Схема расчета полосы. При определении местных деформа­ций некоторых сварных соединений применяются расчетные схемы, основанные на использовании решения, полученного для полосы с непрерывной продольной нагрузкой на кромках и нагруз­кой на торцах.

Рис. 25. Схема полосы с непрерывной нагрузкой по кромкам

Решение такой задачи может быть получено путем выбора функции напряжений в виде

Ф

8Ьс1

ху.

что будет соответствовать условиям загрузки полосы по схеме рис. 25.

Напряжения будут определяться следующими формулами:

х;

Abel

0;

(IV. 5)

_ д2ф _ — Ну2 ~ <52ф

°у дх2

52ф

Р

Abel У'

В концевых сечениях полосы при х = ±1 действуют нормаль­ные напряжения

Р

АЬс

(IV.6)

:Ь равны

и касательные напряжения, которые при у

(IV.7)

Т = +-?- - 4с/

Граничные условия на концах удовлетворяются только сум­марно

ь

^ оЛ dy 2с"?

(IV-8)

j ixydy = 0.

Это указывает на то, что данное решение будет точным только для сечений, достаточно удаленных от концов полосы.

Деформации различных точек полосы будут определяться следующими формулами:

_J Р_ 4 Е bcl ц ц Р Е °х 4 Е ' bcl

х; -х;

* А £

(IV.9)

У-

Уху

4Е

bcl

_ 2(1+р)т _ 2 (■ + Р) Р

Е ' %ХУ

Интегрируя первые два из этих уравнений, получим

TOC o "1-5" h z 1 Р х2 , г, ч ди,, , .

У-

“ — jg ^ 2~ ^ "W — ^

4£ 6с/

После подстановки этих значений в третье уравнение формулы (IV.9) получим

Щй+гю-Ць-щ-у.

откуда

У2

4Е bcl ' 2

/ W = о.

+ Су С,;

№

2 + р

Определяя постоянные интегрирования из условий, что переме­щения начала координат равны нулю и крайние точки оси у = О при х = ±1 не имеют вертикальных перемещений, получим окон­чательное выражение для определения продольных перемещений

1 АЕ

Р х2 , 2 + (х Р у2

4Е ЬсГ' 2 '

~т

и =

Ьс1

Для перемещений точек средней поперечной оси при X — О

т ТГ

ъ

(IV. 10)

Формула (IV. 10) используется в дальнейших расчетах при опре­делении местных деформаций некоторых сварных соединений.

Рис. 26. Схема нагрузок, действующих на клин

Она получена для напряженного состояния (рис. 25, б), которое несколько отличается от напряженного состояния характерного для сварных полос (рис. 25, а). Но напряженное состояние по рис. 25, а может быть получено из первого простым наложением на него равномерного растяжения (рис. 25, в) и взаимноуравнове­шенных срезывающих усилий, приложенных на торцах (рис. 25, г), которые не создадут искривления сечения, удаленного от концов, поэтому формулу (IV. 10) можно считать справедливой и для сред­ней части полосы с нагрузкой по рис. 25, а.

Схема клина. При расчетах сварных соединений с угловыми лобовыми швами находят применение схемы, основывающиеся на решениях, полученных для клина. В этих расчетных схемах угловой лобовой шов рассматривается как клин, нагрузка на который передается по его лобовой плоскости (рис. 26).

Первое применение таких решений было сделано Г. А. Никола­евым [23] для анализа влияния формы сварного лобового шва на его напряженное состояние. При этом рассматривалась схема, при которой распределение нагрузок по лобовой плоскости свар­ного шва было принято равномерным (рис. 26, а)

Применительно к обозначениям рис. 26, напряжения выра­жаются следующими формулами:

°* =

о* = tg (Р — 0 — tg Р + sin е cos 0); pg__ р (Р — 0 — sin 0 cos 0); sin2 0,

tg Э — р

где q — интенсивность равномерно распределенной нагрузки;

Р — угол клина при его вершине.

Из формулы (IV. 11) следует, что с увеличением угла в вер­шине шва (угла клина) р значение напряжений в лобовом шве уменьшается.

Для наиболее распространенных случаев сварных соединений при р = 45° формулы для напряжений будут иметь вид:

ох = 4,65<7^— 0,215 — arctg у + ) ;

(IV. 12)

оу = 4,659 (0,785 - arctg| - if) ;

*zy = —4,659

При нагрузке, распределенной по лобовой грани шва по закону наклонной прямой (рис. 26, б), напряжения в шве, имею­щем форму равнобедренного прямоугольного треугольника [37], определяются формулами

2 Р	У.
ас	‘ а »
2 Р	/ 2х
ас	Т
2Р	X * “IГ »

-)■ а )'

ас

(IV. 13)

ху

где Р — суммарное усилие, действующее на шов; а — катет шва;

с — длина шва (на рисунке не указана).

