Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны. .Капиллярные вол­ны. Дунали. Внутренние волны. Акустические волны большой алплитубы. Линейный и нелинейный режилы распространения. Уебиненные волны (солитоны).

Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны. Многие из нас могут долго любоваться поверхностью моря или реки, по которой перекатываются волны. Рожден­ные ветром, они распространяются затем за счет силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Частицы воды совершают в них движение по круговым и эллиптическим траекториям («вверх-вниз» и «вперед-назад» одновременно), поэтому такие волны (как и волны Лява) нельзя отнести ни к продольным, ни к поперечным. Гравитационные волны обладают рядом удивительных свойств, к ана­лизу которых мы и приступим.

Пусть по поверхности водоема глу­биной H распространяется вдоль оси Ox поверхностная гармоническая волна

s(x, г) = s0 sin(wt - kx) , (6.1)

где s — смещение поверхности воды вверх от равновесного горизонтального положе­ния, отмеченного на рис. 6.1 пунктиром. Будем считать, что | s |<< H.

Предположим, что давление жидкости на глубине z равно:

р( z, x, t) = pgz + 5p(z, x, t), (6.2)

где 5p — добавка к гидростатическому давлению pgz, обусловленная волновым дви­жением поверхности. Сделаем также предположение, что

5p(z, x,t) = f (z)pgs(x, t). (6.3)

Выражение (6.3) записано в приближении, что возмущение давления вблизи по­верхности (z ® 0) определяется дополнительным гидростатическим давлением pgs, связанным с изменением уровня жидкости при распространении волны:

5p(0, x, t) = pgs( x, t), (6.4)

причем с глубиной это возмущение должно убывать. Следовательно, функция f(z) с ростом z также должна убывать, при этом f(0) = 1 . Позже мы докажем, что представле­ние возмущения давления в виде (6.3) оправданно.

Для описания волнового движения жидкости нам необходимо, во-первых, для заданной частоты w найти k, то есть установить дисперсионную зависимость w = w(k) и, во-вторых, определить вид функции f(z) . Это можно сделать, если с учетом (6.2) записать уравнения Эйлера для движения несжимаемой и невязкой жидкости в плоско­сти XOZ (см. уравнение (3.30) в лекции по гидродинамике):

Эф ; Эх ; Э5р Эг

Эг

Эг

(6.5)

) v _ Э v _ Э v. — + v х—- + v.—. Эг Эх Эг V /

^Эух Эух Эу 4 + v х —- + у.

Эх

При записи (6.5) мы предполагаем, что движение частиц по оси Oy отсутствует.

Эух Эх

Эу. z "ЭТ Эух Эг Эу. Эг '

(6.6)

Учтем далее, что членами vx пренебречь. Тогда получаем

Э v. Эу. ух —и v. —— в силу их малости можно

Эх Эф. Эх ; Э5р Эг

Эг

Эти уравнения дополним условием несжимаемости:

Эух Эу. , „

—- + —- = 0. (6.7)

Эх Эг

Уравнения (6.6) и (6.7) при заданных граничных условиях дают возможность рассчитать vz, ух и dp и, тем самым, получить решение задачи о движении жидкости, включая движение ее поверхности.

Продифференцируем первое из уравнений (6.6) по х, а второе — по z:

Э Эух = Э dp ръг ~ = “1^; Э2 dp р

(6.8)

Эух + Эу- Эх Эг

(6.9)

= 0.

Эг

Эг Эх Э Эуz Эг Эг Эг2 В левых частях этой системы уравнений изменен порядок дифференцирования. Сложим теперь уравнения (6.8). Тогда с учетом (6.7) можем записать: 22

ХЭ2dp + Э2dp 4

Эх2

р

Уравнение

Э2dp Э2dp „ - + Т - = 0

2 2 - (6.10) Эх Эг

является знаменитым уравнением Лапласа, используемым во многих разделах физики. Поэтому его решение хорошо известно.

На поверхности водоема при z = 0 граничным условием является равенство (6.4), а на дне при z = H должно выполняться условие у. = 0 , из которого с учетом второго уравнения (6.6) получаем:

= 0.

Эг z— н 2

■ = - к 2 dp.

Подставим далее (6.3) в (6.10) и учтем, что

Э 2 dp

(6.12)

Тогда (6.10) примет вид:

ТГ - к[2]f = 0.

dz

С методом решения таких уравнений мы познакомились в лекциях по колебаниям. Используя подстановку f (z) = Ae12, получаем характеристическое уравнение I2 - к2 = 0 , откуда 112 = ±к, и общее решение (6.12) может быть записано в виде функции:

(6.13) (6.14) (6.15) (6.16)

f (z) = Aekz + Be-kz, при этом граничные условия для f (z) следующие:

= 0.

f (0) = 1; f

dz

Подставляя (6.13) в (6.14), получаем:

A + B = 1;

AekH - Be-kH = 0.

Отсюда

f (z) =

ch[k (z - H)] ch(kH) !

где функция cha = -^(e + e ) — гиперболический косинус. График функции f(z) изображен на fz) рис. 6.2. Теперь осталось только определить волновое число k, входящее в (6.1) и (6.3). Это можно сделать, если сначала из (6.1) найти вертикальное ускорение частицы на поверх- ности жидкости. При этом надо учесть, что положительные значения vz соответствуют уменьшению s:

1

(6.17) Подставим (6.17) в левую часть второго уравнения (6.6), а правую часть этого уравнения запишем, используя представление (6.3). Тогда получим

Рис. 6.2.

Э2 s

Э

=-------------- 7Т = s0 w sin(wt - kx) = w s(x, t) . Эt Эt2

В (6.18) учтено, что (cha/ = sha, tha = sha / cha. Поэтому дисперсионное соотношение получается в виде:

1/2

th(kH) kH

w = V gH • k • Обозначим c0 = yjgH. Тогда

(6.19)

1/2

th(kH) kH )

(6.20)

w = c,

0

с

H 1 Рис. 6.3.

