Рассмотрим элементарный объем жидкости Ад: • Ау ■ Az. Уравнение баланса массы для этого элементарного объема будет выглядеть следующим образом [ 1 ]:

Сохраненная масса I = I Поступившая масса! I Покидающая масса I (4 1)

за единицу времениJ [за единицу времени] [за единицу времениj

В декартовой системе координат уравнение примет вид:

Это уравнение описывает изменение плотности жидкости в фиксированной точ­ке в зависимости от времени как функцию вектора потока массы pv (здесь vx, vv, — компоненты вектора скорости). Записав уравнение (4.2) в векторной символике, по­лучаем

f--(Vpv). (4-3)

Воспользовавшись правилом умножения, принятым в дифференциальном исчис­лении, уравнение (4.2) можно переписать следующим образом:

Dp

—--p(Vv). (4.5)

Dp

Выражение называется субстанциальной или материальной производной

плотности. Это означает, что уравнения (4.4) и (4.5) описывают зависимое от време­ни изменение плотности с точки зрения наблюдателя, движущегося в направлении течения. Однако уравнения (4.3) и (4.5) выражают одну и ту же физическую форму­лировку. В большинстве случаев допущение о несжимаемости расплава (то есть о его
постоянной плотности) является справедливым. В этом случае левая часть уравне­ния (4.4) становится равной нулю, и уравнение неразрывности упрощается:

TOC o "1-5" h z dvx dv dvz

Vv= ------ +---- — + —

дх ду dz