Рекуперативные теплообменные аппараты пред­ставляют собой систему, в которой перенос энергии (тепла) от одного теплоносителя к другому осуществляется при их посто­янном взаимодействии через разделительные стенки. Универ­сальную математическую модель такого аппарата при лами­нарном режиме течения обоих теплоносителей запишем в риде системы уравнений — переноса количества движения, сплош­ности, переноса энергии (тепла) и переноса тепла в твердом теле:

TOC o "1-5" h z Л»!- дР, / 1

Р»-ЗГ = ~-й7 + 1Ч [у^|*+з4у»|) + р|£„

<ко, дР, ( 1

Р1 "2Г = — !£■ + и +-3 «Иув»!] + Р1&,

СЬ>,, дР, I т

91~ЗГ =------- еГ + ^1 (у2“*!* + у Луи»!] + Р]£г. (1.9)

1 <IР, дш1х диа1и ди>1г

Р1 ' дх ' ду дг ’

Дш2х дР2 / 1.

Рг-^т- = —17 + + у с11Уаи2] + №х,

ДР2 [ I.

Р*-а? = —а£ + № [ч^ау + у + ?2Яв,

Йи2, дР2 / I

Рг~£Г = — -%■ + Иг (У2^2г + у <11V ш2] + Ыг>

= 0;

1 <*Р2 . &>2х ^2у. ^гг

Р2 а* ' дх ' ду ' дг

TOC o "1-5" h z. _ д11 , . Га(сР1Р|®1*) , Чср^х^у) , ^Р,®,*)] , срР1 *- + и [ Тх + Ту + Тг ] +

Г дл д/. 3<,1 а Эм зг, й &1.

+ ср1?1^х-¥х+ш1уТу +и>ч-д-г = д;11Тх + Ту Ту + ^'д!1

. . д12 , , (д{Ср2?2™2х) , НСр2^2и) , д (СР2?Р>2г)] ,

СР2?2 Тх + (2 [--------- Гх------ + -------- Ту------- + --------- Тг------ ] +

Г д*2 , д{2 , Й<2] д &2 д д12 ,д. Щ

+ СР2Р2 [и>2х Тх + ^Ту + а>2гТг - Тх12Тх + Ту12Ту + ТгХ2 д!' дв __ д. Э0 д дв д дв СртРт дг дх ^ дх'ду т ду ' дг 7 дг'

Здесь Ри Р2 — давление в каналах первого и второго теплоноси­телей; иих, Х2)у, тг — проекции вектора скорости потока первого и второго теплоносителей (обозначены индексами 1, 2); /1, /2 — температура в каналах первого и второго теплоносителей;^, цу, gг—проекции ускорения свободного падения тепла; 6 — темпера­тура разделительной стенки; р1, р2, рт— плотность первого и вто­рого теплоносителей и разделительной стенки соответственно; ср 1, сР2, сщ — удельные теплоемкости первого, второго теплоноси­телей и разделительной стенки соответственно; Х|, л2, Хт— коэф­фициенты теплопроводности первого, второго теплоносителей и разделительной стенки; щ, р.2— динамическая вязкость пер­вого и второго теплоносителей.

Плотности теплоносителей обычно существенно зависят от давления и температуры, поэтому к системе уравнений (1.9) необходимо присоединить уравнения состояния теплоносителей

Р1*=/(Р|, *0; Р2 = /(Ра, /а). (1-10)

Таким образом находим систему тринадцати уравнений с тринад­цатью неизвестными: шц, и>и, хи2х, и>2у, ш2г, t, 72, 9, Р, Рг, Рь Р2*

Для получения единственного решения необходимо к систе­ме (1.9) — (1.10) присоединить краевые условия. Однако реше­ние задачи об определении распределения скоростей, давлений и температур в теплоносителях и температуры в твердом теле даже для простейшего теплообменного аппарата в форме пря­моугольных каналов в случае ламинарного режима течения теплоносителей сопряжено со значительными техническими и математическими, трудностями.

Вместе с тем, создавая теплообменные аппараты, мы стре­мимся к компактным конструктивным решениям. Ясно, что компактность теплообменного аппарата требует максимальной интенсификации процессов энергопереноса от одного теплоноси­теля к твердому телу и от твердого тела к другому теплоно­сителю. Ввиду того что интенсификация процессов энерго­обмена связана с турбулизацией течений, уравнения Навье — Стокса должны быть записаны для турбулентного потока [51}

Благодаря развитию за последнее десятилетие теории погра­ничного слоя н турбулентного переноса открываются широкие возможности построения универсальных математических моде­лей рекуперативных теплообменных аппаратов. Однако и се­годня решение сопряженных задач, к которым относятся и названные модели, связано с преодолением принципиальных математических трудностей. Поэтому современные подходы к созданию математических моделей теплообменных аппаратов базируются на расчленении задач течения и переноса энергии (тепла).

Разрывая связь между влиянием сил вязкости на распреде­ление скоростей в потоке (и прежде всего в пограничном слое) и на теплообмен между теплоносителем и твердым телом, мы вводим некоторый коэффициент, определяющий условие равен­ства потока тепла, отданного движущимся теплоносителем и воспринятого твердым телом. Указанный коэффициент назы­вается коэффициентом теплоотдачи. Он определяет значение теплового потока от теплоносителя к твердому телу (или на­оборот), отпссснногок единице поверхности, при разности между температурой поверхности твердого тела и некоторой характер­ной температурой набегающего потока в один градус.