H-| Рис. 6.4.

k

k

0

0

На рис. 6.3 эта зависимость изображена сплошной линией, а пунктиром пока­зана прямая w= c0 к. Фазовая скорость волны c = w / к как функция волнового числа показана на рис. 6.4.

Таким образом, поверхностные гравитационные волны подвержены сильной дис­персии. Эффект дисперсии ярко выражен у океанских волн, зарождающихся в удален­ных штормовых районах. Поскольку длинные волны (с меньшим к) движутся быстрее, чем короткие, то они приходят к берегам раньше коротких на 1-2 дня.

Эффект дисперсии может использоваться при определении места возникнове­ния волн, прошедших до точки наблюдения чрезвычайно большие расстояния. Рассто­яние от штормового района до места, где волны фиксируют, подсчитывается по разно­сти времен прибытия волн разной длины волны и, следовательно, разной частоты. Пре­обладающая частота прибывающих волн растет во времени, а длина пройденного пути находится по скорости изменения частоты. Так, по оценке, один из пакетов волн, на­блюдавшихся в северной части Тихого океана, прошел половину окружности земного шара от Индийского океана по дуге большого круга, проходящей южнее Австралии.

Реальные волны, как уже говорилось раньше, представляют собой суперпозицию волн, или волновые пакеты, которые движутся с групповой скоростью u = dw / dk. Скорость и группы меньше, чем скорости c = w / к каждой из волн в группе. Если рассматривать от­дельную волну, то можно видеть, что она перемещается быстрее, чем группа. При достиже­нии фронта группы она затухает, а ее место занимают волны, догоняющие группу с тыла.

Фазовая скорость волны с, как следует из (6.20), зависит от параметра кН = 2яН /1. Поэтому различают волны глубокой и мелкой воды.

Волны глубокой воды. Если кН >> 1 (Н >> 1), то такие волны называют вол­нами глубокой воды. Возмущения 5р сосредоточены в приповерхностном слое толщи­ной ~ 1 и не «чувствуют» присутствия дна. Для таких волн, с учетом приближения Л(кН) » 1, дисперсионное соотношение (6.19) примет вид:

(6.21)

Таким образом, эти волны обладают сильной дисперсией.

Сделаем некоторые оценки. В океане преобладают волны с периодом колеба­ний T ~ 10 с. Согласно (6.21) длина волны 1 = 2я/к ~ 150 м, а фазовая скорость с ~ 15 м/с. Такая скорость является типичной, так как она совпадает с характерной ско­ростью ветра вблизи поверхности, генерирующего волны глубокой воды.

Если проанализировать распределение возмущений давления с глубиной, описывае­мое функцией f (z) (см. (6.16)), то можно показать, что f = e-1 при z = 1 /6 = 25 м. Таким образом, приближение глубокой воды справедливо в тех местах, где глубина H > 25 м.

Волны мелкой воды. При приближении к берегу глубина H уменьшается, и реализуется условие kH < 1 (2pH < 1). Хотя частота волны остается прежней, однако дисперсионное соотношение примет иной вид:

(6.22)

из которого следует, что на мелкой воде дисперсия волн отсутствует. Скорость волн

уменьшается с глубиной, и на глубине H = 1 м скорость с0 ~ 3 м/с, а длина

волны при T ~ 10 с равна 1 = c0T ~ 30 м.

В непосредственной близости к берегу, где глубина H сравнима с амплитудой волны s0 , волна искажается — появляются крутые гребни, которые движутся быстрее самой волны и затем опрокидываются. Это происходит потому, что глубина под гребнем равна H + s0 и превосходит глубину под впадиной H - s0 . В результате колебания час­тиц волны приобретают сложный характер. По аналогии со звуками музыкальных инст­рументов, осциллограммы которых показаны в предыдущей лекции, можно сказать, что колебания частиц воды являются суперпозицией колебаний многих частот, причем по мере приближения к берегу ширина частотного спектра увеличивается. С подобным ис­кажением акустических волн мы встретимся несколько позднее, когда будем изучать не­линейное распространение волн конечной амплитуды.

Из приведенной выше классификации гравитационных волн следует, что для океана с глубиной H = 5 км волны глубокой воды должны иметь 1 < 2pH ~ 30 км. Со­гласно (6.21) их период колебаний T = 2p/w > 2 мин, а скорость c = 1/T < 250 м/с. Для континентального шельфа H ~ 50 м, поэтому волнами глубокой воды будут волны с 1 < 300 м, T < 15 с и с < 20 м/с.

С другой стороны, на глубине Н~5км волны с длинами волн 1 ^ 30 км будут волнами мелкой воды. Эти волны имеют период колебаний T > 2 мин, а их скорость с > 250 м/с. Такие волны двигаются со скоростью реактивного самолета и могут пере­сечь Атлантический океан примерно за 7 часов.

Эt Эx

Эt Эz dz

Характер движения частиц жидкости. Рассчитаем скорости частиц vx и vz, как функции координат x, z и времени t. Это легко сделать из уравнений (6.6) с учетом

(6.24)

Отсюда

Vx = f (z)g — s0 sin(— - kx), —

df g

vz =---------- s0 cos(— - kx).

dz —

На рис. 6.5 показаны векторы скорости частиц на глубине z и на поверхности в фиксированный момент времени. Пунктиром изображено положение волны через ма­лый промежуток времени. Под гребнем волны частицы имеют составляющую скорости vx > 0, а под впадиной vx < 0. Скорость некоторой частицы A направлена вниз, и с течением времени будет изменяться. Легко понять, что в последующий момент скорость частицы A будет такой, как у частицы B в настоящий момент, затем — как у частицы C в настоящий момент, и так далее. Поэтому траектория частицы A будет эллиптической. По мере увеличения координаты z (глубины погружения) vz ® 0 , эллипсы сплющива­ются, и при z > 1 частицы жидкости колеблются практически вдоль оси Ox.