При действии на клин нагрузок по схемам рис. 26, в, г гото­вых решений в теории упругости не приводится, поэтому эти слу­чаи рассмотрены ниже несколько подробнее.

х2у2

Xsy

У*-

2а3с

4 а3с

4 а3с

Когда к лобовой грани клина приложена нагрузка, распре­деленная по закону квадратичной параболы (рис 26, в), функцию напряжений можно принять в виде полинома четвертой степени р зр, , , р Ф

(IV. 14)

д2(р	3 Р	( У2	х-2
дУ2	ас	V а2	2а2 ) ’
д2<р	3 Р	/ ху	У2
дх2	ас	V а2	2а2 ) '
Й2ф		3 Р	/ ху х2
дхду		ас	а2 2а2

Тогда напряжения в любой точке углового шва будут выражаться следующим образом:

ху

а, =

(IV. 15)

)•

Постоянные коэффициенты в выражении для функции напря­жений (IV. 14) подобраны так, чтобы можно было удовлетворить граничным условиям и условиям совместности деформаций. В це­лях сокращения текста все промежуточные выкладки, связанные с этим подбором, опущены. Для случая действия на клин касательных усилий Т, распре­деленных по лобовой грани по закону наклонной прямой (рис. 26, г), функция напряжений может быть выбрана в виде полинома третьей степени Т п. 27і о Т

(IV. 16)

а? с

При этом окончательные выражения для напряжений будут сле­дующими :

2 Т ах — ас а ’ <*У = 2Г | ( 2у Ъх ас ' а а 2 Т (Л___ 2х %ху — ас а а

-X3 +

ху

х У -

Ф

а2с

(IV. 17)

где Т — суммарное касательное усилие, действующее на шов.

При определении напряжений в фасонках узлов сварных ферм применяется решение, полученное для случая действия на клин сосредоточенной силы, приложенной к его вершине (рис. 26, д). В этом случае напряжения выражаются следующим образом:

а + - у-sin 2а

Св = ХгЬ = °»

cos 0

где Р — удельное значение усилия, действующего на клин; [3 = 2а — угол клина при его вершине. Действие усилия, приложенного в плоскости листа. При рас- чете сварных точечных соединений применяются схемы, основан- ные на использовании решения, полученного для случая действия продольной сосредоточенной силы, приложенной к листу. Напряжения и перемещения различных точек листа (рис. 27) определяются следующими форму- лами: нормальное радиальное напряже- ние 3—-^7-cos0; (IV. 19)

1-р' тангенциальное на- — 2р'

Рис. 27. Схема нагрузки листа силой, приложенной в его пло­скости

о =

4 лг

нормальное пряжение Р

cos 6; (IV.20)

ОГй =

1 — р'

4я г

касательное напряжение

1 — 2р' 1 - р'

(IV.21)

sin і

4яг

(IV. 22)

радиальное перемещение

Р

и.

8nG

3 —4р' , п

—і---- ї-г - In г-cos 0;

1 — u'

Pfl + (3-4p')lnrl bnG (1 — p')

(IV. 23)

тангенциальное перемещение

Hfl

Здесь P — удельное значение продольного усиления, равно­мерно распределенного по толщине листа;

G — модуль сдвига;

— — — приведенное значение коэффициента Пуассона.

1

К

Р

Решение Файлона. В некоторых расчетных схемах исполь­зуется решение Файлона [39], полученное для полосы, загружен­ной по кромкам усилиями, распределенными равномерно по ее ширине.

При действии продольного усилия (рис. 28) и при условии введения следующих сокращенных обозначений:

Xj = ~ ; s = sh и; 5 = sh иул 2 = sh 2» + 2и

уг = - с — ch и; С = ch и у±, 2' = sh 2и — 2и

напряжения и продольные перемещения различных точек полосы выражаются следующими формулами:

2 с — us

я Ь

С sin ихг du +

[ 2s.„uc S sin ихі du + t/i f S sin ихг du +

0 1 0

(IV. 24)

+ Уі j - уг С sin іщ du I;

6)

4'"-

a) ^	T
' Tb
2a а	а

6) У	Г
►Сэ		& * Уї
<5

Ц Рис. 28. Схема нагрузки полосы про-

г дольной силой:

2 * а — основная схема; б — расположе­

ние начала координат по оси полосы; в — расположение начала координат в месте приложения силы; г — рас­положение начала координат на ниж­ней кромке

г)	У"	_т
-Cj
-О			X

т,, - I </, j - Цг С cos uXidy-i-//, j S cos uxldu +

^ S cos ux± du + J s 0 С cos uxt du j; (IV.25) ^25as - (C cos ux1 — 1) du +

T U = —ТГ nh

J 2c— l,25us

c— us

Г /2s — 1,25uc 0 уі 1 - f 1,25c c, .

