В инженерной практике влиянием масштабного фактора обыч­но объясняют экспериментально наблюдаемый факт, заключаю­щийся в том, что чем крупнее конструкция, тем ниже ее проч­ность и пластичность. Однако такое определение масштабного фактора ничего не объясняет и ничего не позволяет вычислить. Для инженерного анализа прочности конструкции масштабный фактор необходимо расчленить на составляющие. Перечислить все составляющие невозможно. Но главные из них можно привести.

Статистический фактор проанализирован Вейбулом приме­нительно к оценке прочности длинных якорных цепей.

Вероятность того, что при силе N, действующей на звено цепи, это звено не разрушится, можно записать формулой

(1.8)

где Nu — постоянная, характеризующая прочность цепи, с размер­ностью усилия; m — постоянная, зависящая от однородности ме­ханических свойств материала.

Из формулы (1.8) видно, что при N = 0 вероятность неразру- шения звена равна 1,0. При N, равной бесконечности, вероятность неразрушения стремится к нулю. При N = Nu вероятность того, что звено цепи не разрушится, составляет:

P(Nu,1) = exp[-1] = 0,368,

что достаточно близко к 0,5. Поэтому постоянную Nu можно по­нимать как среднюю прочность звена цепи.

Постоянная m характеризует форму кривой распределения ве­роятности неразрушения звена цепи при изменении действующе­го усилия N и называется коэффициентом формы. На рис. 1.20 построены кривые вероятности неразрушения звена при различ­ных значениях m. Видно, что значение m = 1 соответствует весь­ма пологой кривой.

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

P(N) Рис. 1.20 Формы кривой вероятности неразрушения при разных показателях m N/Nu

P(N, п) N/Nu Рис. 1.21 Вероятность неразрушения цепи с коэффициентом формы m = 30 при различном количестве звеньев n

На практике звенья цепи разрушаются в значительно более узких пределах нагрузки N. Если ширина полосы разброса экспе­риментальных значений прочности составляет ±(10...20)%, то из рисунка видно, что значения m нужно принять в пределах 20...30.

Удивительно большие показатели степени! Они ведь еще под знаком экспоненты!

Если цепь будет состоять из двух одинаковых звеньев, то веро­ятность неразрушения цепи можно получить перемножением ве­роятностей неразрушения для каждого из звеньев:

P(N, 2) = P(N,1) P( N,1) = ' f N Т' ' f N Jm' " of N Jm" exp _ 1 Nu J _ exp _ 1 Nu J _ - exp _ 1 Nu J _

Аналогично, для цепи, состоящей из n звеньев, получается:

N Nu

(1.9)

-n

P( N, n) = exp

На рис. 1.21 показаны результаты вычислений вероятности неразрушения для цепей, состоящих из 1, 10, 100 и 1000 звеньев при коэффициенте формы кривой каждого звена m = 30.

Из этого рисунка видно, что, если полоса разброса значений прочности одного звена будет составлять около 10%, то прочность цепи из 1000 звеньев в среднем будет примерно на 20% ниже сред­ней прочности для одного звена. Чем длиннее цепь, тем меньше ее прочность. Это основное следствие применения статистической теории прочности.

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

Вероятность разрушения (fracture, индекс f) цепи вычисляет­ся путем вычитания вероятности ее неразрушения из единицы:

N Nn

(1.10)

-n

Pf (N, n) = 1 - P(N, n) = 1 - exp

Этот подход используют при оценке вероятности разрушения металлических образцов и деталей. При этом одно звено цепи заме­няют минимальным объемом материала Vo, разрушение которого приводит к разрушению всего образца или детали. Если объем все­го образца или детали Vf, то в ней находится n = Vf/V0 элементар­ных объемов. Если каждый объем V0 нагружен одинаковыми сред­ними напряжениями а и имеет среднюю прочность аи, то можно сделать подстановку: N/Nu = а/аи. В результате для стандартного образца, испытываемого на растяжение, из формулы (1.10) для вероятности разрушения получим

’ Vf,

(1.11)

Pf (N, Vf) -1 - exp

V0

где три параметра свойств материала (Vo, аи, т) можно найти экс­периментальным путем. Для этого нужно испытать на растяже­ние две серии образцов двух разных размеров и результаты экспе­риментов нанести на графики, подробные рис. 1.19 и 1.20.

Если деталь нагружена неравномерно, то каждому элементар­ному объему AV, соответствует свое, действующее в нем напряже­ние а,. Тогда произведение вероятностей неразрушения объемов имеет вид

P(a, Vf) г 1 - Pf (a, Vf) г

, AV3	03 ]
Vo	V°n J
n V X V0 i=1

a? On

AV1 Vo

AV?

= exp і

+... > =

AV (a1 V„ I On

= exp

i =1

Переходя к бесконечно малым (AV ^ dV) и заменяя сумму ин­тегралом по объему Vf, для вероятности разрушения неравномер­но нагруженной детали получим

>eff

dV,

(1.1?)

Pf (Vf) = 1 - P(CT, Vf) = 1 - exp J--L J

(Vf )

где интеграл берется по всему объему детали Vf, где вероятность разрушения не равна нулю. В частности, если рассматриваемый

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

механизм разрушения не может быть реализован при упругой де­формации металла и реализуется после наступления текучести, то Vf — это зона у вершины концентратора, нагруженная выше предела текучести.