Размер 1 большой полуоси эллипса можно оценить из условия

(6.25)

1 » Оx )max T = g - S0T.

w

Сравним 1 с длиной волны 1:

1

(6.26)

s0T

1 1 —

с0 s0

Учтем, что — / k = с, 1 = cT, c0 = л/ІЙ — скорость волн мелкой воды. Тогда

(6.27)

Для мелкой воды с = с0 , и

(6.28)

1 s0 л — = — << 1. 1 H

Поскольку в этом случае 1 ~ H, то 1 ~ s0 , т. е. возрастает с ростом амплитуды волны s0 . Но так как s0 << H, то амплитуда горизонтальных колебаний 1 << 1.

Частицы на поверхности глубокой жидкости движутся по траекториям, близ­ким к круговым. По таким же траекториям будет двигаться и плавающее на поверхности небольшое тело, например, притопленный поплавок.

Рис. 6.6.

До сих пор мы предполагали, что про­филь волны является синусоидальным, что воз­можно только в том случае, если амплитуда вол­ны очень мала по сравнению с ее длиной. В при­роде таким профилем реально обладают только приливные волны, длина которых чрезвычайно велика по сравнению с их высотой. Обычные вет­ровые волны имеют более сложный вид. Как по­казывают расчеты, частицы жидкости в них движутся по окружностям, радиус которых экспоненциально убывает с глубиной (см. рис. 6.6). Сплошными линиями на рисунке показаны линии равного давления, любая из которых может соответствовать поверхно­сти воды при определенной амплитуде волны. Эти линии являются трохоидами — тра­екториями точек, расположенных на радиусе между центром и ободом колеса, катяще-

1

гося под горизонтальной прямой, расположенной на высоте — над уровнем невозму-

2я

щенной поверхности воды. Поэтому такая волна называется трохоидальной и отличает­ся от синусоидальной гармонической волны, задаваемой формулой (6.1). Очень близки­ми к трохоидальным являются волны после наступления на море штиля. Это так называ­емая мертвая зыбь. В частном случае, когда радиус орбиты частицы, находящейся на

поверхности воды, равен —, профиль волны имеет вид циклоиды (верхняя кривая на

2я

рис. 6.6). Однако, опыт показывает, что циклоидальная форма поверхности воды может наблюдаться только у стоячих волн.

Опытным путем также установлено, что у бегущих трохоидальных волн угол между касательной к поверхности воды и горизонтом не превышает ~30°. Если угол ската у гребня волны превышает это значение, которое соответствует отношению амп-

S0 1

литуды трохоидальной волны к ее длине — » — » 0,08 , то волна теряет устойчивость.

1 4я

Это явление играет большую роль в процессе зарождения и развития волн, что можно заметить, наблюдая за ними в присутствии ветра. Высокие волны с острыми гребешка­ми не могут продолжать свой бег, так как их гребни опрокидываются и разрушаются, и волны уменьшаются по высоте.

Капиллярные волны. При анализе зависимости скорости от волнового числа, изображенной на рис. 6.4, возникает вопрос: до какой величины падает скорость с при увеличении волнового числа k (или уменьшении длины волны). Опыт показывает, что с уменьшением длины волны скорость достигает минимума, а затем начинает возрастать. Это связано с тем, что при малом радиусе R кривизны поверхности (R ~ 1) начинают

играть заметную роль силы поверхностного натяжения. Под их действием поверхность воды стремится уменьшить свою площадь. Ситуация напоминает рассмотренную ранее, в случае с натянутым резиновым шнуром. Такие волны называются капиллярными.

Если при увеличении натяжения шнура скорость распространения по нему волн возрастала, то при усилении роли поверхностного натяжения (уменьшении 1 ~ R) ско­рость капиллярных волн должна также увеличиваться. Известно, что давление под ис­кривленной цилиндрической поверхностью p ~ О, где О — коэффициент поверхност-

R

ного натяжения. Если приближенно считать, что 1 = 2pR, то по аналогии с формулой для скорости звука в газе (при g = 1) можно оценить фазовую скорость таких волн:

ск = — = JP = J°k. (6.29)

k VP VP

Расчет показывает, что формула (6.29) для капиллярных волн глубокой воды ока­зывается точной. Учет конечности глубины водоема дает для этих волн результат, анало­гичный полученному выше для гравитационных волн: в формуле (6.29) под корнем до­полнительно появляется множитель th(kH).

Капиллярные волны также испытывают дисперсию, однако, в отличие от грави­тационных, их фазовая скорость возрастает с увеличением волнового числа k, т. е. с умень­шением 1 . Полезно записать дисперсионное соотношение (6.29) в виде:

—2 =О k3. (6.30)

P

Как следует из этого соотношения, групповая скорость ик капиллярных волн глу-

_ „ _ , d— 3 о, 3

бокой воды больше их фазовой скорости ск в полтора раза: икап = — = — —к =— скап,

dk 2 р 2

1 fg 1

тогда как для гравитационных волн (см. (6.21)) мгр = — = - jСгр, т. е. групповая скорость

вдвое меньше фазовой. Различие групповой и фазовой скоростей капиллярных волн хоро­шо заметно на поверхности воды при порывах ветра: видно, что мелкая рябь внутри груп­пы волн движется медленнее, чем весь волновой пакет.

Если бы мы с самого начала при рассмотрении поверхностных волн учли как действие силы тяжести, так и поверхностное натяжение, мы бы получили для волн глу­бокой воды одно дисперсионное соотношение, из которого формулы (6.21) и (6.30) по­лучились бы предельными переходами в области малых и больших k.

Для волновых чисел k >> H-1 мы можем объединить (6.21) и (6.30) следую­щим образом:

— = ygk + P k3. (6.31)

Отсюда скорость гравитационно-капиллярных волн глубокой воды получается равной

Для волновых чисел k << H-1 (волны мелкой воды) в соответствии с (6.22) ско­рость стремится к значению с0 = ^gH, а для произвольных значений k в соответствии с (6.20) можно записать выражение для скорости волн следующим образом:

О —; Р

(6.33)

th(kH).

