В данном случае, поскольку центр массы рабочего тела не пере­мещается, внешняя кинетическая энергия рабочего тела будет величиной постоянной и изменение ее будет равно нулю. Тогда первый закон термодинамики можно записать в следующем виде:

Q = AU + L, (1.30)

(1.25) (1.26) (1.27) (1.28)

Где L— работа расширения-сжатия для т кг рабочего тела, Дж.

Для 1 кг рабочего тела первый закон термодинамики выглядит так:

Q = Аи + I. (1.31)

Найдем математическое выражение работы расширения-сжатия и дадим ей графическое толкование. Пусть в результате протекания термодинамического процесса рабочее тело массой т кг увеличится в объеме на DV (рис. 1.1). В случае равномерного распределения по поверхности рабочего тела давления среды элементарная работа против этого давления в результате увеличения объема тела от V до V + D К будет равна сумме элементарных работ перемещения элементар­ных площадок d/ первоначальной поверхности рабочего тела на элементарном пути DS, т. е.

Со

SL = X>d/dS = fpd/dS, і

Где р Df — элементарная сила.

На элементарном пути dS давление р можно считать постоян­ным и тогда элементарная работа будет:

5L = р Jd/dS = pdV, (1.32)

Так как J Df DS — есть сумма бесконечно большого числа бесконечно малых объемов, т. е. приращение объема рабочего тела DV.

Так как всегда р > 0, то работа будет положительной, если DV > 0, т. е. когда рабочее тело расширяется. Следовательно, поло­жительная работа есть работа расширения. Если DV < 0, т. е. рабочее тело сжимается, то работа будет отрицательной; следовательно, Отрицательная работа есть работа сжатия, совершаемая внешним источником энергии над газом.

В соответствии с уравнением (1.32) элементарная работа 1 кг рабочего тела

8/ = р Dv, (1.33)

Где 8 — знак неполного дифференциала.

Когда рабочее тело изменяет свое состояние от значений пара­метров Pt, Ті и VІ до рг, Т2 и V2, оно совершает работу, равную

L = ^pdv. (1.34)

В координатах р, v (рис. 1.2) изобразим равновесный термо­динамический процесс 1-2. При изменении объема 1 кг рабочего тела на бесконечно малую величину Dv можно считать давление постоян­ным. Тогда площадь заштрихованной элементарной площадки будет равна рDv, а вся площадь а2Ь - сумме этих элементарных пло­щадок, т. е.

Пл. A2B — J"1 р di' = /.

Следовательно, работа расширения-сжатия численно равна площади
в координатах р, и, ограниченной кривой процесса, начальной и конечной ординатами и осью абсцисс.

Рис. 1.2. Графическое изобра­жение работы расширения- сжатия в координатах р, V

Рис. 1.1. К определе­нию работы расшире­ния-сжатия

Из рис. 1.2 и формулы (1.34) следует, что в отличие от внутрен­ней энергии работа является функцией процесса, а не состояния.

(1.35) (1.36)

(1.37)

Зная математическое выражение работы расширения-сжатия, форму­лы (1.30) и (1.31), представляющие собой математическое выражение первого закона термодинамики, можно представить в виде

Q = AU + fv2lPdU; q — Аи 4- J^J р dv

И в дифференциальной форме

8 Q — du + р dv.

Из этих формул видно, что теплота, равная изменению внутрен­ней энергии и работы, будет зависеть от характера протекания термодинамического процесса. Отсюда следует, что если дифференциал внутренней энергии есть полный дифференциал, то дифференциал теплоты, так же как и дифференциал работы, не является полным дифференциалом.

Dp. (1.40)

(1.38)

(1.39)

Подставляя в уравнение (1.37) значения du из уравнений (1.25) — (1.27), получим

Если в уравнение (1.37) подставить р Dv — d (Pv) — V Dp, то получим 5Q = Du + D(Pv) — Vdp = D(U + Pv) — и dp. (1.41)

Так как данным значениям р и V соответствует единственное значение и, то (и + Pv) есть функция термодинамического состояния рабочего тела, т. е. его параметр состояния; этот параметр называют Энтальпией и обозначают H. Ее единица — Дж; единица удельной энтальпии — Дж/кг. Следовательно, с учетом уравнения (1.41) первый закон термодинамики может быть записан так:

6Q = dh — v dp. (1.42)

В изобарном процессе (р = const) V dp = 0 и, следовательно,

5 qp = dh, (1.43)

Т. е. количество энергии, сообщенное рабочему телу в форме теплоты в изобарном процессе, равно изменению его энтальпии.

