Эффективным коэффициентом концентрации напряжений р при расчетах на усталость называется отношение предела устало­сти гладкого образца (a-L) к пределу усталости образца с концентра­тором (ct-l, K) при знакопеременном симметричном цикле (г = -1):

r ст-1

Р=^1К' (6Л78)

Причем в сварных конструкциях принято определять CT-L не для полированного образца, как это делают в машиностроении, а для пластины с прокатными поверхностями и кромками, обрабо­танными путем строжки или фрезеровки.

Эксперименты показывают, что эффективный коэффициент концентрации р равен теоретическому коэффициенту концентра­ции kT, который вычислен для однородного упругого тела соот­ветствующей формы методами, приведенными в разделе 3, толь­ко при достаточно больших радиусах кривизны концентратора р в месте зарождения трещины. Чем меньше р, тем меньше р по отно­шению к йТ.

При теоретическом вычислении эффективного коэффициента концентрации этот экспериментальный факт описывают с помо­щью теории макронапряжений.

Разрушение при многоцикловой усталости не может развивать­ся в математической точке, где вычисляются теоретические мак­симальные напряжения при решении задачи теории упругости. Для образования стабильных полос сдвига в наиболее слабом зер­не металла (см. ранее) необходимо, чтобы средние по этому зерну напряжения удовлетворяли условию микротекучести. Таким об­разом, приложенные к металлу максимальные напряжения сле­дует усреднять, по крайней мере, по сечению этого зерна. Но воз­можно, что напряжения в соседних зернах определяют условия микротекучести в наиболее слабом зерне. Тогда напряжения сле­дует усреднять по большему количеству зерен.

Структурным элементом материала при расчетах на усталость называют такой минимальный объем металла, в котором еще мо­жет развиваться механизм разрушения, характерный для обыч­ного образца из этого металла, подвергнутого испытаниям на ус­талость. Если форму структурного элемента описывать сферой, то размер структурного элемента определяется радиусом структур­ного элемента р*.

Макронапряжением S при усталости называется интенсив­ность напряжений стг, усредненная по объему структурного элемен-

та V* = (4/3) ■ л ■ (р*)3:

(6.179)

В плоской задаче структурный элемент можно представить цилиндром с радиусом р* единичной длины. Тогда V* = л ■ (р*)2.

По теории макронапряжений разрушение при симметричном цикле наступает тогда, когда выполняется условие

(6.180)

S - ст-1, N,

где ст_!, N — предел усталости, найденный экспериментально при испытаниях обычных гладких образцов.

Но вычислять интеграл по формуле (6.179) даже в случае, ко­гда имеется готовое решение задачи теории упругости для рассмат­риваемого концентратора, сложно. Попробуйте подставить в эту формулу какое-либо решение из раздела 3, и вы в этом убедитесь. Поэтому в литературе применяются различные способы упроще­ния данной задачи. Так, за макронапряжение S принимают на­пряжения в центре структурного элемента. Тогда S можно вычис­лить как напряжение в точке минимального сечения, находящейся на расстоянии р* от вершины концентратора. Очевидно, что этот способ справедлив только тогда, когда изменением градиента на­пряжений в пределах структурного элемента можно пренебречь. Наверное, это справедливо при р* ^ р.

Когда р* по порядку величины близок к р, более правильно находить макронапряжения, усредняя вычисленные при решении плоской упругой задачи напряжения в направлении развития ожи­даемой трещины x на расстоянии 2р* от вершины концентратора:

Этот интеграл вычислять значительно проще, чем интеграл в формуле (6.179). В литературе можно найти и другие предложе­ния по определению макронапряжений S.

В простейшем случае можно предположить, что при радиусе закругления надреза р ^ р* реальный радиус надреза перестает влиять на выносливость, а при р » р* эффективный коэффициент концентрации р совпадает с теоретическим коэффициентом кон­центрации йт для упругой задачи.

Рис. 6.86 Связь между эффективным р и теоретическим kT коэффициентами концентрации напряжений

Радиус структурного элемента р* можно определить по резуль­татам испытаний на усталость образцов с разными радиусами р, определяя экспериментальное значение р по формуле (6.178). Эф­фективный коэффициент концентрации при прочих равных усло­виях должен возрастать при уменьшении радиуса закругления р в вершине надреза. Но как только радиус р достигает предельного значения р*, р перестает увеличиваться. Это критическое значе­ние радиуса р можно назвать «радиусом структурного элемента» и считать постоянной материала.