Зависимость (6.33) скорости с от волнового числа k показана на рис. 6.7. Видно, что скорость достигает минимальной величины. В соответствии с (6.32) это происходит

при g^^Wr, откуда

, Следовательно,

fgp

' О

log - V2.

= 4 •

(6.34)

Для воды О = 0,073 Н/м, смин » 23,2 см/с ин = 2р/кмин » 1,73 см.

Рмс. 6.7.

Таким образом, на поверх­ности воды не могут существовать волны, распространяющиеся со ско­ростью меньше 23 см/с!

Капиллярные волны часто используются для определения ко­эффициента поверхностного натя­жения жидкостей.

Волны цунами. Кроме волн, генерируемых ветром, существуют очень длин­ные волны, возникающие во время подводных землетрясений, или моретрясений. Наи­более часто такие землетрясения происходят на дне Тихого океана, вдоль длинных це­пей Курильских и Японских островов. Громадные волны, возникающие при мощном толчке, имеют высоту s0 ~10 -15 м и 1 ~103 км. Достигая берега, они смывают не только города и деревни, но и растительность вместе с почвой. Большие бедствия они причиняют населению Японии, которое дало им название «цунами» (по-японски — «боль­шая волна в гавани»).

Интересны сведения о величинах деформаций дна океана во время землетрясе­ний. В 1922 году японские гидрографы сделали промеры глубин в заливе Сагами, недалеко от Токио, а через год — 1 сентября 1923 года — там произошло катастрофическое земле­трясение. Повторный промер глубин после землетрясения показал, что изменения рельефа дна произошли на площади около 150 км2, при этом одни части дна поднялись местами на 230 м, а другие опустились до 400 м. Поднявшаяся часть дна вытолкнула громадный объем воды, который по оценкам составил величину V ~ 23 км3. В результате такого толчка обра­зовался огромный водяной холм (уединенная волна), который при распространении вызвал подъем уровня воды у берегов Японии в разных местах от 3,3 до 10 м.

Внутренние гравитационные и иные волны. Наряду с поверхностными грави­тационными и капиллярными волнами в океане существует множество других видов волн, которые играют важную роль в динамике океана. Океан, в отличие от идеальной жидкости, стратифицирован — то есть его воды не являются однородными, а изменяются по плотно­сти с глубиной. Это распределение обусловлено потоками энергии (тепла) и вещества. В упрощенном виде океан можно представить состоящим из двух слоев воды: сверху лежит более легкая (теплая или менее соленая), снизу — более плотная (более соленая или холод­ная). Подобно тому как поверхностные волны существуют на границе вода-воздух, на гра­нице раздела вод разной плотности будут существовать внутренние гравитационные вол­ны. Амплитуда волн этого типа в океане может достигать сотни метров, длина волны — многих километров, но колебания водной поверхности при этом ничтожны. Внутренние волны проявляются на поверхности океана, воздействуя на характеристики поверхностных волн, перераспределяя поверхностно-активные вещества. По этим проявлениям они и мо­гут быть обнаружены на поверхности океана. Так как поверхностные гравитационно-ка­пиллярные волны и поверхностно-активные вещества сильно влияют на коэффициент от­ражения электромагнитных, в том числе световых волн, внутренние волны хорошо обнару­живаются дистанционными методами, например, они видны из космоса. Внутренние вол­ны по сравнению с обычными поверхностными гравитационными волнами обладают ря­дом удивительных свойств. Например, групповая скорость внутренних волн перпендику­лярна фазовой, угол отражения внутренних волн от откоса не равен углу падения.

При рассмотрении крупномасштабных явлений в Мировом океане необходимо учи­тывать эффекты вращения Земли, изменение глубины и наличие боковых границ. Сила Кориолиса является причиной возникновения инерционных, или гироскопических волн. Изменения потенциальной завихренности вследствие изменения географической широты и глубины океана обуславливают возникновение планетарных волн Россби. Боковые гра­ницы и изменение глубины на шельфе приводят к существованию нескольких типов бере­говых захваченных волн — шельфовых, краевых, Кельвина, топографических волн Россби.

Крупномасштабные волны типа волн Россби, Кельвина и др. оказывают суще­ственное влияние на термогидродинамику океана, взаимодействие атмосферы и океа­на, климат и погоду. Свойства многих из этих волн существенно отличаются от свойств поверхностных гравитационных волн. Например, волны Кельвина локализованы в уз­кой шельфовой зоне, распространяются в северном полушарии вдоль берега против часовой стрелки. Экваториальные волны Россби, имея пространственные масштабы в сотни километров, локализуются вдоль экватора и проявляются не в изменении уровня, а прежде всего в форме вихревых течений.

Распространение акустических волн конечной амплитуды. Если возмуще­ния плотности 6р и давления 6р в акустической волне не являются исчезающе малы­ми по сравнению с равновесными значениями р0 и р,, то говорят, что волна имеет ко­нечную амплитуду. Обычно такие волны обладают высокой интенсивностью, и для опи­
сания их распространения необходимо решать нелинейные уравнения гидродинамики. Анализом распространения волн конечной амплитуды занимается отдельная наука, на­зываемая нелинейной акустикой. В наших лекциях мы ограничимся лишь небольшим объемом сведений из нелинейной акустики.

Пусть в газе вдоль оси Ox распространяется мощная акустическая волна. Если пренебречь вязкостью газа, то одномерное движение частиц вдоль этой оси будет опи­сываться уравнением Эйлера и уравнением непрерывности:

(6.35)

Э v Э v Эр р"Э7+ р* "ЭХ = - эХ ’ Эр+^ (ру) = 0.

