Ниже приводятся решения для полей линий скольжения, взя­тые из книги Л. М. Качанова «Основы теории пластичности». На­стоятельно рекомендую читателям использовать ее, если они в сво­ей инженерной деятельности встретятся с подобными задачами.

На рис. 3.51 показаны три варианта полей линий скольжения в растянутой полосе, шириной 2h с круглым отверстием радиуса а в центре.

На рис. 3.51а предполагается, что нагрузкаp такова, что ус­ловие текучести І! = k выполняется только в пределах дуги AB контура отверстия. К границе, описанной по дуге окружности, должен прилегать участок осесимметричных линий скольжения (рис. 3.49).

Если точка B находится под центральным углом 0В, то угол наклона крайней верхней линии скольжения в точке В равен фв = а = 0В + л/4. В точке С по условию симметрии тху = 0. Ось х является главной осью. Следовательно, линия скольжения долж­на быть наклонена к этой оси под углом фС = 5л/4.

Приращение угла ф между точкой B и точкой С составит: Аф = фС - фв = 5л/4 - (0B + л/4) = л - 0B. Радиус до точки B можно

Рис. 3.51 Три вида полей линий скольжения у кругового отверстия в растянутой полосе

найти из формул (3.113): ra = a ■ ехр(фа - а) = a ■ ехр(л - 0В), а на­пряжения в точке С по формулам (3.112) и (3.107) приpa = 0:

=°ma +2k-A(p = k + 2k-(л-0в );

(3.115)

+k = 2k-(Л-0В +1) = 2k ■ ln [ ra j + 1 .

Так как угол 0В не может быть согласно рисунку больше л/2, ra < a ■ ехр(л/2).

Последнее равенство формул (3.115) справедливо для любой точки оси х в пределах a < r < га. Следовательно, по минимально­му сечению эпюру напряжений на этом участке можно предста­вить формулой

(3.116)

На больших расстояниях от отверстия к прямой вертикальной границе полосы прилегает поле линий скольжения однородного напряженного состояния (рис. 3.51a). В пределах этого участка:

°x =^3 = 0;

(3.117)

=®m = ст3 + k = k;

=®m + k = 2k.

Теперь из условия равновесия можно найти либо величину при­ложенных средних напряжений p по заданному углу 0В или радиу­су га, или по заданной нагрузке определить 0В или га. Запишем условие равновесия:

a

(3.118)

Второй вариант поля линий скольжения (рис. 3.516) получа­ется из первого, если принять 0В = 0; или ra = a. Тут все минималь­ное сечение занимает однородное поле напряжений. Соответствую­щая этому варианту нагрузка:

(3.119)

p ■ h = 2k ■ (h - a).

Наконец, в третьем возможном варианте поля линий скольже­ния на все минимальное сечение распространяется область лога­рифмических спиралей rc = h. Разумеется, это возможно только

при h < а ■ ехр(л/2) = 4,81 а. В этом случае выражение (3.118) при­обретает вид:

(3.120)

Сравнивая формулы (3.118)-(3.120), можно сделать вывод, что формула (3.119) дает минимальное значение для внешней нагруз­ки. Следовательно, прежде будет реализовываться именно второй вариант поля линий скольжения (рис. 3.516). Для того чтобы быть уверенным в этом умозаключении, нужно быть уверенным в том, что, действительно, пересмотрены все возможные конфигурации полей линий скольжения и из них выбран тот вариант, который соответствует наименьшей нагрузке.

Еще одно замечание. В точке С эпюра напряжений ar = ах (рис. 3.51а) имеет скачок. Справа от точки С: ах =2k ■ (л - 0B); слева от точки С: ах = 0. Следовательно, в точке С нарушаются диффе­ренциальные условия равновесия.

Такую неоднозначность результатов вычислений, полученных методом линий скольжения, нужно всегда иметь в виду.

На рис. 3.52 показано поле линий скольжения в растянутой пластине с двусторонними трещинами.

Поле состоит из трех типов сеток.

