Чем мельче включение, тем при большей деформации оно раз­рушается. В простейшем виде зависимость радиуса включения, которое способствует появлению поры при деформации ec, можно описать формулой

(6.31)

(ec ev0)

Rc (ec ) Rv0(ec )

где Af — постоянная материала; ev0 — деформация, до которой в данном металле поры у включений вообще не возникают; Rc — критический радиус включений, которые разрушаются или спо­собствуют появлению пор при деформации ес.

Но физический смысл постоянной Af не очевиден. Если обо­значить через ет такую деформацию, при которой разрушаются

^v0V^с) ilm‘ /„ Л » (ec - ev0 ) где em — деформация, при которой поры возникают у половины неметаллических включений. При деформации ec поры появятся у всех включений, радиус которых больше, чем Rc. Плотность таких включений (и соответ­ственно — плотность пор pv) можно вычислить по выражению (6.30): / R Pv (Rc ) = Pf - p(Rc ) = Pf • exP I" C

все включения с радиусом большим, чем средний радиус включе­ний Rm, то из предыдущей формулы следует, чтоAf = Rm ■ (em - ev0), и выражение для вычисления начальных радиусов пор принима­ет более понятный вид: (em — ev0 ) - —------ —---------------------------- (6.32)

Rv0(ec) Rm

Rm

Графически для двух значений em/ev0 зависимость плотности пор от деформации, вычисленная по фор- муле (6.33), показана на рис. 6.21. Из рисунка видно, что отноше- ние ev0/em влияет на плотность всех пор, образовавшихся до мо- мента, когда деформация достигла ec, не очень сильно. Плотность пор, которые образовались только при деформации е = ес, можно вычислить, дифференцируя формулу (6.33) по пере- менной ec. Эта плотность обозначена функцией a(ej: (em — ev0 )

Подставив в это выражение ве­личину Rc = Rv0(ec) по формуле (6.32), получим для плотности пор при деформации ec: (em ~ ev0 )

a(ec ) = de~(pv (ec )) = (em ^2 • exp dec (Єс - ev0)2

Pv (ec ) = Pf • ЄХР

Расчет скорости роста пор Скорость роста поры радиусом Rv при пластической деформа­ции ei жесткопластического тела с пределом текучести Ol = ат оп­ределяется из решения Райса: dv = Rv-h-exp[k2 (6.86)

Pv/Pf

evo/em	= 0,5		“
	> / / //	«***
	/V	?u0lem ~	0,2
/f
//
/ /

0,5

0

1 2 3 ec/em Рис. 6.21 Влияние постоянных вт и ^0 на количество образовавшихся пор

(6.33)

(ec ev0)

0

(6.34)

(ec ev )

где Rv — радиус поры; ei — интенсивность пластической деформа­ции; k1 = 0,28; k2 = 1,5 — численные постоянные, полученные при решении задачи; ат = (ст1 + а2 + ст3)/3 — среднее гидростатическое напряжение в месте роста поры; ai(ei) — кривая нагружения мате­риала.

Ниже для описания кривой нагружения использовали степен­ной закон упрочнения ai (ei) = A ■ en пл.

Формулу (6.35) можно использовать и для расчета роста поры в упрочняющемся материале, если на малом приращении радиуса поры dRv, связанным с малым приращением деформации dei, уп­рочнением материала пренебречь. Но при дальнейшем интегриро­вании формулы (6.35) по деформации нужно учитывать реальное упрочнение материала.

После разделения переменных Rv и ei выражение (6.35) при-

(6.36)

мет вид:

В показателе экспоненты формулы (6.36) есть отношение am/ai. Для сокращения записи формул обозначим его через цт. Для усло­вий деформации металла в шейке круглого образца при ei > e0R, его можно вычислить по третьей формуле из выражений (6.23):

AR • (ei ~ e0R )nR 2

Чтобы получить представление о величинах относительного гидростатического напряжения цт = om/ai при экспериментах Бриджмена, на рис. 6.22 показаны вычисленные по формуле (6.25) для стали с 0,35% С кривые изменения этого параметра с ростом деформации при трех значениях внешнего гидростатического дав - ленияр = 0, 100 и 300 кГ/см2.