Эг Эх'

Сложность решения этой системы уравнений состоит в том, что в их левых ча­стях содержатся нелинейные члены. Обычно эту нелинейность называют кинематичес­кой нелинейностью. Поскольку уравнения (6.35) содержат три неизвестные функции р(х, t), рх, t) и v(х, t), то необходимо их дополнить третьим уравнением, связываю­щим р и р. Для газа оно, как уже отмечалось ранее, является уравнением адиабаты:

/ Т — I р 0 )' р = р0 + бр.

(6.36) (6.37)

Т

бр р0

(6.38)

р = ^(р) = р Представим р и р в виде: р = р + Ф; Затем подставим (6.37) в (6.36): р+Ф = Р 1 +

Полагая, что |5р/р0| < 1, разложим правую часть (6.38) в ряд:

2 "бр4 р 0

1 + gSR+g(g-1) р 0 2

р + §Р = р

(6.39)

+...

Пренебрегая членами, имеющими порядок малости (бр/р0)3 и выше, оконча­тельно запишем уравнение адиабаты в виде:

2 g - 1 (бр)[3]

(6.40)

р0

5р = С0бр + с0

Перейдем теперь к установлению основных закономерностей такого распрост­ранения. Для этого подставим (6.37) в уравнения (6.35). Тогда получим:

, ~ . dv, - . dv ddp

(Р0 + dP)^7 + (Р0 + Sp> — = -^-;

dt dx dx

ddp d„ Хч!_п (6.41)

"г— + — [(р0 + dp)v ] = 0.

dt dx

Чтобы помочь читателю преодолеть психологический барьер, связанный с ана­лизом системы нелинейных уравнений (6.40)-(6.41), мы покажем вначале, как из этих уравнений можно легко получить волновое уравнение, описывающее линейный режим распространения волн, изученный подробно ранее.

Линейный режим (| 5p |<< p0, | 5р |<< р0). Удержим в уравнениях (6.41) толь­ко линейные члены. Тогда получим

d v _ ddp

p0 "d7 = -~d7;

ddp dv, ч

-Т^ + Р^^- = 0; (6.42)

dt dx

5p = с02 8p.

Исключим две неизвестные функции, например, 5р и dp. Для этого продиффе­ренцируем первое уравнение по времени t, а второе — домножим на с0 и продифферен­цируем по координате х, а затем вычтем одно уравнение из другого. С учетом третьего уравнения члены, содержащие dp и dp, сократятся, и мы получим известное нам вол­новое уравнение

,2- = с0тг, (6.43)

d2v = 2 Э2^ dt2 = С° dx2

описывающее распространение без искажений вдоль оси Ox со скоростью с0 волны гидродинамической скорости.

Аналогичным образом можно получить волновые уравнения для возмущений давления dp и плотности dp. Не останавливаясь далее на решениях таких уравнений (мы это сделали детально в предыдущих лекциях) перейдем теперь к нелинейному ре­жиму распространения волн конечной амплитуды.

Нелинейный режим (| dp | < p 0, | dp | < р0). Вначале попытаемся качественно описать основные черты нелинейного распространения волн, не прибегая к математике. Наиболее просто это сделать, если обратиться к влиянию физической нелинейности (фор­мула 6.36). Если вспомнить, что скорость звука с = - Jdp/dp, то легко понять, что раз­личные части волны могут двигаться с разными скоростями.

На рис. 6.8 изображена зависимость (6.36) и для трех значений плотности p0 , pj и р2 проведены касательные к графику функции p = p(p), угловые коэффи­циенты которых равны квадрату скорости распространения волны. Из этого графи-

ка можно сделать качественный вывод о том, что чем выше плотность участка волны, тем боль­ше его скорость.

Рис. 6.8.

Если, например, гармоническая волна (волна плотности) распространяется вдоль оси Ox (рис. 6.9), то из-за различия скоростей ее разных частей она будет постепенно менять свою фор­му. На рисунке для простоты показаны лишь три

скорости cj = ^(dp/dp) , c0 = ^/(dp/dp) и

Фі Фо

c2 = >/(Ф/dp)| .

ip2

Как показывает опыт, распространение волны можно охарактеризовать тремя этапами.

На I этапе волна трансформируется в пилообразную, обладающую скачком плот­ности p (а также давленияp и скорости v). Эта пилообразная волна приобретает удар­ный фронт, ширина которого Дхф по мере распространения уменьшается и достигает величины порядка длины свободного пробега молекул газа.

На II этапе происходит нелинейное затухание волны даже при очень малой вяз­кости и теплопроводности среды. Этот, на первый взгляд, неожиданный эффект связан с переходом в тепло части кинетической энергии молекул, обладающих гидродинамичес­кими скоростями v. Эти молекулы под действием перепадов давления на длине свобод­ного пробега приобретают кинетическую энергию, которая затем переходит в тепло при неупругих столкновениях. Простейший расчет показывает, что энергия, перешедшая в тепло, будет существенно больше, чем на I этапе, когда на ширине Дхф происходили многочисленные столкновения. Естественно, что эта тепловая энергия заимствуется у распространяющейся волны.

III этап связан с возрастающим влиянием вязкости и теплопроводности, которые особенно сильны в областях больших перепадов скорости и температуры (вследствие ло­кального адиабатического нагрева или охлаждения при колебаниях газа). Резкие перепады скорости приводят к возрастанию сил вязкости, а перепады температуры на масштабах порядка длины волны влекут отток тепла из более нагретых областей в менее нагретые. Из - за этих причин часть энергии волны переходит в тепло, и ее амплитуда уменьшается. По­скольку поглощение звука пропорционально квадрату частоты, быстрее затухают волны высших частот, и волна трансформи­руется в гармоническую волну с ис­ходной (начальной) частотой.

Рассуждения, приведенные выше, носят качественный характер.

уг I этап * II этап —

Для количественного описания нели-

нейного распространения волн мы используем наиболее упрощенный подход к анализу системы нелинейных уравнений (6.40)-(6.41). Оговоримся сразу, что поскольку уравне­ния Эйлера описывают поведение невязкой среды, то мы сможем проанализировать рас­пространение волны лишь на первых двух этапах.