1. Треугольные области равномерного напряженного состояния OABO, прилегающие к поверхностям трещин. В них всюду:

°х = °1 = 2k;

°y = °3 = 0;

= k.

2. Секторные области центрированных полей OBCO у верши­ны трещины — в этих областях угол ф изменяется на Лф = л/2. В результате гидростатические напряжения увеличиваются на Лстт = 2k ■ л/2. Тогда на линии OC имеем:

az = ат = k + Лат = (л + 1) ■ k; ау = ^1 = ат + k = (л + 2) ■ k; °x = °3 = ®т - k = л ■ k.

3. Две квадратные области равномерного напряженного состоя­ния OCD — здесь всюду напряжения равны тем, что были вычис­лены выше для линии OC.

В минимальном сечении нет концентрации напряжений. Же­сткость напряженного состояния:

Рис. 3.53 Линии скольжения у двусторон­него надреза с углом 2у

Напомним, что для такой же упругой задачи максимальная жесткость была равна 2,56. Следовательно, при переходе от ло­кальных пластических деформаций к общей текучести жесткость напряженного состояния у двустороннего надреза возрастает.

Влияние угла раскрытия острого надреза позволяет проана­лизировать поле линий скольжения, представленное на рис. 3.53, где имеются те же три типа областей, что и на предыдущем ри­сунке.

В областях OABO главные напряжения ^ и а3 те же по вели­чине, что на рис. 3.52. Но их площадки, по сравнению с предыду­щим рисунком, повернуты на угол у. Отличие заключается в том, что угол поворота линий скольжения в центрированных областях OBCO уменьшился на у. Следовательно, все напряжения в облас­тях OCD с равномерным напряженным состоянием уменьшаются на 2k ■ у, по сравнению с рис. 3.52:

стг = ат = k + А<зт = (л + 1 - 2у) ■ k; ау = сті = ат + k = (л + 2 - 2у) ■ k;

= °3 = - k = (л - 2у) ■ k.

Жесткость напряженного состояния в минимальном сечении определяется формулой

ст1 _ (л + 2 -2у)

л=-

Если угол у достигнет л/2, то над­резы исчезнут. При этом жесткость напряженного состояния будет равна Л = 2/7э, что связано с наличием плос­кого деформированного состояния (за­прещением деформаций в направле­нии оси z).

Рис. 3.54 Линии скольжения у двусто­роннего надреза с радиусом а

На рис. 3.54 показано поле линий скольжения у двустороннего надреза с конечным радиусом закругления а в случае, когда полуширина минималь­ного сечения h < а ■ ехр(л/2) = 4,81 а.

Рис. 3.55 То же, что рис. 3.54, но при большем значении h

Здесь логарифмические спирали линий скольжения распространяются от поверхности концентратора до цен­тра детали. Вид эпюры напряжений О = оу по минимальному сечению по­казан в верхней части рисунка. Пунк­тирной кривой показано распределение напряжений, вычисленное по первой формуле (3.13) для упругого материа­ла и а/р = 1.

Сплошной кривой показано рас­пределение напряжений, вычислен­ное по формуле (3.116) для стадии об­щей текучести.

Обратите внимание, как изменил­ся вид эпюры напряжений при пере­ходе от упругой стадии нагружения к общей текучести. В последнем случае максимум напряжений в центре сече­ния, где оу = 2k ■ [1 + ln(h/a)].

Рис. 3.56 Экспериментальное поле пластических деформаций

На рис. 3.55 показано поле линий скольжения для таких же надрезов, как на рис. 3.54, но ширина сечения h > а ■ ехр(л/2).

В этом случае поле с логарифми­ческими спиралями занимает область ACBC’A. Расстояние OB = а ■ ехр(л/2). От точки C, где от = k, до точки B угол ф изменяется на Аф = л/2. Следователь­но, в точке В средние напряжения

ътв=k+2k • 2.