Теплоемкость газов. Отношение количества теплоты, сообщаемой системе (телу) в каком-либо процессе, к соответствующему из­менению температуры называется теплоемкостью. Теплоемкость тела, соответствующая бесконечно малому изменению температуры, называет­ся истинной теплоемкостью, т. е.

С = SQ/DT. (1.44)

Теплоемкость тела, соответствующая изменению температуры на конечную величину, называется средней теплоемкостью тела, т. е.

Ст = Шг - fx). (1.45)

Теплоемкость единицы массы называется массовой удельной тепло­емкостью или просто массовой теплоемкостью и обозначается буквой с, ДжДкг • К).

Теплоемкость единицы объема при нормальных условиях назы­вается объемной удельной теплоемкостью или просто объемной теплоемкостью. Она обозначается буквой с', Дж/(м3 ■ К).

Теплоемкость 1 кмоля тела называется мольной теплоемкостью Цс, ДжДкмоль • К). Из этих определений вытекает следующая связь между массовой, объемной и мольной теплоємкостями:

С = с' V = цсДі. (1-46)

Так как теплота зависит от процесса, то теплоемкость есть функция процесса, и поэтому всегда говорят о теплоемкости того или иного процесса. Это обстоятельство учитывается при написании той или иной теплоемкости, например: массовая теплоемкость при постоянном давлении обозначается ср, мольная теплоемкость при постоянном объеме — объемная средняя теплоемкость при постоян­ном объеме — C'Vm и т. д.

С учетом уравнения (1.39) массовая теплоемкость термодинами­ческого процесса любого рабочего тела

Я I +Р Dv IT

Ди

_ Bq _ / ди c~~df~[~df] +

Из этой формулы можно получить выражение массовой теплоем­кости в любом термодинамическом процессе. Так, массовая теплоем­кость при постоянном объеме, или изохориая теплоемкость, очевидно, будет равна

- __ / D" С°~ Dт~дт);

(1.48)

Отсюда следует, что если известно с„ для реального рабочего тела, то можно найти изменение его внутренней энергии в изохорном процессе:

Duv = cvdT. (1.49)

Согласно квантовой теории теплоемкости изохорная теплоемкость идеального газа является функцией только температуры и поэтому для него в любом термодинамическом процессе изменение внутренней энергии может быть рассчитано по формуле

Du = cv dT, (1.50)

Или

Au = ^c0dT. (1.51)

С учетом (148) теплоемкость термодинамического процесса для любого рабочего тела может быть выражена уравнением

D Г' Dv IT

Ди

(1.53)

- Д (RT

Dv ~дТ

= 0;

(1.54)

Dy

Ди

(1.52)

C = cv-1-

Отсюда изобарная теплоемкость

Cp = Cv +

Для идеального газа

МЛ = FcvdT dv )т dv )т

И, следовательно, для него

(1.55)

Ср = Cv + R.

Эта формула, называемая законом Майера, является одной из важнейших в теории теплоемкости. Из формулы (1.54) видно, что

R

Р Dv

(1.56)

ДТ

Т. е. газовая постоянная есть удельная работа газа в изобарном процессе при изменении температуры на один градус.