J —irt'— cosuxi — )du + yi J - y-5cosux1 du 4

+ */i{ (

(IV.26)

1,25s n

—7-е COS ux± -

где Т — удельное значение продольного усилия, приложенного к верхней кромке полосы и распределенного по ее ширине равномерно; и — переменная интегрирования.

Значения нормальных напряжений ау и поперечных перемеще­ний V в дальнейших расчетах сварных соединений не исполь­зуются и поэтому они в целях сокращения здесь не приводятся.

Интегралы, входящие в формулы (IV.24)—(IV.26), не берутся, но так как их подынтегральные функции в данных пределах интегрирования являются непрерывными, они могут быть вы­числены приближенно путем разложения подынтегральной функ­ции в ряд. При этом применительно к обозначениям, принятым на рис. 28, б, могут быть использованы следующие формулы:

00

sh иух sin их1 = ^ (шу/й S1(n2^ 6 ; '(IV.27)

1

.2/1+1 rcos (2п + 1) 0

(IV. 28)

+ 1)!

[sh uy^osux^— 2 (urifn+l [S^

0 J'

2n+i sin (2n + 1) Є (2n +1)! ;

(IV. 29)

ch ш/, sin uxi = ^ (urj)

2 n COS 2/10 (2n)! »

(IV.30)

ch uyy cos uxt = ^ (игу)

L OJ

X V

где r, = . r - = —^-fr.

1 sin 0 cos 0

Получающиеся при этом ряды являются сходящимися при зна­чениях гг < 4. В связи с этим такие решения могут быть исполь­зованы только для района, расположенного в непосредственной близости к месту приложения усилий. Отмеченное ограничение не препятствует определению местных напряжений, так как в по­давляющем большинстве случаев район их действия не выходит за указанные рамки.

Подстановка этих выражений в подынтегральные функции формул (IV.24)—(IV.26) и вынесение из-под знака интегралов величин, не зависящих от переменной интегрирования, позволяет представить интегралы этих формул в виде, удобном для числен­ного интегрирования,

Так, например, первый интеграл формулы (IV.24) может быть представлен в следующем виде:

оо со

V4 гп+г sin (2п + 1) Є Г 2„+1 2с - us,

/i=2j——J -^-du =

0 0 oo

rn+l sin (2n + 1)6 /o^ г ч

где

./ і (2n - f 1)! zusn+1 г2<і+г/,

f«*H4

oo -J

2 л+2

J2n+1

^2«+2 = dU.

Интегралы типа G и F для первых членов ряда, определенные методом численного интегрирования, приведены в табл. 7.

При уменьшении значения гх сходимость рядов улучшается. Поэтому для определения напряжений и перемещений в точках, лежащих на поверхностях полосы при у = ±Ь, удобнее формулы (IV.24)—(IV.26) преобразовывать путем переноса начала коорди­нат в точки, лежащие на этих поверхностях (рис. 28, в и г).

Так, для удобства вычисления напряжений и перемещений в точках, находящихся в районе верхней поверхности, начало координат целесообразно перенести в точку с координатами (0; Ь) и принять систему координат в соответствии с рис. 28, в. При этом исходные формулы (IV.24)—(IV.26) необходимо будет изме­нить путем введения в них подстановки у = b — у'.

Подобным же образом, при переносе начала координат в точку с координатами (0; —Ъ) в исходные формулы в соответствии с рис. 28, г необходимо ввести подстановку у = у" — Ь.

Применение указанных подстановок позволяет получать быстро сходящиеся ряды, что обеспечивает возможность достижения

Таблица 7

Значения интегралов для первых членов ряда п *п "« «п 0 0,527 —0,288 —0,242 — 1 0,438 0,918 —0,059 —0,049 2 1,740 2,818 0,227 0,193 3 7,224 5,750 0,337 0,537 4 23,328 24,824 0,217 1,143 5 — 119,08 0,475 1,951

достаточной точности вычислений окончательных результатов даже при сравнительно малом числе членов ряда.