Такими они сохраняются до точки D во всей области равно­мерного напряженного состояния. Напряжения стф = ау = ст1 в цен­тральной части сечения:

Эпюра этих напряжений в минимальном сечении показана в нижней части рис. 3.55.

Кроме знакомых областей линий скольжения здесь добавлены области CFEBC c простым напряженным состоянием. В этих об­ластях напряжения постоянны при движении вдоль стрелок а и изменяются при движении в направлении стрелок р. Видно, что при пластическом растяжении материал в направлении стрелок р может перетекать от кромок надреза к центральным частям сече­ния — к области BED. Только в результате такого перетекания материала пластина может увеличивать свою длину.

Но экспериментально это поле может и не быть реализовано. На рис. 3.56 показаны результаты травления продольного сече­ния предварительно пластически растянутой пластины.

Видно, что заштрихованные контуры зон пластической дефор­мации (A и B) совсем не похожи ни на рис. 3.55, ни на рис. 3.54. Здесь пластическая деформация «обошла» зону с высокой жест­костью напряженного состояния, о которой говорилось при ана­лизе упругого решения для пластин с двусторонними гиперболи­ческими надрезами Нейбера.

Аналогично можно анализировать и напряженное состояние надрезанных пластин в условиях общего течения при изгибе. Схе­ма такой пластины с односторонним надрезом показана на рис. 3.57.

Рис. 3.57 Схема изгибаемой пластины

Так производят испытания материалов и сварных соединений. Поэтому приведенный ниже анализ представляет значительный интерес для интерпретации результатов таких испытаний.

На рис. 3.58 показаны два варианта полей для изгибаемой пла­стины с концентратором.

Согласно левому варианту вращение жестких частей пласти­ны происходит вокруг точки С. Выше этой точки материал растя­нут и сдвиги идут вдоль логарифмических спиралей семейств а

м.

О” А' А

A -2k I O' А

)

) м

Рис. 3.58

Две картины линий скольжения при изгибе надрезанной пластины моментами М в условиях плоской деформации

и р. При этом по минимальному сечению напряжения нарастают по известной формуле

где радиус r отсчитывается от точки О. Ниже точки С находится поле равномерных напряжений и стф = ax = -2k. Положение точ­ки С можно найти из условия равенства нулю вектора сил, созда­ваемых ах.

Наблюдаемая экспериментально конфигурация полей пласти­ческих деформаций часто близка к этой картине. Но здесь, как и в случае левого поля на рис. 3.51, напряжения ar в точке С имеют разрыв. Нарушаются условия равновесия. Поэтому между лога­рифмическими спиралями в верхней части сечения и равномер­ным полем напряжений в нижней части сечения должна сущест­вовать некая переходная область.

На правой схеме рис. 3.58 эта переходная область добавлена в виде двух дуг PQ, по которым происходит скольжение. При этом

А Р В

О

А'

В'

Рис. 3.59 Линии скольжения при изгибе консоли

левая жесткая часть пластины вращается вокруг точки D. По мере уменьшения размера этих дуг правая схема рис. 3.58 при­ближается к левой.

Нарис. 3.59 показано поле ли­ний скольжения при изгибе кон­соли.

Видно, что оно состоит из:

р

1) двух областей с равномер­ным напряженным состоянием

ABCA, где ау = 0; ax = 2k;

2) двух центрированных полей ADCA, в которых напряжения увеличиваются пропорционально углу поворота ф;

3) дуги СС”, которая представляет собой узкое поле простого напряженного состояния (рис. 3.486).

'у

На рис. 3.60 показано поле линий скольжения, возникающее в полосе толщиной 2h, сжатой жесткими штампами.

Рис. 3.60

Схема линий скольжения и распределение напряжений при сжатии плоского слоя толщи­ной 2h в направлении оси у

Линии скольжения задаются уравнениями циклоид: для a: x = - h ■ (20 + sin20) + const; у = h ■ cos20; для p: x = +h ■ (20 - sin20) + const; y = h ■ cos20.

В верхней части рисунка показана эпюра напряжений, кото­рые нарастают с удалением от края.