Умножая формулу (1.55) на ц, получим, что мольная теплоемкость идеального газа

Цср = цс„ + 8314. (1.57)

Поделив уравнение (1.57) на объем 1 кмоля, при нормальных усло­виях, т. е. на 22,4 м3/кмоль, получим, что объемная изобарная тепло­емкость идеального газа

С'р — C'V 4- 371,2. (1.58)

Так как изменение энтальпии численно равно теплоте изобарного процесса, то массовая изобарная* теплоемкость может быть рассчитана по формуле

Отсюда следует, что изменение энтальпии любого рабочего тела в изобарном процессе может быть рассчитано через изобарную тепло­емкость:

Dhp = с pdT. (1.60)

Согласно квантовой теории теплоемкости изобарная теплоемкость идеального газа зависит только от температуры, и поэтому в любом термодинамическом процессе идеального газа изменение энтальпии может быть найдено из формулы

Dh = cpdT. (1.61)

Как указывалось выше, молекулярно-кинетическая теория для идеального газа дает линейную зависимость внутренней энергии от температуры [см. формулу (1.24)]. В этом случае теплоемкость идеаль­ного газа не зависит от температуры, так как

Ь DT dT v

Для одноатомных газов І = 3, и поэтому для них цс„ = 4155 • 3 — = 12465 и іср »цс„ + 8314 = 20779 ДжДкмоль • К). Соответственно для двух­атомных газов (/ = 5) xcv = 4155 • 5 = 20 775 и цср = 20 775 4- 8314 = = 29 089 ДжДкмоль • К). Наконец, для трехатомных газов и более (г = 7) цс„ = 4155 • 7 = 29085 и цср = 29085 + 8314 = 3,74-104 ДжДкмоль • К). Найденные опытным путем мольные теплоемкости для реальных одно - и двухатомных газов при температурах 15...20°С удовлетворительно согласуются с вычислен­ными по формуле (1.62) величинами. Однако для трехатомных газов полу­чаются большие расхождения вычисленных значений мольных теплоемкостей с экспериментально найденными. Опытами установлено, что для двух- и много­атомных газов теплоемкость зависит от основных параметров состояния и в первую очередь от температуры. Для реальных газов, практически под­чиняющихся уравнению состояния Менделеева — Клапейрона, теплоемкость можно принять не зависящей от давления. Однако для сжатых газов и паров влияние давления на теплоемкость весьма значительно.

Как общее явление, теплоемкость газов возрастает с повышением температуры. Согласно новейшим опытным исследованиям зависимость теплоемкости от температуры весьма сложная и для каждого газа имеет свой характер, и поэтому при всех термодинамических рас­четах следует пользоваться таблицами, составленными по опытным материалам.

Отношение изобарной теплоемкости к изохорной называют коэф­фициентом Пуассона и обозначают буквой к:

К = cp/cv = c'p/c'v = xcp/[icv. (1.63)

Согласно молекулярно-кинетической теории газов, можно написать,

Что

Iicv + 8314 4155/ + 8314 < 2

К =----------------- =--------- ——------ = 1 + —. (1.64)

Lie, 4155/ І 1

Для одноатомных газов / = 3 и, следовательно, к = 1,667, для двух­атомных газов І = 5 и /с = 1,4 и, наконец, для трехатомных газов и более / = 7 и к = 1,29. Опытные данные по определению коэф­фициента Пуассона для реальных газов удовлетворительно согласуют­ся с расчетными по формуле (1.64) только при невысоких темпе­ратурах. Так как для реальных газов теплоемкость возрастает с повышением температуры, то, очевидно, величина к должна умень­шаться:

H __ [LCP _ VLCp + 8314 _ 1 8314 _ 8314

Fc — — -------------------- — 1 Н-------- — 1 + ------ ;—----------- .

|іс„ цс„ |іс„ а + bt + ...

Так, для двухатомных газов экспериментально установлено, что К = 1,4 - 0,00005г.

Зная теплоемкость газов, нетрудно вычислить теплоту данного

Термодинамического процесса. В самом деле, из формул (1.44) и (1.45) следует, что

&Q = cdT, q = с dt, (1.65)

Или

Q = cm{t2 - її). (166)

Понятно, что в технических расчетах формула (1.66) предпочти­тельнее формулы (1.65). При пользовании формулой (1.66) необхо­димо уметь вычислять среднюю теплоемкость в заданном интервале температур от до T2. Для этой цели выразим среднюю теплоем­кость ст в интервале температур от fx до T2 через средние теплоем­кости от 0 до H и от 0 до T2, которые обычно приводятся в справочной литературе. Зависимость теплоемкости от температуры дана на рис. 1.3, из которого видно, что площадь заштрихованной элементарной площадки равна Cdt — Bq, и, следовательно, площадь а!2Ь, Равная сумме этих элементарных площадок, т. е. jj^Cdt, есть теплота процесса на участке 1-2. Построив прямоугольник а34Ь, равно­великий пл. а12Ь, получим в качестве высоты его среднюю тепло­емкость с,„, построенную на участке 1-2. Таким образом, можно написать, что