Поясним это на примере. Для эллиптического отверстия в ши­рокой растянутой пластине (рис. 6.86а) теоретический коэффици­ент концентрации определяется формулой

(6.181)

kT = 1 + 2 • с,

где 2с — размер отверстия в направлении, перпендикулярном на­грузке; р — радиус его кривизны в опасной точке.

На рис. 6.86а, б приведены кривые зависимости коэффициен­та kT от радиуса в вершине надреза р при глубине дефекта 2с = 10 мм. Для стали Ст3 можно считать, согласно Г. Нейберу, что радиус структурного элемента составляет около р* = 0,2 мм. Тогда при р > 0,2 мм и теоретический и эффективный коэффициент концен­трации равны и вычисляются по формуле

kT = Р = 1 + 2 —.

Предельное значение эффективного коэффициента концентра­ции напряжений при р<р* = 0,2 мм составит

(6.182)

При дальнейшем уменьшении радиуса надреза эффективный коэффициент концентрации не зависит от остроты надреза.

На рис. 6.86в показана зависимость эффективного коэффици­ента концентрации от теоретического. Когда теоретический коэф­фициент концентрации достигает своего предельного для данного материала значения, эффективный коэффициент концентрации перестает возрастать.

Но это имеет место только при постоянном размере дефекта. Если в формуле (6.182) размер с увеличить до 10 мм, то:

Это явление нужно обязательно иметь в виду при оценке кон­центрации напряжений у сварных соединений. Часто для угло­вых швов в литературе приводятся значения р для предельной ост­роты надреза. В этом случае обязательно нужно уточнить, для какой стали в каком состоянии и для каких катетов шва и какой толщины листа эти коэффициенты экспериментально установле­ны. Если в конструкции катет шва в два раза больше, или предел текучести стали в два раза больше (это получено за счет измельче­ния зерна и соответствующего уменьшения р*), есть все основания считать, что значение р для этой конструкции будет больше ука­занного в литературе.

Вследствие приведенных выше соображений для расчета р по известному значению kT Г. Нейбер получил простую формулу

(6.183)

Р. Б. Хейвуд в монографии «Проектирование с учетом устало­сти» поместил многочисленные таблицы результатов эксперимен­тального определения предела усталости многих сталей с преде-

лом прочности от 41 до 105 кг/мм2 разных авторов. Результаты

получены на полированных цилиндрических образцах разных диаметров с концентраторами в виде поперечных отверстий, гал­телей и кольцевых надрезов различной глубины и остроты. Испы­тания проводились как на осевое растяжение-сжатие, так и на

изгиб. Предел усталости определялся на базе N = 107 циклов, в то время как для сварных конструкций базовое число циклов прини­мается равным 2106 циклов (см. формулу (6.156) и рис. 6.73). Таб­лицы этой книги являются прекрасным материалом для проверки работоспособности различных формул, предлагаемых в литерату­ре для вычисления коэффициента р.

В результате обработки этих результатов Р. Б. Хейвуд, как и многие другие исследователи, пришел к выводу, что точность фор­мулы (6.183) недостаточна, так как на накопление повреждений в структурном элементе влияет не только среднее напряжение, но и градиент напряжений. Приближенный учет влияния градиента напряжений привел Р. Б. Хейвуда к выражению

Р = k----------------------

1 + -

Jlrp

kr -1, 2, РІ (6.184)

Рис. 6.87

Сопоставление расчета предела усталости по формуле (6.184) и результатов экспериментов при изгибе круглых образцов с кольцевым надрезом n — количество серий образцов.

