -> ос, 5 = п / 2.

Соотношения между толщиной стенок экструдата D, толщиной затвердевшего слоя dE, относительной интенсивностью охлаждения Bi или величиной 5, описываемые,

Оценка длины участка калибрования [21, 22]: 1 — нагревающая/охлаждающая среда; 2 — калибрующая гильза; 3 — профиль; 4 — затвердевший слой

О 0,05 0,1 0,15 0,2 а • tE Число Фурье Fof=-^—

I

с; х ь - о

Рис. 11.16.

соответственно, уравнением (11Л 0) и требуемым безразмерным временем охлажде­ния Fot. [26], полезны для перенесения характеристик удачно сконструированного калибратора к новому калибратору с другими размерами. Допущения, сделанные для аналитического решения уравнений (11.2) и (11.3), позволяют в общем случае осу­ществить лишь грубую оценку изменений температуры в калибраторе. Здесь следует упомянуть следующие три важные момента:

• при наружном калибровании вакуумом между профилем и поверхностью ка­либратора образуется зазор в результате радиальной усадки материала при его охлаждении. Этот зазор будет действовать как термоизоляция сам или может быть заполнен охлаждающей водой (если охлаждающая гильза калибратора со стороны охлаждающей ванны открыта для доступа воды). Это, естественно, су­щественно влияет на теплоотдачу к поверхности экструдата; причем предполо­жение о постоянстве термического сопротивления становится некорректным;

• допущение о неизменности теплофизических характеристик материала также представляется спорным, так как в затвердевшем слое материал претерпевает фа­зовые изменения (особенно это относится к полукристаллическим полимерам);

• во многих случаях, особенно при экструзии профилей, процесс теплопередачи нельзя рассматривать как одномерный. В таких случаях необходимо приме­нять методы расчета, предполагающие двухмерную тепловую модель как для экструдата, так и для калибратора.