Пл. Al2B — с dt = Q — cm(i2 — 11). (1.67)

Аналогично можно напи­сать, что

Пл. Oola = Jfl cdt =

= cMi {h ~ 0)°= cmlti (1.68)

Пл. Oo2b = $hcdt = = C„2 ih - 0) = cm2t2. (1.69) Из рис. 1.3 видно, что пл. al2b =

(1.70)

= пл. Oo2b — пл. Oola. Подставляя в уравнение (1.70) вместо площадей их выражения через средние теплоемкости по уравнениям (1.67), (1.68) и (1.69), получим

(1.71)

- *i) = cm2t2 - cmitu

Откуда

Ст2Ї2 ~ Cml^L T2 - ti

Если газовая смесь находится в равновесном состоянии, то, очевидно, количество теплоты смеси равно сумме теплот компонентов,

Л

Т. е. бсм = Y, 6ь и поэтому, например, массовую теплоемкость смеси 1

(1.72)

Можно найти следующим образом:

FnCMcCMAtCM = ]Г mjCj AtCK

Откуда

И и

Рис. 1.3. Зависимость теплоемкости от температуры

= ) Ci = ) Qid.

(1.74)

Li™™ Zj

Рассуждая аналогичным образом, получим формулы для вычисления объемной и мольной теплоемкостей смеси:

(1.73)

ЦСсм = X ri1Ci-

Энтропия. В математике доказывается, что если дифференциал какой-либо функции нескольких переменных не есть полный дифферен­циал, то всегда можно найти такую функцию, при умножении на которую этот дифференциал превращается в полный. Такая функция называется интегрирующим множителем.

Интегрирующим множителем дифференциального уравнения теплоты является величина, обратная абсолютной температуре, т. е. 1/Т. Напи­шем, например, уравнение (1.39) с учетом уравнения (1.48):

Dv

(1.75)

Ди

■ +р

Ь Q = cvdT +

Dv

И умножим его на интегрирующий множитель 1/Т, тогда получим полный дифференциал некоторой функции термодинамических пара­метров состояния

Bq_ Т

Dv T

D T С» - jr +

(1.76)

Ds

+ P

Для того чтобы показать, что уравнение (1.76) действительно является полным дифференциалом, надо иметь конкретную зависимость между термодинамическими параметрами состояния. Так, для идеаль­ного газа duT=f«dT и р = RT/v, тогда, подставляя эти значения в уравнение (І.76), получим

СIT _ Dv

8Q

(1.77)

Ds =

Су —=r + R — T v

Нетрудно видеть, что уравнение (1.77) представляет собой полный дифференциал. В самом деле, интегрируя это уравнение, получим

F

S2 ~ Si

Из этого уравнения видно, что изменение параметра s не зависит от процесса, а определяется исключительно начальными и конечными значениями Т и v. Величина s, являющаяся функцией параметров состояния, сама может быть рассмотрена как функция состояния. Впервые эту функцию нашел Р. Клаузиус при анализе второго закона термодинамики и назвал ее энтропией. Он показал (см. с. 65), что дифференциал энтропии ds = бq/T является полным дифференциалом для реального рабочего тела, находящегося в любом агрегатном состоянии. Как следует из уравнения (1.76), единица удельной энтропии — ДжДкг • К).

Поскольку три основных параметра рабочего тела связаны между собой уравнением состояния, энтропию его можно выражать не только как s — f(T, v), но и как s = ср (Т, р) и s = v|/ (р, v).