0

1

2

3 et

Г. П. Карзов и соавторы в своей работе считали om/ai = const. Но в этом случае нельзя проверить этот метод расчета, сопоставляя

Зависимость относитель­ного гидростатического

напряжения в центре шейки образца стали № 1-0 П. Бриджмена от деформации et при

трех значениях внешнего давления p

его результаты с классическими экспериментальными результата­ми испытания сталей при гидростатическом давлении Бриджмена.

Если пора зародилась при деформации ei1 и росла до деформа­ции ei2, то остается только проинтегрировать выражение (6.36), подставив в него формулу (6.27):

Rv Rv(

'-'12

ln

= К ■ J exp[k - Лт(Єі, p)] ■ dei

или

ei1

Rv Д, г

Рис. 6.23 Рост радиуса поры Rv с ростом деформации ei2

= exp

К ■ J exp[k2 - Лт (ei, P)] - dei [.

(6.38)

На рис. 6.23 показаны кривые увеличения радиуса поры Rv, имев­шей при деформации еі1 начальный радиус Rv0 при трех значениях посто­янно приложенного внешнего давле - нияp = 0, 100 и 300 кГ/мм2.

Видно, что при p = 0 ускоренный рост поры начинается примерно то­гда, когда деформация ei в 2-3 раза превышает ту деформацию, при ко­торой эта пора возникла. Если де­формация происходит при внешнем давлении в 10 000 или 30 000 атм, то рост поры значительно замедляется.

Расчет площади, занимаемой порами

Зная по формуле (6.38) радиус поры при деформации ei2, мож­но вычислить площадь поры, зародившейся при деформации ei1 и имевшей в этот момент радиус Rv0. Площадь поперечного сечения одной поры Sv1, зародившейся при деформации еа, при деформа­ции ei2 составит

S,1(%, Єі2, p) = П-R = л-R2,-exp і 2-К • jexp[K-Лт (Єі, p)]-dei [.(6.39)

Но при деформации ei1, согласно формуле (6.33) образовалось а(еа) • dei пор, начальный радиус Rv0(ei1) которых рассчитывает­ся по формуле (6.32). Следовательно, приращение площади всех пор (образовавшихся при деформации ei1) при деформации ei2 со­ставит:

dSv (еа, Єі2, p) = а(еа) • Sv1(ea, Єі2, p) • dei1.

Так как поры начали образовываться уже при деформации ^0, то при подсчете площади всех пор последнее выражение нужно проинтегрировать по ва от ^ до е12:

e2

Sv(Є2, p) = J a(ea) • Svl(ea, ei2, p)• dea.

ev0

Подставив в эту формулу Svi из (6.39), получим достаточно сложное для дальнейших вычислений выражение:

е2 Г ei2 1

Sv(е2,p) = ja(ec)■%• Я2, • exp2ki • Jexp[k2-цт(et, p)]• deXdea.

ev0 I ei1 )

Эта формула неудобна для вычислений, так как в показателе экспоненты — интеграл, у которого нижний предел ei1 является переменной интегрирования внешнего интеграла. Чтобы упро­стить вычисления, обозначим

e

J0(e, p) = 2ki • J exp[k2 лт(ei, p)]• dei, (6.40)

ev 0

тогда после подстановки значения Rv0 из (6.32), формула для вы­числения площади пор на единицу поперечного сечения примет вид:

Sv (e2, p) =

e2 ( )

= n^Rl-(em-ev0)2 ■ f aei1 2 - exp[J0(e2,p)-J0(ea, p)]■ deii.

J le., — e „I2

ev0 ' i1 v0/

Здесь переменная интегрирования ev1 является верхним преде­лом интегрирования второго интеграла J0, находящегося в показа­теле экспоненты, а первый интеграл J0(e2, p) в показателе экспо­ненты вообще не зависит от переменной интегрирования внешнего интеграла. Экспоненту exp[J0(e2, p)] можно вынести за знак внеш­него интеграла:

Sv (e2, p) =

e2 ( )

= n^Rm (em —ev0)2 ‘ exp[ J0(e2, p)] ■ f---------------- 2-- a - dei1.

ev0(ei1 — ev0)2 ■ exp(J0(eil, p..

Обозначим:

J1( e2, p) = ) a, (e„) - °xpt-J°(ei).p)]. de„.

e' (ei1 - e»0>2

ev0

После подстановки выражения для a(e1) из формулы (6.34), этот интеграл примет вид

em - ev.