Перепишем уравнения в (6.41) в виде:

dv ddp dv dv dv

Р0 37 + ^_ = - dP^7-P0v -3--dP-v - з~, dt dx dt dx dx

ddp dv d. s, (6.44)

-^f + P 0^- = - V (v •dP),

dt dx dx

где все нелинейные члены, по порядку величины меньшие линейных, перенесены в пра­вые части уравнений.

С учетом малости нелинейных членов для этих уравнений в нелинейной акусти­ке разработаны приближенные методы решения, смысл которых состоит в получении значительно более простых уравнений, имеющих в ряде случаев несложные аналити­ческие решения. Одно из таких уравнений мы сейчас и получим, однако сделаем это предельно просто. Для этого, во-первых, мы ограничимся вначале лишь кинематичес­кой нелинейностью, а, во-вторых, будем предполагать, что между скоростью v и возму­щением 6р существует такая же связь, как и в линейном режиме:

dp dp v

-Є = — = — = —, (6.45)

p p0 c0

где e — относительная деформация элементарного объема газа (e < 0 при сжатии и e > 0 при разрежении). Эта связь позволяет нам ограничиться одним из двух уравнений гид­родинамики. Предпочтительнее, например, воспользоваться более простым уравнением непрерывности. При подстановке во второе уравнение (6.44) возмущения плотности dp, пропорционального, согласно (6.45), гидродинамической скорости v, получаем нелиней­ное уравнение:

dv dv dv

— + С0 ■— = -2v —. (6.46)

dt dx dx

Заметим, что в линейном режиме, когда правая часть уравнения равна нулю, его решением является любая функция вида:

v (x, t) = f (t - x / C0), (6.47)

описывающая бегущую со скоростью с0 без искажения вдоль оси Ox акустическую волну.

В нелинейном режиме ситуация усложняется. В самом деле, перепишем урав­нение (6.46) в виде

^ + (с0 + 2v) — = 0. (6.48)

dt dx

и зависит от гидродинамической скорости частиц.

Отсюда видно, что скорость участка волны равна

Для фрагмента гармони­ческой волны гидродинамической скорости, изображенного на рис. 6.10, это означает, что синусо­идальное распределение скорости вдоль оси Ox трансформируется в пилообразное. Следовательно, оба механизма нелинейности способ­ствуют трансформации гармони­ческой волны в пилообразную.

Если бы мы с самого на­чала учли действие обоих меха­низмов нелинейности, то из уравнений (6.44) и (6.40) мы бы получили уравнение

^-+ (с0 +pv)?- = 0, (6.50)

dt dx

где b = (у +1)/2 — нелинейный параметр, отражающий действие обоих механизмов нелинейности. Справедливости ради отметим, что формула (6.49) не является точной, поскольку в отсутствие физической нелинейности (у = 1) нелинейный параметр b = 1, и на самом деле с = с0 +v. Это связано с тем, что мы использовали связь в виде (6.45), которая для волн конечной амплитуды не является верной.

t-

По аналогии с (6.47) мы можем записать решение уравнения (6.50) в виде:

(6.51)

с0 +bv

Это решение описывает эволюцию простых (римановых) волн. Теперь не со­ставляет труда количественно описать трансформацию гармонической волны в пилооб­разную.

Пусть на входе в среду (при x = 0)

v(0, t) = f (t) = v0 sin wt. (6.52)

Тогда на расстоянии x

(6.53)

v = v0 sin

T + ~y x • v C0 L V u /J

b

w

/

Здесь t = t - x / c0 — так называемое локальное время, отсчитываемое наблюдателем, находящимся на расстоянии x от начала координат, от момента времени x/^.

Для построения графика зависимости (6.53) перепишем ее в явном виде

(6.54)

vx wt = arcsin

где

v0 1 нл

1 = 0_______

нл n

wv0b

характерное расстояние, на котором развивает­ся значительное нелинейное искажение волны. Это расстояние сокращается с ростом амплиту­ды v0 исходной волны и нелинейного парамет­ра.

V/Vo -1 Рис. 6.11.

На рис. 6.11 изображены распределения

ния давления (dp)0 акустическим законом Ома, то нелинейная длина будет обратно про­порциональна величине (dp)0 :

1 =-------------------------------------------------------- (6.57)

нл 2pbv(Sp)0

Следовательно, выражение для акустического числа Рейнольдса примет вид: Re = = 2p1 abv(dP)0 = D(dP)0 (6.58)

" Р с0

1 нл Р cl V

Здесь учтено, что в соответствии с формулой (5.21) 1 з = a-1 ~ v-2, D — константа, ха­рактеризующая нелинейные и вязкостные свойства среды.

В качестве примера выполним некоторые оценки, иллюстрирующие количествен­ные характеристики распространения звуковой волны в воде, где D = 300 (Пах)-1. При частоте ультразвука V = 1 МГц расстояние 1 з= 50 м, и условие Re > 10 выполняется, согласно (6.58), для волн с амплитудой звукового давления (dp)0 > 3 • 104 Па, или интен­сивностью

I > = 300 Вт/м2. (6.59)

2pc0

Соответствующий уровень звукового давления > 180 дБ. Для волн с такими интен­сивностями 1 нл < 1 з /10 = 5 м, поэтому уже на первых метрах своего распространения ультразвуковая волна будет превращаться в пилообразную, и затем при x > 1 нл начнется ее нелинейное затухание.