1 , D, у2 Cv In —;—b R 111-- 71

(1.78)

Для реального рабочего тела уравнение (1.40) путем несложных преобразований [с учетом формул (1.40), (1.53) и (1.59)] можно привести к виду

Bq

C'pdT

(1.79)

И, следовательно,

Л

Ds

(1.80) 21

Dp

Ds = с,

S2 - Sl = ср In (Т2/Ті) - Л In (р2/ра). (1.83)

Следовательно, если для данного ра­бочего тела известна его энтропия и один из основных параметров состоя­ния, то тем самым термодинамическое состояние этого тела вполне определено.

Отсюда следует, что линия в любых координатах Т, S; р, Т или Т, V будет изображать равновесный термо­динамический процесс. Наряду с координатами р, V в термодинамике находят широкое применение координаты Т, S, поскольку в них мож­но графически определить теплоту процесса и истинную массовую теплоемкость. Докажем эти два весьма ценные - свойства Т, s-диа - граммы.

На 75-диаграмме, изображенной на рис. 1.4, кривая АВ представляет термодинамический процесс. Если пренебречь бесконечно малой вели­чиной высшего порядка, то площадь заштрихованной элементарной площадки будет равна Tds, а так как ds = Bq/T, то, следовательно, эта площадь равна Tds = 8Q. Площадь ABCD равна сумме элементар­ных площадок, т. е. пл. ABCD = j Т ds = j 8Q = Q - теплоте термодина­мического процесса АВ, что и требовалось доказать.

Так как всегда Т > 0, то положительному приращению^ энтропии соответствует положительное приращение энергии в форме теплоты. Другими словами, увеличение энтропии связано с подводом теплоты в данном термодинамическом процессе и, наоборот, уменьшение энтропии — с отводом теплоты. Следовательно, процесс, изображенный на рис. 1.4, протекает с подводом теплоты к рабочему телу.

Если провести касательную к линии процесса АВ в точке Вто подкасательная ЕС дает значение массовой теплоемкости в данном состоянии рабочего тела по величине и знаку. В самом деле, из по­добия треугольников ЕВ'С и В'НК следует, что ЕС/СВ' = KB'/КН. Так как С'В' = Т; В'К = DS и КН = dТ, (с точностью до второго порядка малости), то

Св,

ЕС

В'К

СВ'

~Df

КН d Т

Для идеального газа ~ <r J)p~j

Или

Рис. 1.4. Графическое изобра­жение теплоты и теплоем­кости процесса в координа­тах Т, S

Dv ІТ

(1.81)

Подставляя выражение (1.81) в урав­нение (1.80), получим

6Т Т

R

(1.82)

Ds

Что и требовалось доказать. Подкасательная положительна, т. е. с > 0, Если она лежит влево от вертикали, проведенной через данную точку кривой, и, наоборот, отрицательна, если лежит вправо.

Термодшмяшзе процессы, протекающие в идеальном газе. Термо­динамический процесс, протекающий в идеальном газе при постоянной теплоемкости, называется политропным. Политропный процесс харак­теризуется заданны;.! коэффициентом а распределения теплоты между изменением внутренней энергии Дм и работой /. Для каждого поли- тропного процесса а — Au/Q — const. Выведем уравнение политропы.

Для идеального газа в соответствии с уравнениями (1.37), (1.42), (1.50) и (1.61) можно написать:

БQ = с„ с! Т ~ с, D Т + pdv и 5Q = с„ с1Г = с,, сГГ- v dp,

Или

(с„ - cv)dT=pdv, (1.84)

(с'п - с,,) dT — - vdp. (1.85)

Поделив уравнение (1.85) на (1.84), получим

(с„ - с,,)/(сп - С) = - V Dp/ip dv).

Так как из определения политропного процесса теплоемкости явля­ются величинами постоянными, то, обозначив

(с„ - с,,)/(с„ - с„) = п, (1.86)

Получим

Vdp Du dp

П ---------- f - или п — + - І - = 0. (1.87)

Pdv v р

В результате интегрирования этого уравнения имеем п in v + In Р — = const, или In (Pv") — const, или

Pvn = const. (1.88)

Уравнение (1.88) называется уравнейием политропы, а показатель этого уравнения п — показателем политропы.

Исследование политропного процесса, как и других термодинамических процессов, будем проводить в такой последова­тельности.