0 - JO(ea, p)

e,1 - ev00

■ 1.

(6.41)

(ea - ev0)3

e2 exp J1( e2, p) = J-------

В результате площадь образовавшихся на единице сечения пор составит

Sv (e2, p) = n-Rl -(em - ev0 )3 • J1(e2, p) • exp[ J 0(e2, p)]. (6.42)

Учет начальных пор

Но в материале еще до деформации могли существовать мик - ропоры, возникшие, например, в результате предварительного облучения или пластической деформации. Обозначим концентра­цию этих пор в поперечном сечении через р0, а их радиус до нагру­жения одинаков и равен R0. Тогда в результате деформирования до e2, в соответствии с формулой (6.39), на единице поперечного сечения эти поры создадут площадь

e2 I

Sv0(e2, p) = *• R0 ^P0 • exp j

2*1 • Jexp[*-Цт(е • p)]• det k

0 J

Используя обозначение для J0 по формуле (6.40), можно запи­сать

Sv0(e2,p) = л-R02 Р0 • exp[J0(e2,p)- J0(0,p)]. (6.43)

Условие потери устойчивости пластических деформаций для материала с растущими в нем порами

Площадь металла в единице поперечного сечения с учетом пор составит:

S(e2, p) = 1 - Sv0(e2, p) - Sv (Є2, p) =

= 1 - n-R0 - p0 -e[J0(e2,p)-J0(0,p)] - n-Rm -(em - ev003 ■ Jl(e2, p)-eJ0(e2,p) или

S(e2, p) =

= 1 - n- exp[J 0(ei, p)] • <j expRR00(PQ p)] + Rm ■ (em - ev0 )3 • J1(e2, p)|. (6.44)

Усилие Pz, передаваемое единицей площади с порами: Pz(e2, p) = = S(e2, p) • oz(e2, p), где согласно (6.23), выражение для ст1 = azz в центре шейки при r =0, имеет вид

°z(e2, p) 41 + ln

1+ 0,5-I - Rt

^i(e2, p) - p.

Если обозначить отношение ст1/стг = ^1 (e;, p), то для гладкого цилиндрического образца данную функцию можно вычислить по второй формуле (6.22):

1 + 0,5-| Ra- RTTT

(6.45)

Л1(б;, p) = — = 1 + ln

С учетом этого обозначения формула для вычисления усилия на единицу площади примет вид

Pz(e2, p) = S(e2, p) • Л 1^2, p) • СТг(б2). (6.46)

Критическую деформацию ef = Є2 определим из условия поте­ри пластической устойчивости элемента материала с порами в ре­зультате решения уравнения

= 0.

(6.47)

dPz (Є2, p)

de2

Дифференцирование формулы (6.46) по переменной e2 и даль­нейшее сокращение полученного уравнения на A ■ eg приводит выражение (6.47) к виду:

(6.48)

F(e2, p) = 0,

где

F(e2, p) = FS(e2, p) - dSvN(e2, p) - dSv0(e2, p);

FS(e2, p) = {1 - n • exp[;0(e2, p)]• F1(e2, p)}• Fm(e2, p); dSvN(e2, p) = Pf •n-R. -(e. - eV’)3 - exp[;0(e2, p)]-F2(e2, p); dSv0(e2, p) = pv0 n R’ • 2 • k1 • exp[k2 •fm(e2, p) + ;0(e2, p) - J0(0, p)];

Pv0 • R0

pf •n •Rm • <em - e„0)3 • ;1(e2,p) + exp[;0(e2, p)]

[0,5• nR ■ Ar • (e2 - e0R)tR ]• e2 + p [1 + 0,5 • Ar • (e2 - e0R )naR ]• n A • eg

F1(e2, p) =

Fm^ p) =

A • en

1 + ln[1 + 0,5 • Ar • (e2 - e0R )tR ]

em ev e2 - ^ev f

; 0(e2, p)

exp

(e2 - ev0)4

F2(e2, p) = 2 • k1 • exp[k2 ^m (e2, p)] • ; 1(e2, p)

Постоянные nR и e0R «выскочили» при дифференцировании функций ^m(e2) и f1(e2) в соответствии с выражениями (6.36) и (6.45).

