Распределение напряжений и с учетом упрочнения может быть найдено совместным решением уравнения (9.3) и уравнения пластичности (9.4). Однако, в последние два уравнения вместо подставляют истинное напряжение, определяемое по кривым упрочнения, в зависимости от величины деформаций. Используем линейную зависимость истинного напряжения от относительного уменьшения площади поперечного сечения , т. е. . Причем при учете упрочнения воспользуемся кривой истинных напряжений 2-го вида. Воспользуемся также эквивалентностью деформаций. Эквивалентными деформациями называются такие, которые изменяются в одинаковых пределах и равноценны по упрочняющему эффекту. Например, относительное сужение поперечного сечения при растяжении эквивалентно относительному укорочению при сжатии. Значение эквивалентных деформаций при изгибе (пренебрегая изменением ширины заготовки) определяем для зоны сжатия:

(10.1)

Для растянутых:

(10.2)

Известно, что линейная зависимость между истинным напряжением и относительным сужением по диаграммам 2-го вида определяется уравнением касательной

(10.3)

Где истинное напряжение, экстраполированный предел текучести, модуль упрочнения, степень деформации.

Используя уравнения (10.1), (10.2) и (10.3), можно записать для зоны сжатия:

(10.4)

И растяжения

(10.5)

Решая совместно уравнения (9.3), уравнение пластичности (9.4) и (10.4) для зоны сжатия, получим:

(10.6)

Интегрируя в пределах от до и определив значение постоянной интегрирования для граничных условий и получим

(10.7)

И

(10.8)

Для зоны растяжения

(10.9)

Интегрируя от до и находя из условия и , получим:

(10.11)

(10.12)

10.2. Изгибающий момент при гибке.

Величина внешнего изгибающего момента, потребного для осуществления пластического изгиба, может быть определена из условия равенства внешних моментов сил, моментам внутренних сил, т. е.

(10.10)

Момент внутренних сил определяется как сумма моментов, создаваемых напряжениями и определяемых в общем случае интегралом вида для участков по толщине заготовки, в которых не меняется, т. е.

(10.11)

Полагая, что нейтральный слой при гибке делит толщину заготовки пополам, т. е. и деформация идет без упрочнения, получим:

(10.12)

Момент сопротивления при пластическом изгибе

(10.13)

А при упругой деформации

(10.14)

Поэтому

(10.15)

И с учетом утонения

В общем случае момент сопротивления зависит от формы поперечного сечения заготовки, так что можно сказать, что при изгибе где коэффициент, учитывающий форму поперечного сечения заготовки. для прямоугольного сечения; для круглого; двутаврового.

При изгибе без упрочнения по относительно маленькому радиусу величина изгибающего момента внутренних сил определяется аналогично, но вместо надо поставить величину .

Аналогично можно определить момент внутренних сил и при учете упрочнения. Однако это сложные вычисления. В целях их упрощения будем считать, что напряжения в крайнем волокне определяется по кривой истинных напряжений 2-го вида или по касательной к этой кривой, пренебрегая смещением нейтрального слоя, т. е. наличием радиальных напряжений. По Марковицу, эпюра распределения напряжений для сжатой зоны будет (в растянутой зоне тоже, но с обратным знаком). По Марковицу, напряжение на нейтральном слое , истинное напряжение производимое деформацией.

(10.16)

Где коэффициент, учитывающий упрочнение. Упрочнения не будет при