Чадвиком [3,6] предложена феноменологическая теория нели­нейной термоэластичности резиноподобных материалов для равно­весных деформаций.

Рассмотрим деформацию материала по трем осям координат (см. рис. 3.4), где Fu F2i F3— компоненты вектора силы F. Сво­бодная энергия деформированного материала, согласно (3.5),

W = (J—TS.

Авторы рассматривают свободную энергию как функцию объема F, температуры Т к силы F. Согласно (3.5) и (3.10),

U = W-TdWjdT 5= - дЧГ/дТ. (3.47)

Удельная теплоемкость при заданной деформации (F, F — постоянные)

. c=dUjdT = — Td2W/dT2=TdS/dT.

Из этих уравнений следует соотношение

т

W(F, T) = W(F, Т9) ■——U (F, ту (JL_i)_^(Z.-i)c(F> 0)d0,

1 ° ° Г0

(3.48)

где То — произвольно выбранная температура.

Вид свободной энергии (3.48) можно конкретизировать, если учесть два предположения:

1) в недеформированном состоянии материал изотропен;

2) внутренняя энергия состоит из двух* независимых частей U=Ui(V) + U2(T) (можно сравнить с уравнением (3.30), из кото­рого следует, что влияние температуры и давления или объема на внутреннюю энергию аддитивно).

Обозначим Nq свободное от напряжений невозмущенное состоя­ние при Т = То. Свободная энергия зависит от F, которая, в свою очередь, зависит от кратностей растяжения Хи Х2, Хз, причем W — симметричная функция К.

Из второго предположения следует, что U при Т = Т0 зависит только от V и что удельная теплоемкость зависит только от Т. Эти свойства позволяют ввести скалярные функции f, g и h следующе­го вида (при Т = То):

/tt)=/(Xi, h, X3)=(Po/0){^(F, T0)~W(jm; T0)}; (3.49)

kr(J) = (?o/k)W(J1/3l, T(J); (3.50)

НЛ=?о/ФТ0Щи{¥, TQ), (3.51)

где pc — плотность полимера в недеформированном состоянии У0; р — плотность в деформированном состоянии; G — модуль сдвига; k — изотермический модуль объемного сжатия; р— коэффициент объемного теплового расширения; / — единичный тензор, а / — безразмерный удельный объем:

J=detF = X2XjX3=ро/р.

Уравнение (3.48) упростится, если использовать скалярные функции (3.49), (3.50) и (3.51):

ЧГ(Х, Т) = ^~ + /?(У) Х_рА(У)(7’-7’0)-

РО ^0 Ро I То )

г

— ЦД - —lj c(6)d6. (3.52)

Т0

Если ).[ ~/.2 —Яз = /1/3, то функция / обращается в нуль и деформа­ция материала становится чисто объемной (дилатационной).

В изотропном упругом материале главные оси тензора напря­жения Коши совпадают с главными осями растяжения в деформи­рованном состоянии. Главные напряжения оа2, аз определяются по формулам

O< = p0y-ixt^ [(i= 1, 2, 3). (3.53)

О hi

После подстановки уравнения (3.52) в соотношения (3.47) и (3.53) получим:

т

S(K Т)=—/(X) k-{g (У)-рГой(У)}+ fc(6)^-; (3.54)

TOC o "1-5" h z Ро^о Po'o J 0

о

Г

. U(j)T)=Wj£-h (J)+[ с (в) йО; (3.55)

Ро J

Ро

То

(X, T)=QJ-%%- ^ + kg'(J)Z--W(J)(T-T0) (3.

<?Х/ То I То J

При этом учтено, что hdg(J)dXi=gf (J) (dJldXi)h=g'(J)J ц Xdh{J)ldXi = hf{])J.

В исходном недеформированном состоянии ль Х2, Яз = /1/3=1; Т = Т0 и Hi = ст2 ^ сгз = 0. Отсчет энтропии S и внутренней энергии U ведется от этого исходного «нулевого» состояния N0, для которого энтропия 5 = 0 и внутренняя энергия U0 = 0. Это условие приводит к нормализации функций f, gnh.