Решать уравнение (6.48) можно только численно. Например, в MathCad это решение можно получить по формуле

(6.49)

ef = root(F(e2, р), е2).

Однако предварительно требуется задать значение внешнего давления p.

Перед тем, как использовать формулу (6.49), нужно задать зна­чения параметров свойств материала, которые входят в формулы (6.48) для F(e2, p). В принципе, для заданного материала их мож­но найти по результатам специальных экспериментов.

A и n — модуль и показатель упрочнения, как было указано выше, можно определить как ординату экспериментальной кри­вой нагружения при ei = 1 и угол наклона этой кривой в логариф­мических координатах.

рт и р0 — количество микровключений и количество исход­ных микропор на единицу площади шлифа исходного материала можно подсчитать на растровом электронном микроскопе.

Rm и R0 — средний радиус субмикроскопических неметалли­ческих включений в металле и радиус начальных пор, образовав­шихся до деформации, так же можно найти в результате анализа микрошлифа.

ev0 и em — максимальная деформация, до которой новые поры в металле не возникают, и деформация, при которой возникают поры у половины включений, могут быть определены по шлифам, изготовленным после различной степени деформации.

Ar, e0R и nR — постоянные формулы (6.27), которая определяет изменение радиуса кривизны шейки Rm круглого образца в ее ми­нимальном сечении при росте пластической деформации. Мето­дика экспериментального их определения была приведена ранее.

Наконец, значения постоянных величин k1 = 0,28 и k2 = 1,5 вытекают из решения задачи теории пластичности, полученного Райсом.

Привлекательность описанного решения задачи о вычисле­нии предельной пластичности при вязком разрушении заключа­ется в том, что оно не содержит ни одного подгоночного коэффи­циента. Все входящие в него параметры физически понятны и могут быть определены по результатам специально поставлен­ных экспериментов.

В этом решении можно заменить функции ^m(e;) и ^1(ei) на лю­бые зависимости отношений стт/ст; и ст1/стг от пластической дефор­мации. Например, вычислить эти зависимости для некоторой опас­ной точки металла у заданного концентратора методом конечных

элементов. Тогда указанное решение позволит оценить нагрузку, при которой в этой точке конструкции возникнет вязкое разруше­ние. Данная задача весьма актуальна для ответственных конст­рукций, в особенности, изготовленных из высокопрочных мате­риалов, не склонных к хрупким разрушениям.

Проверка метода расчета критической деформации по ре­зультатам испытаний сталей на одноосное растяжение при высоком гидростатическом давлении

4

3 2

На рис. 6.24 приведены результаты выполненных мной расче­тов для двух сталей, испытанных П. Бриджменом в интервале гид­ростатического давленияp = 0,01...300 кГ/мм2.

1

°0 5 10 15 20 25 0 50 100 150 200 250

р, кГ/мм р, кГ/мм

Рис. 6.24

Сопоставление рассчитанной по (6.49) кривой предельной пластично­сти сталей (сплошная) с линией регрессии экспериментальных точек Бриджмена, которая показана пунктиром, для двух сталей

Сталь № 1-0 имеет состав: 0,34% C, 0,75% Mn, 0,18% Si, 0,017% P, 0,033% S. Состояние — после прокатки.

Сталь № 9-2 марки SAE 1045, закаленная в воде с 860°С и от­пущенная при 430°С на твердость 40,3 по шкале «С» Роквелла.

Постоянные A, n, AR, eR0, nR вычислены мной в результате ста­тистической обработки экспериментальных результатов. Парамет­ры р^, Rm, ev0 и em определялись методом подбора так, чтобы рас­четная сплошная кривая была как можно ближе к линии регрессии экспериментальных точек. Принятые величины параметров для начальных пор: R0 = 110-4 мм и р0 = 20. Они практически не ска­зываются на результатах вычислений.

Из рисунка видно, что расчетные кривые для обеих сталей дос­таточно хорошо соответствуют экспериментальным точкам. Не­сколько смущает изгиб расчетной кривой для стали 1-0 — он

Таблица 6.1 Параметры свойств, использованные при вычислении кривых рис. 6.24 Параметр А п Ае ело пв Р ( Rm evo е„ Сталь № 1-0 119 0,400 1,04 0,40 0,560 1,6104 8-10-4 0,5 2,0 Сталь № 9-2 210 0,255 1,00 0,16 0,652 1,2-104 8-10-4 0,8 2,0

направлен в другую сторону, чем это следует из расположения экс­периментальных точек на рис. 6.24. Однако вариацией четырех последних параметров табл. 6.1 мне не удалось получить изгиба расчетной кривой в другую сторону.