Таким образом, сложность теоретических и технических про­блем совместного решения системы уравнений (1.9) — (1.10) заменяется проблемами отыскания эмпирических связей ко­эффициента теплоотдачи в каналах различной геометрии при разных фазовых состояниях теплоносителей с определяющими параметрами (критериями) в форме корреляционно-статических уравнений множественной регрессии. Последнее означает, что при изменении формы каналов теплообмениого аппарата, введе­нии турбулизаторов потока различного типа, а также при раз­личных фазовых состояниях теплоносителя мы всякий раз па основании обработки специально организованного эксперимента определяем уравнения параметра состояния, т. е. коэффициента теплоотдачи, обычно в форме N11=/ (1?е, Рг, ...).

Отмеченное обстоятельство привело к развитию эксперимен­тальных методов исследования механизмов теплопереноса, когда все проблемы сложных процессов течения и энергообмепа изу­чались па основе методов физического моделирования и обоб­щались эмпирическими уравнениями теплообмена. В некоторых сравнительно простых схемах течения, решая уравнения погра­ничного слоя, получают зависимости коэффициента теплоотдачи от определяющих переменных и теоретически. В таком случае обычно полагают, что условия на стенке (твердом теле) заданы и постоянны.

Введя понятие коэффициента теплоотдачи и установив таким образом условия теплового взаимодействия потоков теплоноси­телей и твердого тела, а также приняв распределение скоростей, полученное в результате решения задачи течения для случая И
неизменности теплофизических характеристик сРі, рі, ср2 рг и установившегося режима течения в канале, математическую модель переноса тепла в рекуперативном теплообменном аппара­те получим в виде системы уравнений энергии:

Дх дх' ду ду ' дг дг'

(1.11)

Д, дІ2 . д. й2 , а. д(2.

Дх 2 дх^ ду 2 ду ' дг дг'

(1.12)

(1.13)

Здесь и>х, ха1у, хюи, Щг — проекции вектора скорости

Одного и второго теплоносителей, полученные в результате реше­ния гидродинамической задачи или экспериментально.

Для решения задачи о распределении температур в потоках теплоносителей и разделительной стенке к системе уравнений (1.11) — (1-13) необходимо присоединить краевые условия.

Т — д 90 _і_ д 02. Сртрт ^ — дх Ь-т дх + ду ду-

[і2(х, т)— т)1; (1.15)

(1.16)

І{х, 0) = і4 (я); Ь{х, 0) = £(*); 0(л:, у, 0) = й{х, у). (1.19) Дв (х, у/,, т) <*г(х, - с) [^2 (>с, *)— впг(х, *)1 = Хт--- ^----- : (1.18)

Присоединим к системе уравнений (1.14) — (1.16) краевые условия, которые определяют тепловое взаимодействие пото­ков с твердым телом, а также начальное распределение темпе­ратур в потоках и твердом теле: Такие модели переноса тепла применимы для анализа рабо­ты рекуперативных теплообменных аппаратов, в которых необ­ходимо учитывать временное запаздывание в изменении

В большинстве современных рекуперативных теплообменных аппаратов течение в каналах может рассматриваться как одно­мерное, поэтому математическая модель переноса тепла прини­мает вид
температуры второго теплоносителя вследствие тепловой емко­сти разделительных стенок. Это особенно важно при изучении динамики переходных процессов работы теплообменных аппара­тов и разработке систем автоматического управления теплоис­пользующим оборудованием.

Если пренебречь количеством тепла, заключенным в разде­лительных стенках, и его изменениями в нестационарных процес­сах, то энергетическую модель рекуперативного теплообменного аппарата можно получить, введя понятие коэффициента тепло­передачи к. Известно, что коэффициент теплопередачи опреде­ляет условия равенства тепловых потоков между двумя тепло­носителями с учетом термического сопротивления разделяющих их стенок и коэффициентов теплоотдачи на поверхностях твердо­го тела, взаимодействующего с потоками теплоносителей.

В этом случае математическая модель переноса тепла в ре­куперативном теплообменном аппарате при одномерном тече­нии теплоносителей будет описываться уравнениями энергии

Cp.Pi {х) ib (х, - о-м*. 01; (1-20)

СРт [^2 + w2x Щ = k (х^{*{х) [<, (X, x)-i2(x, Т)|. (1.21)

При. начальных условиях t(x, 0) = А (х) (1.22); t2(x, 0) = = В{х) (1.23). Решение системы уравнений (1.20) — (1.21) при начальных условиях (1.22), (1.23) может быть получено на циф­ровых ЭВМ и на аналоговых вычислительных машинах (АВМ).

Поскольку современные рекуперативные теплообменные ап­параты представляют собой структуры со сложными течениями одного теплоносителя относительно другого, модели типа (1.14) —

(1.19) , (1.20) — (1.23) могут быть использованы как модели мо­дульных элементов. Детально вопросы применения машинных методов расчета рассмотрены в гл. 5.