Одна из главных особенностей, отличающих многослойные эле­менты от соответствующих однослойных, связана с их повышенной по­датливостью на сдвиг. Часто возникают существенные трудности при определении контактного давления, межслоевых нормальных и ка­сательных напряжений в многослойных конструкциях. В связи с этим развитие эффективных аналитических методов исследования напря­женно-деформационного состояния (НДС), определение контактной жесткости многослойных цилиндрических труб является одним из важных вопросов в данной проблеме.

В настоящей работе рассматривается феноменологический и дискретный подход к решению контактных задач для многослойных

Рис. 1. Многослойная труба при воздействии внешних силовых факторов. цилиндрических труб. Для описания их состояния предлагается при­менять уравнения обобщенной теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью *. ДИСКРЕТНЫЙ подход

1. Постановка аадачи и исходные соотношения. Рассмотрим n-слойную цилиндрическую оболочку (рис. 1). Слои представляют собой тонкие цилиндрические оболочки с разными упругими и гео­метрическими характеристиками. Радиусы и толщины слоев обозна­чим через Ri и 2Ы соответственно, причем Ri - f - hi = Ri+i — Ы+i, Ri — hi = Ri j + hi-1 (I = 1 соответствует нижнему слою). Задача заключается в определении нормальных и касательных напряжений на поверхностях раздела слоев и деформированного со­стояния оболочки. Уравнения, описывающие ЭДС і-го слоя оболочки в случае плоской деформации, имеют вид: уравнения равновесия dNi 1 _ , „ dM,

7г“5^ + Тг~<?і + 2У2“0’

0;

соотношения упругости ^ = “й7 Ыг + Wt) ’ Mi = Di '

где Bi = 2£i7ij/(l — v?) — жесткость при сжатии (растяжении); Di = 1 2 r ' = - j - — цилиндрическая жесткость; Лі = 2k'Gihi — жесткость на сдвиг; Ей к', Gt, v; — модуль упругости, коэффициент и модуль сдвига, коэффициент Пуассона і-го слоя; vi, Wi — составляющие пе- * Пелех В. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью,— Ки­ев : Наук, думка, 1973.— 248 с.

A' [ , 1 dWi Vi Qi Ai Г7i + Д. d(p Д.

-~Qi + 2Y = 0,

Лі

(1)

(2)

ремещения точек срединнои поверхности; Yi — угол поворота нор­мального элемента

і т,+ + Tj J xf — Tj J qf — ql J qf + q{ ^

і і = j ’ * 2 =------------ 2--- ’ 1 = ---------- 2---------- ’ 2 =--------- 2--------

Предположим, что при деформировании оболочки все ее слои работают совместно без скольжения. Это означает, что напряжения и перемещения на поверхностях спая слоев должны удовлетворять условиям контакта (для і-го, (і - f 1)-го слоев)

xt = ti+i = xh qt = qi+i = Qu (2 = 1, ra—1). (4)

Задается изменение кривизны каждого слоя

d2wi

Wi + "v” = w*+* + - ф - - • (5)

Пусть рассматриваемая конструкция подвержена воздействию сосредоточенной нагрузки qt = Р0Ь (ф) (ф) — дельта-функция

Дирака). Предполагается, что касательные напряжения отсутству­ют, т. е. тГ = тї+і = 0.

Определяющая система уравнений в данном случае имеет вид

<РЕ, _ _ dH, г? dF.

г + Fi = RiZi,

і

dtpa Bi гіф

d2 wi R, 2_ „ dVi

-^T + Wi = — Ri Z{, (6)

і ( dv;

где /*; = + Wij — разрешающая функция.

Продольная сила, перерезывающая сила и изгибающий момент выражаются через функцию Fi следующим образом:

dF, D, dv;

N* = B#u ^ = - л7^.

Тангенциальное перемещение точек срединной поверхности опреде­ляется по формуле

2 dFi, D,

Vi = Sl4^ + RiVі + "ЛІГ'

где

И = Ві/Л'ь {Л - 1) = ДіДІ/Яі.

Параметр s? характеризует сдвиговую сопротивляемость оболочки.

2. Метод решения. Общее решение системы уравнений (6) стро­ится с помощью преобразования Лапласа и представляется в виде интегралов типа свертки. Так, выражение для прогиба имеет вид

(r'i + 4)

ф Sill ф —■

Wi (ф) = diti cos ф — (1 — cos ф) Rtdz, i +

н

— (r — 1) (1 — cos ф) d3ti 4- X

(

Неизвестные константы dij; cfe.*; ^зд определяются из условий симмет­рии относительно плоскости <р = л/2

(В)

при ф = л/2.

Подставляя выражения для dij, d-з, і в формулу для ил (ф) и вводя

обозначения

я/2

я/2

Я/2

О

О

О

окончательно получаем следующую расчетную формулу для Wi (ф):

3. Определения межслойного контактного напряжения. Ограни­чимся случаем двухслойной конструкции. Выполнение условия кон­такта (5) приводит рассматриваемую задачу к интегральному урав­нению Вольтерра второго рода относительно искомого межслойного контактного напряжения. Решая полученное уравнение с помощью интегрального преобразования Лапласа, находим в явном виде вы­ражение для контактного давления между слоями

(И)

q (ф) = Ct ch ац> + С2 sh аф + С36 (ф) - f С4,

где Сг, С2, С3, С4 — некоторые константы, определяемые через упругие и геометрические параметры оболочки и неизвестные константы Аи Л2, А3. Последние определяются из линейной алгебраической систе­мы уравнений, полученной в результате подстановки (11) в (9).

Дискретный подход сопряжен со значительными математически­ми трудностями.

В качестве определяющего параметра, характеризующего сдвиго­вую податливость многослойных трубопроводов, предлагается отно­шение к = E/GMH модуля Юнга Е к модулю сдвига металлического пакета С? мн..

Как указывалось выше, определение контактной жесткости мно­гослойных труб ведется на базе общей теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Используя эту теорию, можно получить ре­шение задачи об определении прогибов в монолитной трубе, подвер­женной действию двух диаметрально противоположных сосредото­ченных нагрузок (рис. 2).

Как известно, оценка кольцевой жесткости обечайки сводится к определению максимальных перегибов кольца. Для рассматрива­емой задачи максимальный прогиб определяется инженерной форму­лой вида

Wxany. — 9п

Р Г (s2 + г2) 2 В 4

где

Сопоставление теоретических и экспериментальных жесткостных характеристик дает возможность установить зависимость

E/GMH = / (/г),

W

Рис. 2. Монолитная труба при воздействии сосредоточенных нагрузок.

Рис. 3. Распределение ра­диального перемещения в зависимости от параметра податливости на сдвиг:

гМОН ~ А''

*-Я/Чюн = 2,2 ;2-S/Gmh = = 40; 4 —

где п — количество слоев. Численные расчеты показывают сущест­венное влияние сдвиговой податливости к на величину радиального перемещения конструкции (рис. 3).