Графики рис. 6.24 свидетельствуют о том, что приведенная выше схема расчета пластичности ef пригодна для оценки влия­ния гидростатического давления p на предельную пластичность стали.

Проверка работоспособности метода расчета критической деформации по результатам испытаний низкоуглеродистой стали на одноосное растяжение при различных температурах

Ниже представлены результаты расчета по изложенной схеме температурных зависимостей предельной пластичности ef конеч­ной прочности при вязком разрушении Sk низкоуглеродистой ста­ли М16С.

Из всех параметров материала, входящих в уравнение (6.48), от температуры зависят только параметры A и n степенного зако­на нагружения. В свою очередь, при p = 0 только показатель уп­рочнения n входит в функцию Лт(е2, Р).

Но в наших расчетах, чтобы не изменять программы, гидро­статическое давление было принято равным 1 атм: p = 0,01 кГ/мм2. Температурная зависимость модуля упрочнения n(T) вычислена приближенно методом линейной регрессии экспериментальных результатов.

Если кривая нагружения описывается степенным законом уп­рочнения: = A ■ (ег, пл)п, то при любой температуре T; (i — номер

образца) справедливы уравнения:

ln(Oj,) = ln(A) + п ■ ln(eL); ln(Ski) = ln(A) + n ■ ln(efi),

где a,, — предел текучести; Ski — интенсивность напряжений в момент вязкого разрушения; eL — деформация Людерса (длина площадки текучести); efi — интенсивность пластических дефор­маций в момент вязкого разрушения.

Исключая из этих уравнений модуль упрочнения A, получим формулу для вычисления показателя упрочнения для каждого образца:

ln I

Ski

от

n -- N.

ln і rn 1 (6 50)

Зная ni для каждого образца, можно вычислить модуль упроч­нения:

A - Ski

A - eni • (6.51)

Но экспериментальные результаты по определению длины пло­щадки текучести eL значительно менее стабильны, чем по опреде­лению предела прочности, так как сильно зависят от правильно­сти центровки захватов.

Для исследования вязкого разрушения нужно как можно бо­лее точно описать кривую нагружения при больших пластических деформациях. При этом погрешности кривой в области малых де­формаций мало скажутся на условиях вязкого разрушения. По­этому вместо формулы (6.51) использовали формулу (6.3) для оп­ределения предела прочности:

ав = A. (6.52)

Ski e1fi exp(n)

Подставив формулу (6.50) в формулу (6.52), получим функцию, зависящую только от показателя упрочнения n:

Fn(n) = oB-^L -0.

Для каждого образца показатель ni можно вычислить как ко­рень функции Fn(n). Модуль упрочнения Ai для него можно опре­делить по формуле (6.51).

Окончательно, используя стандартные процедуры линейной регрессии MathCad для пар векторов (Ai, T) для модуля упрочне­ния и (ni, 1/Ti), для показателя упрочнения получили расчетные формулы:

A(T) = 130,6 - 0,145 • T + 3,45;

n(T) = 0,479 - + 0,014. (6.53)

Рис. 6.26 Расчетная кривая температурной зависимости Ski и эксперименталь­ные точки для стали М16С

1,0

			—■—
		-—■4+

0,5

100

150

200

250 Т, К

Рис. 6.25 Сопоставление расчетной кривой еДТ) с экспериментальными точками для стали М16С

Подставив функции (6.53) в функции ст;(ег), Лт(е;, Р), Лі(е;> Р) и далее в уравнение (6.48), вычисляли критическую деформацию efi разных температур Т;. На рис. 6.25 результаты расчета представле­ны сплошной линией, экспериментальные значения показаны кре­стами. При этом использовали значения параметров, управляющих вязким разрушением, для стали М16С, указанные в табл. 6.2.

Таблица 6.2 Параметры свойств стали, использованные при вычислении рис. 6.25-6.26 Ак Єно ПК р f, 1/мм Rm, мм evo e„ 1,0 0,16 0,652 5,8-104 7-1СМ 0,135 0,8

Металлографические параметры pf, Rm, ev0 и em определили методом подбора так, чтобы кривая на рис. 6.25 была как можно ближе к экспериментальным точкам.