Формулы (IV.24)—(IV.26) являются общими. Они позволяют определять местные напряжения и деформации для любой точки, находящейся в районе действия внешней силы. Для отдельных частных случаев эти формулы могут быть значительно упрощены. Так, для определения максимальных значений местных напряже­ний можно ограничиться их значениями лишь в крайних волокнах полосы.

Для определения нормальных напряжений в крайних волокнах формулы будут иметь следующий вид:

для верхних волокон при у = b

“-ж [ъ + 5 ^+І тігтлг'-1*"]; (IV'31>

для нижних волокон при у = —О

со

(IV.32)

о

Здесь Я2„ и //,„+1 — определенные интегралы, получающиеся при подстановке рядов (IV.27)—(IV.30) в формулы (IV.24)—(IV.26) и при расположении начала координат в точке с координатами (0; Ь);

^2л+1 и Я2«+2 — то же при расположении начала координат в точке (0;;—Ь).

Рис. 29. Схема нагрузки полосы для определения про­дольных перемещений

Значения интегралов для первых членов ряда приведены в табл. 7.

Формула (IV.26) для продольных перемещений используется в дальнейших расчетах только в случаях действия распределен­ной нагрузки и главным образом для определения деформаций поперечной оси (рис. 29).

Применяя указанные выше подстановки и интегрируя выраже­ние (IV.26) в пределах от —d до й, получим после соответствующих преобразований следующие формулы:

4 qb пЕ

продольные перемещения в районе верхних волокон (рис. 29, а)

£/*=0 =

Г"з-+

о

+4 2 (»;г+з sln,£,+fе - (н»+, - я») -

о

~2,5 Н~ +

sin (2я+2) 0' (2п + 2)!

(Н^п+і — Язя) -) 4 - у D

; (IV.33)

+ади j м!"+!

продольные перемещения в районе нижних волокон (рис. 29, б)

И

496 it Е

t/*=0 =

/,/Ч2П+2 sill (2n - f 2) 0" гг' ^ (2/г + 2)! 2,,+1

_4 £ (y^ijg^+ЦУ -

■ 2,5^1 2 (л)2"+2 -sing+^e" (Н'2п+2 - я;„+1) +

. (IV.34)

+ 2,5^' J] (^)2n+1 --in((22;+11)j6" Н2п+1 + 4 fD'

і

Здесь q — 2j — интенсивность равномерно распределенной [нагрузки;

СО

D и D' — определенные интегралы типа J f (и) du.

о

Эти интегралы получаются при подстановке рядов (IV.27)— (IV.30) в формулу (IV.26) при расположении начала координат в точках (0 +й) и {0 —Ь).

Значения этих интегралов, полученные методом численного интегрирования, равны

D = —0,219; D' = 0,179.

Подобным образом могут быть получены формулы для вычисле­ния местных напряжений в полосе и для случая действия попереч­ной сосредоточенной силы (рис. 30).

Рис. 30. Схема действия на полосу поперечной силы (а) и эпюра напря­жений в ее поперечном сечении (б)

Местные напряжения (рис.

30, б) можно представить в виде двух слагаемых:

а* = о + Да*, (IV.35)

где а — номинальное значение напряжений, опреде­ляемое по методам, применяемым в сопро­тивлении материалов;

Да* — дополнительные мест­ные напряжения.

Общее выражение для опре­деления дополнительных местных продольных нормальных напря­жений в любой точке, расположенной в районе приложения попе­речной силы, имеет вид

Лст*---------- Чг х nb

J s “с - С cos их1 du + ijx j ~ S cos uxl du +

+ { (-^-^Scoswa;! — ^)du +

CO

(IV.36)

+ Уі J (J^-Ccoswx! — 4§i)du

где Q — удельное значение поперечного усилия, равномерно распределенного по ширине полосы.

Для крайних волокон это выражение упрощается и после соответствующих подстановок, подобных тем, которые были уже применены выше, может быть представлено в следующем виде: для верхних волокон при у = b

д„ _______ 8Q V4 у2п(-1)” гг.

А°х - ~ ж 2j 1 ’

для нижних волокон при у = —b

,IV'38)

с

Методику вычисления определенных интегралов, входящих в формулы (IV.31)—(IV.34), можно пояснить на примере вычисле­ния одного из этих интегралов.

Для примера возьмем интеграл типа Я2я, входящий в формулу (IV.31). Для третьего члена ряда при п — 2 интеграл этого типа будет иметь вид

нл

и6 du

sh2 2 и —4 и2'

При достаточно больших значениях и (например, при и 5; 3) подынтегральная функция упрощается и поэтому этот интеграл целесообразно представить в виде двух интегралов:

3 со

#4 = | f(u) du + [(и) du.

и з

Для значений и > 3

f(u) = 4tiee~iu.