/ I. Найдем связь между основными параметрами состояния: так как РIf" = Pzv'L то

Рї/Р2 = (vz/viT и оаМ = (Pl/р2)1/п. (1.89)

Совмещая уравнения (1.89) с уравнением состояния идеального газа (1.3), получим

Ті/Тг = (v2/vi)"- Или TJT2 = {ру/ргГ'Х),п- 0-90)

2. Работа газа: l — f^pdv. Подставляя в это выражение р-р11?Г/г?",

Получим

(1.91)

V Jlj

Заменяя в этом уравнении отношение объемов на отношение тем­ператур из уравнения (1.90), получим

I = —~(Тг - Тг) = —Ц-(Рі»І - p2v2). (1.92)

N — 1 n — I

Подставляя в уравнение (1.91) вместо отношения объемов отноше­ние давлений из уравнения (1.89), получим

/= ^[1-(P2/P1)(',-1)/'']. (1.93)

П — і

3. Теплоемкость процесса найдем из формулы (1.86): сп~с,,= — яе„ — пс,„ или сп — кс = пс„ — пс„, откуда

П — к

Сп = --------- г - (1.94)

П — 1

4. Теплота процесса

Q = | cudT= IС, ILJLDf = c0 ^—^(h - tx). (1 95)

1 1 n — 1 n — l

'і

5. Изменения внутренней энергии, энтальпии и энтропии не зависят от процесса и поэтому д ія любого процесса, протекающего в идеаль­ном газе, их можно вычислить по формулам (1.50), (1.61), (1.78) и (1.83). Наряду с этим при исследовании политропных процессов для: вычисле­ния энтропии нашла применение следующая формула:

БQ Г1 N-K DT п - к Т2

As

-г - L п— ~т ^ е> —1пТі • (1%)

6. Доля теплоты, идущей на изменение внутренней энергии,

А" * / п ~ ^ а п—І

А =-- = с„ Д// с„------ At =--------- -. . 1.97

Q п — I J п — к

7. Доля теплоты, идущей на работу,

: / , 1 - к

— = 1 - а = ~----------- т (1.98)

Q к — п S '

8. Показатель политропы можно определить путем логарифмиро­вания формулы (1.89):

N=>g(pxlpi)/g{vi/vx). (1.99)

Основные термодинамические процессы в идеаль­ном газе — частные случаи политропных процессов. При п = 0 урав­нение политропы (1.88) принимает вид р = const, т. е. в этом случае будем иметь изобарный процесс. Для этого процесса уравнение состоя­ния принимает вид

В/Г = R/P = const. (1.100)

На рис. 1.5 изобарный процесс представлен в координатах р, V. Площадь заштрихованного прямоугольника есть работа процесса, рав­ная

/„ = р Dv = р (v2 - Vi) = R(T2 — 71). (1.101)

Теплота процесса

Її) = Ah.

(1.102)

Qp = $'*Cpdt = Cp(T2 Изменение энтропии в процессе

Г 5q Г» cpdT

In

(1.103)

V

= J J ^ t~ = cp

Откуда следует, что в координатах Т, S процесс изображается лога­рифмической кривой 1-2 (рис. 1.6). В соответствии с вышеизложенным, на рис. 1.6 графически изображены теплота и теплоемкость процесса: при направлении процесса от І к 2 теплота подводится к газу и теплоемкость имеет положительное значение.

Как следует из формулы (1.97), а= 1/к. Это значит, что, например, для двухатомных газов

А = 1//с = 1/1,4 = 0,714,

Т. е. из всей подведенной в процессе теплоты со 71 % расходуется на изменение внутренней энергии и только со 29 % — на работу.

