Рассматривается бесконечная цилиндрическая оболочка, пред­ставляющая собой рулон, навитый из листа толщиной h по спирали

Архимеда R = R0 + ^ ср. Кромки рулона жестко скреплены с по­верхностью оболочки, что делает замкнутыми внутренний и наруж­ный витки. В оболочке нет начальных напряжений и зазоров между витками. Она нагружается внутренним давлением без частичной раз­грузки в процессе нагружения. Толщина слоя h и количество слоев п таковы, что общая толщина оболочки мала по сравнению с ради­усом (nh R).

В качестве расчетной схемы принимаем предельный случай h ->

0; Eh — const (Е —oo); R Ra, где E — модуль упругости ма­териала оболочки. Такая оболочка представляет собой многолист­ную круговую цилиндрическую поверхность, обладающую конечной

жесткостью на растяжение Dn = (гДе v — коэффициент Пуас­

сона) и нулевой изгибной жесткостью.

Контактные взаимодействия между слоями сводятся к нормаль­ным сжимающим и касательным напряжениям. Последние не могут превышать сил трения скольжения, при этом коэффициент трения считается постоянным. Напряженное состояние такой оболоч­ки рассматривается в работах [1—3]. В [1, 2] рассмотрен слу-

Рис. і. Элемент оболочки (а) и его слой (б).

б

a

чай проскальзывания всей навивки, что может иметь место лишь при малых коэффициентах трения, а в работе [3] предпринята по­пытка учесть частичное проскальзывание в оболочке с одним проме­жуточным витком.

Цель настоящей статьи — изучени ■ характера проскальзывания витков рассматриваемой оболочки и его зависимости от величины коэффициента трения.

Рассмотрим (рис. 1, а) бесконечно малый элемент оболочки, в ко­тором имеет место проскальзывание по j-й поверхности контакта слоев. На рис. 1, б показан один из слоев этого элемента с прило­женными к нему контактными нормальными (pi—i, pi) и касательны­ми (т;_і, Ті) напряжениями и окружным усилием Ni (номер слоя і совпадает с номером его наружной поверхности)[23].

(1)

На поверхности проскальзывания контактные напряжения свя­заны между собой соотношением

tj = ± fpu

где / — коэффициент трения (знак соответствует направлению про­скальзывания; pi всегда положительно).

Условия равновесия элемента слоя выражаются уравнениями

(2)

N і -)- R (pi — Рі—і) = 0, —Tjjjj—f - R (tj — Tj—j) = 0.

Слои, между которыми нет проскальзывания, имеют одинаковую окружную деформацию є,, удовлетворяющую соотношению упруго - Ni

сти Є; = - у—, в связи с этим одинаковы и возникающие в них uN

усилия N г.

Следовательно, для части элемента (рис. 1, а), расположенной кнаружи от поверхности проскальзывания j, состоящей из слоев,
для которых і > /, уравнения равновесия можно записать такі

dN,

(га — ])Ni~ Rp, = 0, (га — і) — Rxj = 0. (3)

Принимая во внимание равенство (1)г получаем

<w.

Из уравнения (4) с учетом (1) и (2) следует, что, хотя на поверхностях і > 7 нет проскальзывания, для действующих на них контактных на­пряжений также имеет место соотношение Ті = ± fpi. Будем на­зывать эти поверхности поверхностями потенциального проскальзы­вания, так как разделенные ими слои находятся в неустойчивом состоянии в отношении проскальзывания, направленного в ту же сто­рону, что и действительное проскальзывание по j-ж поверхности. Для возникновения проскальзывания между этими слоями не требуется

т*

увеличения отношения

. Если проскальзывание происходит

по нескольким поверхностям контакта, то уравнение (4) справедли­во для всех слоев, расположенных кнаружи от первой из этих по­верхностей. В этом легко убедиться, составляя уравнения равнове­сия для части элемента, расположенной между двумя поверхностями проскальзывания.

Для части элемента, расположенной кнутри от поверхности про­скальзывания 7 (t ^ /'), условия равновесия имеют вид

JNi + R (pj - Ро) = 0, / + Rij = 0. (5)

Отсюда с учетом соотношения (1) получаем

dN; 1

=F fNi = =F — HfPo■ (6)

Составляя уравнения равновесия вида (5) для части элемента, содержащего слоев, на основании уравнений (6), найдем,

на

что в этом случае т* = ± / ^ —- . *■ р0j, т. е. отношение - j-

внутренней поверхности (і = 0) равно нулю, что соответствует усло­вию задачи, а с увеличением і оно возрастает, достигая при і = j предельного значения /.