®-lk, Э Обозна­ чение СВ СТ-1 ч р, мм 5% п Авторы О 41,0 19,6 0,48 0,068 3,0 16 Мур и Джордан □ 43,4 19,7 0,45 0,069 1,20 5 Морковин и Мур А 54,3 22,0 0,40 0,012 5,2 3 Морковин и Мур V 61,3 24,1 0,38 0,049 3,6 5 Морковин и Мур • 86,0 47,2 0,55 0,003 3,0 3 Ходжер и Бакволтер ■ 87,9 46,6 0,53 0,017 4,6 16 Мур и Джордан А 96,2 50,4 0,55 0,000 7,4 3 Ходжер и Бакволтер ▼ 99,3 44,5 0,45 0,012 1,9 5 Морковин и Мур ♦ 101,0 50,4 0,50 0,19 6,2 3 Ходжер и Бакволтер X 105,0 45,5 0,43 0,216 1,2 3 Ходжер и Бакволтер

Результаты выполненной мною проверки работоспособности этой формулы по упомянутым выше таблицам книги Хейвуда пред­ставлены на рис. 6.87.

По оси абсцисс на этом рисунке (в логарифмическом масшта­бе) отложены экспериментальные (ст_1, k, Э) значения предела уста­лости образцов с концентратором напряжений, взятые из таблиц книги Хейвуда. По оси ординат в таком же масштабе отложены результаты моего расчета (ст_1, k, Р) на MathCad по формуле (6.184). Каждая точка этой таблицы отражает результаты испытаний од­ной серии образцов с обработкой вида, показанного в табл. 6.8 и на рис. 6.72. Всего на рисунке 62 точки или 62 результата испыта­ний 62 серий образцов с базой 107 циклов. Трудно представить ве­личину объема экспериментальной работы, послужившей осно­вой для этого рисунка.

В таблице под этим рисунком помещены пояснения. В первой колонке показаны обозначения точек, различные для разных ста­лей. Исходные значения предела прочности аВ и предела устало­сти гладких образцов ст_1 в кг/мм2 взяты из таблиц книги Хейвуда и даны во второй и третьей колонках этой таблицы. В четвертой колонке таблицы показано отношение о_1/оВ = л, которое входи­ло выше во многие расчетные формулы. Значения теоретического коэффициента концентрации напряжений kT для каждого образ­ца при вычислениях взято из упомянутых таблиц книги Хейвуда.

Значения радиуса структурного элемента р* для каждой серии образцов я определял, варьируя р* и находя значение, при кото­ром относительная среднеквадратичная погрешность

становится минимальной. В этой формуле n — количество серий образцов разной формы для каждой стали, приведено в таблице; ст_1, k, Э — результат эксперимента; ст_1, k, Р — результат расчета по формуле (6.184).

Полученные таким образом оптимальные значения радиуса структурного элемента р* (мм) и среднеквадратичной погрешности расчета для каждой стали 8 (%) показаны в пятой и шестой колон­ках таблицы рисунка. Наконец, в последней колонке этой табли­цы по ссылкам книги Хейвуда приведены фамилии авторов, ис­пытавших указанные серии образцов.

Точное совпадение расчетных и экспериментальных результа­тов соответствует на этом рисунке наклонной сплошной прямой

линии. Пунктирными линиями показана полоса среднеквадратич­ных отклонений, вычисленная для суммы квадратов погрешностей всех 65 точек рисунка. Эта погрешность оказалась равной 6,2%.

Из рисунка следует, что совпадение результатов расчета пре­дела усталости образцов с концентратором напряжений по форму­ле (6.184) хорошо совпадает с результатами экспериментов.

Cреднеквадратичная погрешность для всех 62 точек графика составляет 8 = 3,94%. Это определяется тем, что из всех результа­тов, помещенных в книге Хейвуда, я взял только относящиеся к цилиндрическим образцам с кольцевым надрезом, для которых имеется многократно проверенное надежное решение упругой за­дачи Г. Нейбера. Учитывая, что точное соосное нагружение таких образцов при растяжении-сжатии трудно выполнимо, я использо­вал при построении этого рисунка только результаты испытаний на изгиб, где центровка усилия не нужна. Наверное, сказалось и то, что образцы полированы и изготовлены достаточно точно.

Рассматривая численные значения р*, помещенные в таблице под рисунком, видно, что они по порядку величины почти везде совпадают с характерными значениями величины зерна для этих статей. Исключение составляют только две стали с пределом проч­ности 101 и 105 кг/мм2, для которых р* s 0,2 мм. Но для этих ста­лей испытано только по три серии образцов. Возможно, что этот результат связан с увеличенным разбросом результатов экспери­мента, либо здесь влияет размер аустенитного зерна. Поэтому ра­зумно заключить, что радиус структурного элемента составляет 1-3 диаметра зерна.