Как показывает анализ формулы (6.54) с учетом построения положения ударно­го фронта, изображенного на рис. 6.11, амплитуда пилообразной волны при Re >> 1 убы­вает с пройденным расстоянием x по закону

dp( x > f„) = (“0)

1 + x /1 нл

С помощью этой формулы сразу можно сделать важный вывод о том, что вели­чина dp не может превзойти некоторое предельное значение, как бы мы ни увеличивали амплитуду гармонической волны (dp)0 . Действительно, при увеличении (dp)0 величи­на 1 нл ~1/(dp)0 уменьшается, и dp стремится к dpmax. Величина dpmax может быть корректно подсчитана при одновременном учете линейного поглощения и нелинейного затухания (это выходит за рамки нашего курса) и оказывается равной

dp max = 4V e-' («-«I)

Оценим максимальное значение интенсивности Imax, которая может быть пере­дана в воде ультразвуковым лучом с частотой V = 1 МГ ц на расстояние x = 21 з = 100 м:

Imax = ^ = -8V2T Є-2 x /1 з = 1 Вт/м. (6.62)

2Pc0 pC0 D2

Таким образом, в условиях, наилучших для возбуждения мощных ультразвуко­вых волн в воде, на расстояние x = 100 м через площадь сечения 1 м2 можно передать энергию, достаточную лишь для свечения лампочки от карманного фонарика. Это ни в

какое сравнение не идет с той энергией, которую посылают ультразвуковые пушки, ис­пользуемые героями научно-фантастического романа Г. Адамова «Тайна двух океанов», где ультразвуковым лучом якобы повреждают корабли и ракеты.

В связи с вышеизложенным возникает естественный вопрос — а как же объяс­нить разрушающее действие взрывных ударных волн на большом расстоянии от места взрыва? Ответ на этот вопрос кроется в том, что взрывная ударная волна представляет собой одиночный импульс, и его амплитуда бр убывает с расстоянием х более медлен­но, чем у гармонической волны:

* х >1 ->=71+х^л)1^. (6.63)

При возрастании в эпицентре взрыва амплитуды импульса (бр)0 будет неогра­ниченно увеличиваться и величина бр, которая при большой мощности заряда окажет­ся достаточной для разрушения препятствия.

Надо отметить, что тем не менее нелинейное затухание не ограничивает широ­кое применение ультразвука в лабораторных условиях, поскольку 1 нл обычно сравнима с размерами лабораторных акустических систем или превосходит их.

До сих пор мы говорили о распространении только одной волны. Однако если распространяются, например, две волны с частотами w1 и w2 , то нелинейное взаимо­действие между ними приводит к появлению волн с другими частотами. Среди них вол­ны с кратными частотами и1ю1 и n2w2 (гармоники) и волны с комбинационными часто­тами n1w1 ± n2w2 (n и n2 — целые числа). В акустике, где дисперсия отсутствует, все эти волны движутся с одинаковой скоростью, поэтому они могут эффективно взаимо­действовать между собой, проходя большие расстояния.

Генерация гармоник и волн с комбинационными частотами имеет многочисленные при­менения. Проиллюстрируем сказанное на двух примерах.

1. При изучении упругих и прочностных свойств твердых материалов их обыч­но подвергают большим нагрузкам с помощью специальных прессов, развивающих дав­ления, близкие к пределам прочности этих материалов или превосходящие их, т. е. десят­ки тысяч атмосфер. Вместо этой громоздкой и дорогостоящей аппаратуры используют методы нелинейной акустики. Для этого к одному торцу образца исследуемого материа­ла приклеивают пьезоэлектрический излучатель мощной акустической волны частоты w. На другом конце образца помещают такой же пьезоэлектрический преобразователь (приемник звука), на выходе которого регистрируют и затем обрабатывают электричес­кий сигнал. Последний представляет собой суперпозицию колебаний на частотах w, 2w, 3w и т. д. Говорят, что сигнал состоит из основной, второй, третьей и т. д. гармоник. Сигнал на основной частоте несет информацию о линейном модуле Юнга, так как со­гласно закону Гука деформации пропорциональны приложенным напряжениям. В обла­сти больших напряжений вследствие пластичности и текучести материала связь дефор­маций и напряжений описывают с использованием нелинейных модулей. Информацию

о таких модулях несет уже амплитуда сигнала с частотой 2w (вторая гармоника), и т. д.

2. Другим ярким примером использования методов нелинейной акустики явля­ется генерация в воде узконаправленных пучков акустических волн с длиной 1. Это осу­ществляется с помощью так называемых параметрических антенн. При знакомстве с явлением дифракции волн мы отмечали, что угловая расходимость J звукового пучка тем меньше, чем больше размер 1 передающего излучателя (антенны). Проблему изго­товления огромных излучающих антенн с размерами в десятки метров можно обойти, используя нелинейное взаимодействие в воде двух параллельно распространяющихся мощных звуковых волн с близкими частотами w1 и w2 . Эти волны излучаются горизон­тально погруженным в воду одним пьезоизлучателем размером 1 ~ 10 см. Обе волны до их затухания пройдут расстояние L ~ 103 м. В этой протяженной области рождается волна низкой (разностной) частоты w = w2 - w1 , которая затухает гораздо слабее и мо­жет пройти очень большие расстояния. Таким образом, вытянутый объем воды с малым поперечным размером 1 и большим продольным размером L представляет собой гиган­тскую естественную антенну, излучающую звуковой пучок разностной частоты вдоль самой вытянутой антенны. Однако, расходимость J этого пучка уже будет задаваться выражением

J = (1 / L)1/2. (6.64)

При частоте V = w/2p ~1кГц, 1 ~1м и при L ~ 103 м получаем J ~ 3.10-2 рад = 1,8°. Такая чрезвычайно малая расходимость пучка разностной часто­ты позволяет с большой точностью проводить морские исследования: изучать рельеф дна, заниматься археологическими изысканиями в придонных слоях грунта, в заилен­ных озерах, обнаруживать скопления рыбы у поверхности и дна моря, на мелководье — там, где обычные гидролокаторы неэффективны, и т. д.

Уединенные волны (солитоны). В 1834 году шотландский инженер-корабле­строитель и ученый Дж. Рассел, наблюдая за движением баржи по каналу, которую та­щила пара лошадей, обратил внимание на удивительное явление. При внезапной оста­новке судна масса воды вокруг баржи в узком канале не остановилась, а собралась около носа судна, и затем оторвалась от него и в виде большого уединенного водного холма стала двигаться со скоростью около 8 миль в час. Удивительно, что форма холма в про­цессе его движения практически не менялась. Рассел назвал это движущееся по поверх­ности воды образование «great solitary wave», что в переводе означает «большая уеди­ненная волна».