На рис. 6.26 сплошной линией показаны результаты вычисле­ния температурной зависимости конечной прочности Sk, выпол­ненные по формуле

Sh(T) = A(T) • [е,(Т)Г(Т). (6.54)

Крестами показаны экспериментальные точки.

Из рис. 6.25 и 6.26 видно, что уравнение (6.48) может доста­точно точно описывать температурные зависимости критической деформации ef и критического напряжения Sk при вязком разру­шении стали.

Проверка работоспособности простейшей формулы (6.29, б) для расчета температурной зависимости прочности и кри­тической деформации низкоуглеродистой стали М16С

Очевидно, что формула (6.29, а) не может использоваться, так как в нее не входит температура. Формула (6.29, в) учитывает толь­ко влияние температуры на отношение напряжений от/а.. Но из формулы (6.36) видно, что температура на отношение от/о. не влияет.

Поэтому для вычисления температурной зависимости критиче­ской деформации при вязком разрушении цилиндрических образ­цов из эмпирических формул пригодна только формула (6.28, б), где гидростатическое напряжение ат при испытаниях на одноос­ное растяжение цилиндрических образцов должно вычисляться по последней формуле из (6.22) при p = 0:

n(T)

(ef - 0,16)0,652

Ь ІП I I Ь

3

1 + -

°т = A(T) ■ Є

Постоянные в выражении для расчета отношения a/R взяты из рис. 6.186. Параметры температурных зависимостей модуля A(T) и показателя n(T) упрочнения стали М16С — из формул (6.53).

На рис. 6.27 представлены экспериментальные точки, получен­ные при испытаниях стали М16С при различных температурах.

Сплошная линия представляет собой уравнение регрессии для этих точек:

еДстт) = 1,94 - 0,0204 • ат ± 0,086.

(6.55)

Рис. 6.27 Зависимость еДот) для стали М16С

Полоса среднеквадратичных погрешностей показана штрихо­выми линиями. Ординаты точек брали из таблиц обработки резуль­татов экспериментов при различ­ных температурах. Значения абс­цисс вычисляли по третьей фор­муле (6.22), подставляя в нее экспериментальные значения ef.

ак видно, эксперименталь­ные точки достаточно хорошо соответствуют уравнению (6.28, б) Далее, используя формулу (6.55), вычислили соответствующую ей температурную зависимость критической деформации ef(T). Для этого обе части формулы перенесли в левую часть функции, которая должна быть равна нулю, и подставили в эту функцию выражение (6.22) для стт.

е,

Sk, . кГ/мм'

0,9

150 200

250 Т, К

Рис. 6.28 Вычисленная для стали М16С зависимость ef(T) и эксперимен­тальные точки

1,0

150 200

250 Т, К

Рис. 6.29 Температурная зависимость критического напряжения Sk и экспериментальные точки

100

0,8

50

В результате получили уравнение

Fef(ef, T) =

ef -1,94 + 0,0204• A(T)• efT) • 1 + ln(1 + 0,5• (ef -0,16)0,652) = 0.

L 3

Задав вектор значений температур в интервале 100...300 К, используя MathCad по формуле

(6.56)

ef := root(Fef(ec, Ті), ес)

получили вектор решений для ef. Результаты решения этого урав­нения представлены кривой на рис. 6.28.

Как видно из рисунка, вычисленная по формуле (6.56) темпе­ратурная зависимость критической деформации вязкого разру­шения практически линейна, хотя экспериментальные резуль­таты требуют кривой с выгибом вверх, как это было получено на рис. 6.25 при более точном алгоритме расчета. Но обратите вни­мание на масштаб графика по вертикали: максимальные откло­нения экспериментальных точек от теоретической линии не пре­вышают 5%.

Зная критическую деформацию, вычисленную по формуле (6.56), можно используя степенной закон для кривой нагружения, вычислить критические напряжения вязкого разрушения:

(6.57)

Skt = A(T) ■ (eftrT.

Результаты этого вычисления показаны на рис. 6.29 сплош­ной линией. Из рисунка видно, что в этом случае результаты вы­числений достаточно хорошо соответствуют экспериментальным точкам.