При этом второй интеграл может быть легко взят и вычислен в заданных пределах интегрирования

оо оо оо

j / (и) du — 4 j U6e~iu du = - p - j Z6e~z dz —

3 3 12

oo

z® + 6z5 + 30z4 + 120z3 + 36(jz2 - I - 720z + 720

4096ez

= 0,0081.

12

Вычисление первого интеграла представлено в табл. 8. Рас­крытие неопределенности подынтегральной функции при значе­нии: и - 0 произведено путем разложения ее в ряд. При этом, пренебрегая высшими степенями малых величин, получим

г, , 9м2 „

/ — 16 (и2 + 3) ~~ и-

По формуле Симпсона

з

J/(«)rfu = ^-[2/1(“) + 4 («) + 2 2/»(«)] =

= -^-(0,01795 + 4-0,34902 + 2-0,33739) = 0,2089.

Вычисление интеграла //4 в пределах от 0 до 3 и /і (И) /2 (И) /а («) 0 0 _ 0,3 — 0,01608 — 0,6 — — 0,05564 0,9 — 0,09812 — 1,2 — — 0,12379 1,5 — 0,12469 — 1,8 — — 0,10582 2,1 — 0,07844 — 2,4 — — 0,05214 2,7 — 0,03169 — 3,0 0,01795 — — 2 0,01795 0,34902 0,33739

Окончательно

Я4 = 0,2089 +0,0081 = 0,2170.

Подобным образом вычислены и все другие интегралы, при­веденные в табл. 7, а также интегралы типа D и D'.

Решение Гоуланда. При определении местных напряжений в крестовых соединениях и местных деформаций в сварных то­чечных соединениях находит применение решение плоской задачи, полученное Гоуландом для полосы, нагруженной продольной силой, равномерно распределенной по толщине полосы [38].

1.25 4

При нагрузке по схеме рис. 31, а продольные нормальные напряжения определяются следующей формулой:

ах = 0,212

(и — 0,5) sin ихг du +

+

Ґ ut/isS + (s — ис) С

J

du

(IV.39

+ j (us-2^C-uy^S (1 5 _ u) s. n uXi

где P — удельное значение продольного усилия, равномерно распределенного по толщине полосы.

При действии равномерно распределенного усилия по схеме рис. 31, б продольные нормальные напряжения могут быть опре­делены соответствующим интегрированием формулы (IV.39).

При этом

Х-~1

о* = <7 f(xй Уі> и) du> (IV.40)

к—1

р

где Ч — ~2І интенсивность равномерно распределенного

усилия, приложенного к полосе; f (хі> Уі> и) — функция, составленная в соответствии с формулой (IV.39) при замене в ней усилия Р элементарным усилием qdx.

Рис. 31- Расчетная'схема в задаче Гоуланда

После интегрирования и некоторых преобразований полу­чаются следующие выражения для напряжений, действующих в различных фибрах полосы:

нормальные напряжения вдоль оси полосы, при у = 0

а* = 0,4^ [ At (х) - 1 ,3 Л 2 (х) - 0,65 In ^±L] ; (IV.4I)

нормальные напряжения вдоль кромок полосы при у = ±Ь

~ . / 4 ЬЧх

’q 1 [(ж + О2 + ЬЦ [(х — I)2 + Щ ~~

-0,81nj; + g: + ^-^3(x)+ 1,6Л4(х)|. (IV.42)

Здесь

со

я / Г 2 — ч2 . ul. их,

А М = J - цу"sin ~ь sin Т div'

О

TOC o "1-5" h z л / ч Г 3 — 2м + в ul. их я

А9 (х) -- --------- ^------ S111 - г- sin - т - сш;

2 v 7 J и 2 " b

о

оо

я / Г 4u + 1 — ё~2и. ul. их.

л3(*)=1 ------- 4^----- sin-g-sin - j-du -

о

ос

я / ( 4u —1 — е~2и. ul. их,

4 {Х) = J ~ 5Ш Т'8Ш Х

С)

Значения этих интегралов, определенные методом числен­ного интегрирования для различных значений х, приведены в табл. 9.

Таблица 9

Значение интегралов А (х) для I ~Ь 10я А (х) и At (х) М Ла (х) А, (х) 0.066 372 576 278 56 0,033 395 611 286 55 0.20 419 643 292 53 0,40 463 708 298 46 0.66 569 846 291 17 1,00 656 983 259 27 1,33 717 1080 218 76

Применение этого решения, так же как и решения Файлона ограничено некоторой областью, пределы которой примерно соот­ветствуют области действия местных напряжений.