Теоретическое объяснение уединенные волны получили впоследствии в рабо­тах французского ученого Ж. В. де Буссинеска и английского физика Дж. Рэлея. Они обосновали математически возможность существования уединенных волн в мелковод­ных каналах.

После смерти Рассела в 1895 году голландский физик Д. Кортевег и его ученик

Г. де Фрис вывели уравнение, описывающее уединенные волны. Это уравнение получи­ло название уравнения Кортевега-де Фриса (уравнение КДФ) и имеет вид

& т - + С Эг

=0

(6.65)

3 Э^ H2 Э3s 4 Эх 2H Эх 6 Эх3

Оно описывает распространение поверхностных гравитационных волн на мелкой воде. Здесь c0 = -J gH — скорость волн мелкой воды, H — глубина водоема. Отметим сразу, что по виду уравнение КДФ отличается от нелинейного уравнения (6.50) наличием до - H 2 Э3 s

полнительного члена-------------------- 3 , ответственного за дисперсию гравитационных волн (хотя

6 Эх3

и небольшую на мелкой воде).

Рассмотрим несколько подробнее влияние нелинейности и дисперсии на рас­пространение поверхностных гравитационных волн. По аналогии с нелинейными акус­тическими волнами сразу можем сказать, что скорость различных участков поверхност­ной волны будет различна:

3s 2H

1 + -

с = С0

(6.66)

Из-за различия скоростей (гребень волны движется быстрее впадины) происходит превращение гармонической волны в пилообразную. Крутой фронт под действием силы тяжести опрокидывается, и на поверхности воды появляются пенистые гребешки. Опроки­дывание фронта легко наблюдать при движении волны по мелководью вблизи берега (рис. 6.12). Однако в ряде случаев нелинейное искажение волны может компенсироваться

дисперсией. В самом деле, пи­лообразная волна представля­ет собой набор гармонических волн с разными частотами. Из - за дисперсии эти волны дви­жутся с разными скоростями, и поэтому пилообразный фрагмент волны, подобно им­пульсу, стремится расширить­ся. При определенной форме фрагмента оба конкурирую­щих механизма могут компен­сировать друг друга, и тогда по поверхности воды побежит ус­тойчивая структура в виде уединенной волны (солитона). Выясним некоторые свойства этой уединенной волны.

Предположим, что соли - тон имеет амплитуду ^ протя­женность вдоль оси Ox, равную 1, и представляет собой некоторый холмик, изображенный на рисун­ке 6.13. Оценим величины нели­нейного и дисперсионного членов в уравнении КДФ:

Э* 1

*0

Рис. 6.13.

(6.67)

2H * dx ~ Я*0 1 ’

H2 э3

6 dx

э 3 s dx 3

В (6.67) учтено, что на переднем и заднем фронтах холмика оба механизма будут компенсировать друг друга при условии 1 s0 H2 s0 0 — s0 H —3 » 0. H 0 1 13 Последнее накладывает связь на амплитуду *0 и длину 1 солитона: 3

< 0 . Естественно, что

H3

2

0

Таким образом, чем больше амплитуда солитона *0, тем меньше должна быть его длина 1. Скорость солитона c возрастает с ростом амплитуды, что характерно для нелинейного распространения волн. Точное решение уравнения КДФ, описывающее солитон, имеет вид

*(г, x) = -

ch

/ Л x - ct

(6.68)

(6.69)

(6.70)

При этом длина солитона 1 связана с амплитудой *0 соотношением

3

(6.71)

12 = .4H*

0

3s

а скорость

*0 2H

1+

(6.72)

Если *0 << H, то последнее выражение можно переписать в виде

/ 1 N 1 +1 2H

=ViH

(6.73)

!л/&(H + *0) .

Эту формулу мы уже записывали при качественном обсуждении поведения гра­витационных волн по мере их приближения к берегу.

Важно подчеркнуть, что солитон является устойчивой структурой. Если перво­начально соотношение (6.71) не выполняется и амплитуда S0 слишком велика, то водя­ной холм распадается на несколько меньших холмиков, из которых сформируются соли - тоны. Напротив, если s0 слишком мала, то такой низкий холм расползется вследствие дисперсии.

По современным представлениям большинство волн цунами образуются, когда достаточно крупный, но безвредный в океане солитон выбрасывается на берег. При под­ходе к берегу он становится выше и короче, и его высота становится сравнима с глуби­ной океана вблизи берега.

В заключение этой темы отметим, что в настоящее время обнаружены солитоны для волн различной природы. Так, например, существуют солитоны при распростране­нии акустических волн в кристаллах, световых импульсов в волоконных световодах, ионно-звуковых волн в плазме и др. Во всех случаях существование солитонов обуслов­лено взаимной компенсацией нелинейных и дисперсионных эффектов. Естественно, что энергия, переносимая уединенной волной любой природы, будет диссипировать в тепло, поэтому по мере распространения амплитуда солитона будет стремиться уменьшиться, что, естественно, рано или поздно приведет к его исчезновению.

мплитудой возмуще-

[1] Более подробно метод комплексных амплитуд будет обсуждаться ниже, при рассмотрении вы­нужденных колебаний.

[2] df

pw s = - pgs-f dz

[3] Р 0

где c0 = g—- .

р0

Второй член в правой части (6.40) начинает давать заметный вклад при сильном сжатии (разрежении), поэтому связь между возмущениями давления бр и плотности бр становится нелинейной. Эта нелинейность обусловлена нелинейностью сил межмо - лекулярного взаимодействия и называется физической нелинейностью. Она вместе с ки­нематической нелинейностью может кардинально повлиять на характер распростране­ния интенсивных акустических волн.