В этом разделе приводится краткое изложение математической модели течения Уланда [37], учитывающей явление проскальзывания на стенках. Она вытекает из закона Кулона для трения твердого тела о стенки и представляет собой уравнение равновесия между силами вязкости и силами трения для элементарного объема жид­кости при течении через трубу (рис. 3.9):

R Ар Fr

vall = — ~ - PVc = — • (3.62)

Здесь рс — коэффициент трения скольжения; р — давление в рассматриваемом элементарном объеме.

SHAPE * MERGEFORMAT

р я Я2

J.

(р + dp) к Я2

\ Fr = “Mgw = “MgP 2л Kdz

£

Рис. 3.9. Баланс сил в элементарном объеме вязкого расплава с учетом трения на стенках канала

Интегрирование уравнения (3.62) с учетом граничных условий р = pL при z = L (где/?£ — давление в конце канала экструзионной головки) дает выражение измене­ния давления по длине трубы:

2П G

СL-z)

(3.63)

p = pL-ex р

Из уравнения (3.63) следует

(L-z)

(3.64)

W ~PV-G' ехР

Из этого уравнения следует, что, в отличие от случая прилипания расплава, при скольжении расплава вдоль стенки напряжение сдвига на стенке не остается постоян­ной величиной по всей длине канала (см. табл. 3.2 и рис. 3.10).

Рис. 3.10. Изменение давления и напряжения сдвига на стенке канала по его длине при проскальзывании расплава на стенках

Из уравнений (3.62) и (3.64) следует, что сила трения FR возрастает с удалением от выхода из головки. При этом возможно, что сила трения FR возрастет настолько, что проскальзывание станет невозможным (г < zt). В этом случае напряжение сдвига на стенке хта11, которое вызывает сдвиговое течение, будет меньше, чем напряжение сдвига, необходимое для преодоления сил трения. По этой причине на начальном участке течения наблюдается прилипание расплава к стенкам канала (0 < z < г,). Дальше, на участке 2, < z < L, начинает развиваться проскальзывание на стенках, со­провождаемое сдвиговым течением жидкости (рис. 3.10). Приведенные ниже вы­кладки поясняют этот эффект.

		г
R In	1	(т + 3)V	т
2ЦС	PlPg	$nR3

Из уравнений (3.62), (3.64) и формул, приведенных в табл. 3.5 для степенного закона (2.5), получаем

z^L--

(3.65)

Подробное описание влияния параметров V, т и R на диапазон проскальзывания (L - г,) можно найти в работе [37].

Скольжение расплава по стенкам на всей длине канала будет всегда наблюдаться при Zj = 0. Необходимый для этого объемный расход Сможет быть получен из формулы

ф 7t J?3

(3.66)

Р^Сех Р

т + 3

I R )

2

Давление в точке отрыва расплава от стенки zi вычисляется из уравнений (3.65) и (3.63): 1

(3.67)

Р1

(т + 3)У ф kR3

Давление на входе в фильеру р0 определяется из уравнения

(3.68)

Ро ~ Р dP

~~зг-

■1

dр Ар

С учетом того, что

-* (см. табл. 3.5), а также на основании уравнений

dz L

_	2		_		1 -1	—
(m + 3)V	т	2 L 1	1 - In	l	' (m + З)^7"
ф kR3		R He	PlPg	[ флД3 J	-

(3.65) и (3.66), получаем Ро =

(3.69)

При полном прилипании расплава к стенкам по всей длине канала давлениерон вычисляется по следующей формуле (ср. с табл. 3.5):

1

(m + 3)V

(3.70)

2 L

Роя= р

ф kR3

Это значение больше давления, наблюдающегося в случае, когда на некотором участке канала наблюдается проскальзывание расплава настенках (см. рис. 3.10).

На основании уравнения (3.64), с учетом обобщенной формулы (2.5), а также условия т = xwall ■ г / R (см. табл. 3.2) получаем следующее уравнение:

Проинтегрировав это уравнение и приняв во внимание граничное условие v2 = vg

при г = R, получим уравнение для профиля скоростей:

'2 iGm

PlV-g

(3.72)

v + ф

СL-z)

R

R

gm+ 1 _ rт+ 1

т + 1

exp

Здесь скорость скольжения как и вязкостная составляющая скорости, являют­ся функциями z.

Дальнейшее интегрирование позволяет получить выражение для v ;

R

(L-z)

(3.73)

exp

R

т + 3

vg = -№ьРс)п

Из этого уравнения очевидно, что максимальное значение vg наблюдается в конце головки, а в точке отрыва потока zl (переход от прилипания к проскальзыванию) = 0 (см. уравнение (3.65)).

G О Q. О

На рис. 3.11 показано развитие профиля скорости на участке канала экстру­зионной головки Zj < z < L [37]. Для рассматриваемого здесь примера на участке (L - z) > 2,36 см наблюдается чисто сдвиговое течение, для которого справедливо гра­ничное условие v? = v = 0 на стенке канала, тогда как стержневое течение устанавли­вается на выходе из канала (где v2 ~ vg). Вследствие перестройки профиля скоростей существует и компонента скорости в радиальном направлении г. Этой составляющей можно пренебречь, так как vr« vz [37]. Совершенно очевидно, что явление проскаль­зывания расплава по стенке наиболее выражено к выходу из канала, а в противопо­ложном направлении его влияние уменьшается. Это означает, что проскальзывание

R = 0,41 см ф = 10'5-8979 rr? m/Nm с

У= 9,0 см3/с т = 2,5 р = 1 бар

ИС=0.2

Безразмерный радиус r/R Рис. 3.11. Развитие профиля скорости в канале для <z< L

на стенках начинается в зоне выхода из канала. Подобное явление наблюдали и при реологических исследованиях течений полимерных расплавов.

Хотя метод, представленный в настоящем разделе, правильно описывает тенден­цию полимерных расплавов к проскальзыванию на стенках, существуют и препят­ствия к его практическому применению. Это невозможность точного определения коэффициента трения рсдля полимерных расплавов и проблема корректного выбора скорости проскальзывания на стенках v^. Технические сложности эксперименталь­ных измерений не позволяют получить данные [39], которые зависят как от свойств полимерного расплава, так и от материала стенок канала [25]. Поэтому, к сожалению, выражения, полученные в данном разделе, на настоящий момент представляют боль­ше теоретический, нежели практический интерес.

Следовательно, при разработке экструзионных головок для переработки поли­мерных расплавов, имеющих тенденцию к проскальзыванию на стенках канала, един­ственно доступными альтернативными вариантами являются либо эмпирический подход к определению перепада давления с использованием прототипа конструируе­мой головки, либо использование математических моделей, полученных на основе предположения об отсутствии проскальзывания расплава на стенках и поэтому даю­щих завышенные значения перепада давления по сравнению с наблюдающимися на практике.