П

Равнодействующее усилие N = Nu независимо от наличия или

i=f

отсутствия проскальзывания, равно

N = Rp 0. (7)

Таким образом, усилия в слоях представляются следующими ре­шениями:

в сечениях без проскальзывания

N і = - jj - Rpat (8)

г де

Рис. 2. Изменение картины проскальзывания с уменьшением величины коэффи­циента трения.

в слоях, расположенных кнаружи от первой поверхности про­скальзывания / (г > /),

Ni =. Сіє±^; (9)

в слоях, расположенных кнутри от первой поверхности проскаль­зывания ] (i ^ j),

Ni = СіЄ±*р + j - Rp0. (10)

Здесь Сt — постоянные интегрирования, получаемые при решении уравнений (4) и (6), причем для слоев, между которыми нет проскаль­зывания, постоянные Ct при общем начале отсчета координаты ф имеют одно и то же значение.

Проанализируем зависимость проскальзывания слоев оболочку от величины коэффициента трения /. Начнем с больших значений / и проследим, как изменяется картина проскальзывания с его умень­шением. Последовательность такого изменения показана на рис. 2. Зоны проскальзывания изображены отрезками кривых, один из ко­торых заключен между радиальными лучами а и Ъ, а другой — между сш А Лучи А и В проведены через края навивки. Оболочка разделе­на на участки, ограниченные отрезками указанных лучей, зонами

проскальзывания и поверхностями оболочки. Разбивка произве­дена так, что каждый участок имеет постоянное число слоеВі йежду которыми нет проскальзывания. Поэтому усилия в слоях в пределах каждого участка равны между собой и выражаются одним из решений (8) — (10). Для обозначения участков и зон проскальзывания исполь­зуются буквы, обозначающие лучи, проходящие через их края.

При / —*■ оо между слоями оболочки проскальзывания не будет. Заметим, что необходимым (но не достаточным) условием отсутствия проскальзывания между контактирующими слоями является равен­ство их окружных деформаций. В слоях, к которым прикреплены края навивки, усилия, а следовательно, и деформации терпят разрыв в местах закрепления 4иВ, ав прилегающих к ним слоях при ко­нечном значении / такого разрыва быть не может. Поэтому между ними вблизи А и В будет наблюдаться проскальзывание.

Если значение / достаточно велико, то зоны проскальзывания аЪ и cd будут располагаться так, как показано на рис. 2, а. На участ­ках, расположенных кнаружи от зон проскальзывания, поверхности контакта между слоями являются поверхностями потенциального проскальзывания (штриховые линии). Усилие в слое участка Bd вблизи В большее, чем в слоях участков сВ и cd, а в слое участка аА вблизи А большее, чем в слоях участков аЪ и АЪ. Поэтому направле­ние взаимного проскальзывания будет таким, как показано стрелка­ми на рис. 2. Заметим, что это направление противоположно тому4 которое показано на рис. 1, а, т. е. его мы считаем отрицательным, а потому в данном случае Т/ = —fp/, следовательно, в уравнениях

(4) и (6) надо оставлять знак «+», а в их решениях (9) и (10) — знак «—».

С уменьшением коэффициента трения зоны проскальзывания аЪ и cd будут увеличиваться, причем скорость увеличения зоны аЪ мень­ше, чем зоны cd, так как на соответствующей ей контактной поверх­ности контактное сжатие большее и для преодоления сил трения тре­буется большее касательное напряжение. При некотором значении / лучи Ъ и с совпадут, участок Ъс исчезнет и край зоны проскальзы­вания cd соприкоснется с краем соответствующей поверхности потенциального проскальзывания участка аЪ.

Дальнейшее уменьшение коэффициента трения приводит к тому, что проскальзывание происходит по этой поверхности и она мгновен­но включается в зону проскальзывания cd. Это происходит потому, что пока последняя не выйдет за край а поверхности потенциального проскальзывания ab, все слои участка ab имеют одинаковую дефор­мацию по всей их длине и общую точку н а краю а и, следовательно,, между ними проскальзывания не будет. Таким образом, картина проскальзывания будет иметь вид, показанный на рис. 2 б.

При дальнейшем уменьшении коэффициента трения зоны про­скальзывания увеличиваются, и после совпадения лучей с и d в зо­ну проскальзывания мгновенно включится поверхность потенциаль­ного проскальзывания участка сВ, край d переместится к лучу Bf где закреплен наружный конец навивки, и картина проскальзывания преобразится к виду, показанному на рис. 2, в. Характерным отли­чием этого случая от случаев, показанных на рис. 2, а и б, является отсутствие участков, которые включали в себя все слои оболочки и потому делали эти слои и оболочку в целом замкнутыми в окруж­ном направлении. В случае, показанном на рис. 2 в, оболочка состо­ит из двух замкнутых частей — наружной, которой является учас­ток Bd: и внутренней, состоящей из участков be, са, ab, аА и АЬ. При проскальзывании наружная часть поворачивается относитель­но внутренней против часовой стрелки, потому что средняя дефор­мация замкнутых частей оболочки больше средней деформации участка cd, представляющего собой незамкнутую цилиндрическую оболочку.

