ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

Одна из главных особенностей, отличающих многослойные эле­менты от соответствующих однослойных, связана с их повышенной по­датливостью на сдвиг. Часто возникают существенные трудности при определении контактного давления, межслоевых нормальных и ка­сательных напряжений в многослойных конструкциях. В связи с этим развитие эффективных аналитических методов исследования напря­женно-деформационного состояния (НДС), определение контактной жесткости многослойных цилиндрических труб является одним из важных вопросов в данной проблеме.

В настоящей работе рассматривается феноменологический и дискретный подход к решению контактных задач для многослойных

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

Рис. 1. Многослойная труба при воздействии внешних силовых факторов.

цилиндрических труб. Для описания их состояния предлагается при­менять уравнения обобщенной теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью *.

ДИСКРЕТНЫЙ подход

1. Постановка аадачи и исходные соотношения. Рассмотрим n-слойную цилиндрическую оболочку (рис. 1). Слои представляют собой тонкие цилиндрические оболочки с разными упругими и гео­метрическими характеристиками. Радиусы и толщины слоев обозна­чим через Ri и 2Ы соответственно, причем Ri - f - hi = Ri+i — Ы+i,

Ri — hi = Ri j + hi-1 (I = 1 соответствует нижнему слою).

Задача заключается в определении нормальных и касательных напряжений на поверхностях раздела слоев и деформированного со­стояния оболочки. Уравнения, описывающие ЭДС і-го слоя оболочки в случае плоской деформации, имеют вид: уравнения равновесия

dNi 1 _ , „ dM,

7г“5^ + Тг~<?і + 2У2“0’

0;

соотношения упругости

^ = “й7 Ыг + Wt) ’ Mi = Di '

где Bi = 2£i7ij/(l — v?) — жесткость при сжатии (растяжении); Di =

1 2 r '

= - j - — цилиндрическая жесткость; Лі = 2k'Gihi — жесткость

на сдвиг; Ей к', Gt, v; — модуль упругости, коэффициент и модуль сдвига, коэффициент Пуассона і-го слоя; vi, Wi — составляющие пе-

* Пелех В. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью,— Ки­ев : Наук, думка, 1973.— 248 с.

A' [ , 1 dWi Vi

Qi Ai Г7i + Д. d(p Д.

-~Qi + 2Y = 0,

Лі

(1)

(2)

ремещения точек срединнои поверхности; Yi — угол поворота нор­мального элемента

і т,+ + Tj J xf — Tj J qf — ql J qf + q{ ^

і і = j ’ * 2 =------------ 2--- ’ 1 = ---------- 2---------- ’ 2 =--------- 2--------

Предположим, что при деформировании оболочки все ее слои работают совместно без скольжения. Это означает, что напряжения и перемещения на поверхностях спая слоев должны удовлетворять условиям контакта (для і-го, (і - f 1)-го слоев)

xt = ti+i = xh qt = qi+i = Qu (2 = 1, ra—1). (4)

Задается изменение кривизны каждого слоя

d2wi

Wi + "v” = w*+* + - ф - - • (5)

Пусть рассматриваемая конструкция подвержена воздействию сосредоточенной нагрузки qt = Р0Ь (ф) (ф) — дельта-функция

Дирака). Предполагается, что касательные напряжения отсутству­ют, т. е. тГ = тї+і = 0.

Определяющая система уравнений в данном случае имеет вид

<РЕ, _ _ dH, г? dF.

г + Fi = RiZi,

і

dtpa Bi гіф

d2 wi R, 2_ „ dVi

-^T + Wi = — Ri Z{, (6)

і ( dv;

где /*; = + Wij — разрешающая функция.

Продольная сила, перерезывающая сила и изгибающий момент выражаются через функцию Fi следующим образом:

dF, D, dv;

N* = B#u ^ = - л7^.

Тангенциальное перемещение точек срединной поверхности опреде­ляется по формуле

2 dFi, D,

Vi = Sl4^ + RiVі + "ЛІГ'

где

И = Ві/Л'ь {Л - 1) = ДіДІ/Яі.

Параметр s? характеризует сдвиговую сопротивляемость оболочки.

2. Метод решения. Общее решение системы уравнений (6) стро­ится с помощью преобразования Лапласа и представляется в виде интегралов типа свертки. Так, выражение для прогиба имеет вид

(r'i + 4)

ф Sill ф —■

Wi (ф) = diti cos ф — (1 — cos ф) Rtdz, i +

н

— (r — 1) (1 — cos ф) d3ti 4- X

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

(

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

Неизвестные константы dij; cfe.*; ^зд определяются из условий симмет­рии относительно плоскости <р = л/2

(В)

при ф = л/2.

Подставляя выражения для dij, d-з, і в формулу для ил (ф) и вводя

обозначения

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

я/2

я/2

Я/2

О

О

О

окончательно получаем следующую расчетную формулу для Wi (ф):

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

3. Определения межслойного контактного напряжения. Ограни­чимся случаем двухслойной конструкции. Выполнение условия кон­такта (5) приводит рассматриваемую задачу к интегральному урав­нению Вольтерра второго рода относительно искомого межслойного контактного напряжения. Решая полученное уравнение с помощью интегрального преобразования Лапласа, находим в явном виде вы­ражение для контактного давления между слоями

(И)

q (ф) = Ct ch ац> + С2 sh аф + С36 (ф) - f С4,

где Сг, С2, С3, С4 — некоторые константы, определяемые через упругие и геометрические параметры оболочки и неизвестные константы Аи Л2, А3. Последние определяются из линейной алгебраической систе­мы уравнений, полученной в результате подстановки (11) в (9).

Дискретный подход сопряжен со значительными математически­ми трудностями.

В качестве определяющего параметра, характеризующего сдвиго­вую податливость многослойных трубопроводов, предлагается отно­шение к = E/GMH модуля Юнга Е к модулю сдвига металлического пакета С? мн..

Как указывалось выше, определение контактной жесткости мно­гослойных труб ведется на базе общей теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Используя эту теорию, можно получить ре­шение задачи об определении прогибов в монолитной трубе, подвер­женной действию двух диаметрально противоположных сосредото­ченных нагрузок (рис. 2).

Как известно, оценка кольцевой жесткости обечайки сводится к определению максимальных перегибов кольца. Для рассматрива­емой задачи максимальный прогиб определяется инженерной форму­лой вида

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

Wxany. — 9п

Р Г (s2 + г2) 2 В 4

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

где

Сопоставление теоретических и экспериментальных жесткостных характеристик дает возможность установить зависимость

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

E/GMH = / (/г),

W

Рис. 2. Монолитная труба при воздействии сосредоточенных нагрузок.

ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБ

Рис. 3. Распределение ра­диального перемещения в зависимости от параметра податливости на сдвиг:

гМОН ~ А''

*-Я/Чюн = 2,2 ;2-S/Gmh = = 40; 4 —

где п — количество слоев. Численные расчеты показывают сущест­венное влияние сдвиговой податливости к на величину радиального перемещения конструкции (рис. 3).

Оставить комментарий