56)

Так как /—симметричная функция ки К2, Яз. которая обраща­ется в нуль, если Xi = 'k2 — kz, то ее производные удовлетворяют сле­дующим условиям при )ч = л2 = 7з:

df/dX j = д//дк2=д//дХ3=0; d2f/dx=d2f/dxl=d2 fjdxl= - 2д2/1дХ2дХ3^=

= - 2д2 /1дк3д)л = - 2д2/1дкхдк2. (3.57)

Из уравнений (3.54), (3.55) и (3.56) следует, что условие 50 = Ог

Uо = 0 и щ = 0 для исходного состояния выполняется только тогда,,

когда g-(l) =g'(l) -=0 и /г(1) = 0.

Модуль сдвига G и изотермический модуль объемного сжатия k могут быть выражены следующим образом:

q 1 двЛ. 1 /dot. од°‘

2 [dXi dXjIo 3 dXjJo

(индекс 0 означает исходное состояние N0).

Далее из уравнения (3.56) с использованием соотношений (3.57) следует, что

(<?2//<Д;)0 = 4/3; (PfldXtdXj)0= - 2/3 (г ^ у). (3.58)

В соответствии с первым предположением об изотропности ис­ходных состояний при всех температурах dffdX, i = 0 в недеформиро - ванном состоянии N0 при всех температурах. Поэтому для недефор - мированного состояния (а, = 0) уравнение (3.56) упрощается:

{J)(- y-j = °- (3.59)

Это соотношение неявно выражает изменение объема недефор - мированного материала при изменении температуры. При любой температуре коэффициент объемного теплового расширения равен J-ldJ/dT. Получив коэффициент расширения в исходном состоянии N0 и считая его р, находим, что Л'(1) = 1. В результате имеем пол­ный набор условий нормализации:

g(l)=g‘/(1)=0; g"(D= 1; A(D=0; А'(1)=1. (3.60)

В качестве примера можно привести числовые значения постоянных (при* 25° С) вулканизованного натурального каучука (без наполнителя): ро=

906,5 кг/м3, G = 4,2- 10s кПа, Л=1,95* 106 кПа, р= 6,36-10~4 К-1,

= 1662 Дж/(кг-К).

Чадвик [3.6] для решения практических задач термоупругост» предложил эмпирические формы функций отклика.

Отклик резины на изменение объема экспериментально изучен в; опытах под давлением в изотермических условиях. Теоретически учет сжимаемости должен быть сделан путем учета в уравнение (3.56) следующих соотношений:

Х1 = Х2=Х3=У1/3; ai = a2=ag~ —Р-

Учитывая (3.57), из уравнения (3.56) получим

P/k=-gf (J) (Г/Г0) + рА' (/) (Г - Г0).. (3.61>

Для приведенной температуры Г=Г0 выражение упрощается:

P! k=

Уравнение (3.61), имеющее смысл уравнения состояния недеформи - рованного материала (уравнения состояния р = р (V, Т)), в эмпи* рической форме выражается следующим образом:

pik=~~ (3.62)

mT о

где константы m> 1 и п> 1.

Функцию отклика f{% 1, Я2, Яз), которая представляет собой по •физическому смыслу высокоэластический потенциал, можно выра­зить одним из уравнений, предложенных в предыдущем разделе, Чадвик предлагает взять уравнение (3.44) Огдена и записать в форме

во

/(*1, ^2» — ЗУ^3а»), (З. бЗ)

учитывая, что f(K 1, Я2, Я3) =0 при =Л2==Я3 = /1/3. Это уравнение удовлетворяет условиям (3.58) в том случае, если

^nan = 2G.

П—

Примерные значения констант для ненаполненной резины из натурального каучука:

«!== 1,3; а2=5,0; а3= — 2,0; |а1==0,63 МН/м2; 1х2=0,0012 МН/м2; [х3= —0,01 МН/м2.

Наличие трех членов (п = 3) в уравнении (3.63) обеспечивает хорошую точность расчетов деформированного состояния сшитых эластомеров при изменении температуры, действий давления и внешних сил, приводящих к высокоэластическим деформациям. Процессы деформации и изменения температуры должны быть мед­ленными, чтобы обеспечить условия, близкие к равновесным про­цессам.