При дальнейшем увеличении зоны проскальзывания сВ с умень­шением значения / ее край с соприкасается с краем Ъ поверхности потенциального проскальзывания участка аЬ. Эта поверхность мгновенно включается в зону проскальзывания и его общая картина принимает вид, показанный на рис. 2, г. Она аналогична показан­ной на рис. 2, в и отличается от нее тем, что один слой внутренней замкнутой части оболочки подключился к незамкнутому участку cd.

Если оболочка имеет большее число слоев, то аналогичные цик­лы будут повторяться до тех пор, пока край с зоны проскальзыва­ния сВ не встретится с краем b зоны проскальзывания аЪ и они со­льются в одну зону аВ, как это показано на рис. 2, д. Затем ее край а достигнет закрепления внутреннего края навивки А и, таким обра­зом, проскальзывание будет иметь место по всей поверхности контак­та слоев (рис. 2, е).

С дальнейшим уменьшением коэффициента трения / будет сни­жаться усилие в незамкнутых промежуточных витках и все большую часть нагрузки будут воспринимать внутренний и наружный зам­кнутые витки. Наконец, при / = 0 это усилие поровну распределя­ется между ними (NaA = NBd. = {Вро), а промежуточная навивка будет ненапряженной.

Показанные на рис. 2 углы, определяющие положения краев зон проскальзывания, и постоянные интегрирования, входящие в ре­шения (9) и (10) для участков, на поверхностях которых имеет место проскальзывание, находятся из уравнений, выражающих условия совместной работы участков. Такими условиями являются сле­дующие.

1. Общее условие равновесия, заключающееся в том, что сумма усилий в слоях всех участков в любом сечении оболочки равна Вр0.

2. Условие равновесия закрепления концов навивки А или В, заключающееся в том, что усилие в одном слое, расположенном с од­ной стороны закрепления, равно сумме усилий в двух других слоях, расположенных с другой его стороны.

3. Условие равновесия на краю зоны проскальзывания, который не совпадает с закреплением конца навивки А или В, заключающее­ся в равенстве усилий в слоях на краю зоны проскальзывания.

4. Условие совместности деформаций на краю зоны проскаль­зывания, который не совпадает с закреплением конца навивки, заключающееся в равенстве деформаций на краях участков, расположенных с противоположных сторон зоны проскальзыва­ния.

Позиция	f	Фа А	<РАЬ	<РсВ	4>3d	Ф аВ
а	оо	0	0	0	0
	1,710	0,045	0,062	0,156	0,143	—■
б	1,710	0,045	0,062	0,262	0,143	—.
	0,110	0,786	1,074	3,134	3,149	—
6	0,110	0,786	1,074	3,134	2л
	0,090	0,982	1,341	5,160	2л	—
г	0,090	0,982	1,341	2л + 1,199	2л	—;
	0,068	1,432	1,949	2л + 4,551	2л	—
д	0,068	—	,_	—	2л	4я + 1,650
	0,045	—	—	—	2л	6л + 0,217
е	0,045	__	—	_	2л	6л+ 0,217
	0	—	—	—	2л	6л + 0,217

П р имечание. Позиции а—е соответствуют позициям на рис. 2.

Так как жесткости всех слоев одинаковы, то условия 3—4 приво­дят к равенству на краю зоны проскальзывания усилий во всех сты­кующихся здесь слоях.

5. Условие совместности перемещений участков, расположен­ных с противоположных сторон зон проскальзывания, заключаю­щееся в том, что общее удлинение участков, расположенных с од­ной стороны зоны проскальзывания, равно удлинению участков, расположенных с другой ее стороны. Если зона проскальзывания разделяет оболочку на две замкнутые части, которые взаимно прово­рачиваются, это условие сводится к равенству полных удлинений этих частей.

Каждому из показанных на рис. 2 случаев соответствует система трансцендентных уравнений, поскольку неизвестные углы, опреде­ляющие положение краев зон проскальзывания, входят в показатели степеней.

В таблице приведены некоторые результаты расчетов, дополня­ющие описанную выше качественную картину проскальзывания ко­личественными характеристиками. Результаты приведены для обо­лочки, содержащей пять витков навивки, при срав = 0,217, в виде значений коэффициента трения и углов, определяющих положение краев зон проскальзывания, соответствующих начальному и конеч­ному расположению зон для всех рассмотренных случаев.