Рис. 6.88 Зависимость р от радиуса р при разных р*:

Теперь рассмотрим, как уточ­нение, связанное с формулой

(6.184) , изменило классическую схему влияния остроты надреза на эффективный коэффициент концентрации (рис. 6.84).

Результаты вычислений по формуле (6.184) для эллиптиче­ского надреза глубиной с =5 мм при разных значениях радиуса структурного элемента р* приве­дены на рис. 6.88.

ц = 0,448; с = 5 мм.

Из него видно, что резкого из­лома линий при р = р*, изобра­женного на рис. 6.86б, на самом деле нет. Кроме того, предельные

значения радиуса надреза (когда зависимость р от р становится го­ризонтальной) достигаются не при р = р*, а при р < р*/1000. Это вид­но по кривой на рис. 6.88, вычис­ленной для р* = 1 мм.

э		0.48	• ■	▲
□						X
		V

40 60 80 100 ов Рис. 6.89 Зависимость отношения ^ = o_1/oB от предела прочности

Но все описанные результаты расчета получены относительно предела усталости гладкого поли­рованного образца. Поэтому они подходят только для деталей из од­нородного материала с достаточно гладкой (полированной) поверхно­стью.

Применительно к расчету сварных конструкций нужно заме­тить, что в таблице на рис. 6.87 коэффициенты ^ гораздо выше, чем в случае расчета сварных конструкций, когда за основу берет­ся предел усталости образцов с прокатной поверхностью. Зависи­мость коэффициента ^ = a_1/aB, приведенного на рис. 6.87, от пре­дела прочности стали построена на рис. 6.89 (обозначения точек те же).

Из рисунка видно, что среднее значение коэффициента ^ (сплош­ная горизонталь) равно 0,48. Хейвуд при приближенных расчетах считает для полированных образцов ^ =0,5. Это значительно боль­шее значение, чем для гладких образцов с прокатной поверхностью, для которых приближенно принимают ^ = 0,3. Последнее значение на рис. 6.89 показано прерывистой горизонтальной линией.

Так как предел прочности практически не зависит от состоя­ния поверхности (потеря устойчивости пластических деформаций к ней не имеет отношения), можно считать, что прокатная поверх­ность создает при испытаниях на усталость начальную эффектив­ную концентрацию порядка р0 * 0,48/0,3 = 1,6. Таким образом, если появление ожидаемой трещины усталости в сварном соеди­нении ожидается на гладкой оплавленной поверхности, а ст_1п, как всегда, определено на образцах с прокатной поверхностью, то при расчете эффективного коэффициента концентрации значение коэффициента р, вероятно, следует разделить на р0 = 1,6. Это свя­зано с тем, что предел усталости пластины с прокатной поверхно­стью ст_1, п меньше предела усталости ст_1 образцов с полированной поверхностью: ст_1,п = ст_1/р0.

Но если об этой поправке автор норм не имеет представления, то он может пытаться учесть ее, задавая у дефекта не реальный

радиус р, а эффективный радиус peff. Оценим эту поправку к ра­диусу на примере эллиптического дефекта. Условие равенства прочностей выразится в виде: йс(р) = 1,6 ■ ka(peff) или:

Решая это уравнение относительно peff, получим Peff _ 1,62 ■ (t/р)

(6.185)

Из формулы (6.185) следует, что при остроте надреза t/p = 1, для компенсации концентрации от прокатной поверхности следу­ет увеличить эффективный радиус в 5,2 раза по сравнению с ре­альным радиусом р. Если острота надреза будет t/p = 100, то эф­фективный радиус должен быть в 2,7 раза больше р. Возможно, что этим частично объясняются большие значения радиусов за­кругления, которые используют некоторые авторы при попытке вычислить эффективные коэффициенты концентрации для свар­ных соединений.

Конечно, приведенное здесь значение р0 только ориентировоч­ное. Но при расчетах на усталость мест конструкции с концентра­тором обязательно следует учитывать различия в состоянии поверх­ности металла в вершине концентратора и состоянии поверхности гладких образцов, при испытаниях которых определялось значе­ние а_1, использованное в расчетах.