Напишем уравнение политропы (1.88) в виде P1/NV = const. Тогда, подставляя п= ±оо, получим V — const — изохорный процесс, который в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 1.7, а). Отсюда следует, что работа в изохорном процессе равна нулю. Для этого процесса уравнение состояния Менделеева — Клапей­рона примет вид

Р/Т = R/V - const. Теплота изохориого процесса

Qv = J't*c„ dT = Cv (t2 - Ti) = Au. Изменение энтропии в процессе

(1.104) (1.105) (1.106)

Asv

Т

Г' cvdT

Т

С„ In

Тг

Гу

Откуда следует, что в координатах Т, S процесс изображается лога­рифмической кривой 1-2 (рис. 1.7, б). В соответствии с вышеизложен-

Рис. 1.5. Изображение изо­барного процесса в коорди­натах р, V

Т

Рис. 1.6. Изображение изобарного про­цесса в координатах Т, S

1/, ITj tr

Рис. 1.7. Изображение изохор - ного процесса в координатах р, и и Т, S

Рис. 1.8. Изображение изо­термического процесса в координатах р, V и Т, S

3-J $2 $

Ным, на рис. 1.7,6 графически изображены теплота, подведенная к газу, и положительная теплоемкость процесса.

При сравнении формул (1.103) и (1.106) можно видеть, что если Ср > ct„ то в одном и том же интервале температур Ті и Т2 изменение энтропии в изобарном процессе будет больше, чем в изохорном. Отсю­да следует (см. рис. 1.7,6), что кривая изохорного процесса 1-2 будет круче кривой изобарного процесса 1-2' ив одном и том же интервале температур теплота изобарного процесса будет больше теплоты изо­хорного процесса (на величину работы).

Для изохорного процесса а = 1, т. е. вся теплота идет на изменение внутренней энергии газа.

При п — 1 уравнение политропы принимает вид Pv = const или Т = const — изотермический процесс. Так как связь между параметрами этого процесса будет рIt»i = P2V2, то кривой процесса в координатах Р, V будет равнобокая гипербола (рис. 1.8, а). Площадь под кривой 1-2 — Это работа процесса, равная

PlVl = PiVl In -2- = RTn (1.107)

Рг

Vi

H

P dv —

Так как в этом процессе Ди = Cv(T2 — fi) = 0, то

QT- Ди + / = /,

(1.108)

Т. е. в изотермическом процессе подведенная к идеальному газу тепло­та расходуется только на совершение ею работы расширения, и, сле­довательно, в этом процессе а = 0.

Изменение энтропии в изотермическом процессе

Д*Г= f-^Uifs = (1.109)

Отсюда следует, что в координатах Т, S (рис. 1.8,6) теплота изо­термического процесса равна площади прямоугольника с основанием As и высотой Т.

При п = к уравнение политропы принимает вид Pvk = const. Это уравнение является уравнением изоэнтропийного, или обратимого, адиабатного процесса, основным свойством которого для любого ра­бочего тела является отсутствие теплообмена между последним и окружающей средой, поскольку 6qs — сп dt = 0, так как

П — к к — к

Си = Cv -------- = с„ ---------- = 0.

П — 1 п — 1

Как будет показано ниже, уравнение адиабатного процесса Pvk = const

Справедливо только при протекании его в идеальном газе. Уравнение же 5Qs = 0 справедливо для протекания адиабатного процесса в любом рабочем теле, и поэтому оно является наиболее общим уравнением этого процесса.

Связь между параметрами состояния, а также работа адиабатного процесса в идеальном газе находятся по соответствующим формулам для политропного процесса с заменой показателя политропы п на показатель адиабаты к. Отсутствие теплообмена при протекании адиа­батного процесса указывает на то, что в соответствии с первым за­коном термодинамики работа в этом процессе совершается за счет внутренней энергии: Qs — Аи + I — 0, т. е.

H = ux-u2. (1.110)

Другими словами, адиабатное расширение связано с понижением тем­пературы рабочего тела и, наоборот, сжатие — с повышением ее. Так как в адиабатном процессе Bqs = 0, то для него ds = Bq/T — 0, или

5 = COnSt, (1.111)

Т. е. обратимый адиабатный процесс является процессом изоэнтропий - ным. Следовательно, в координатах Т, S (рис. 1.9, а) адиабатный про­цесс изобразится в виде прямой, параллельной оси ординат. В коор­динатах р, V адиабата изображается неравнобокой гиперболой Pvk = — const, а так как к > 1, то адиабата 1-2 будет круче изотермы 1-2' (рис. 1.9, б). Отсюда следует, что при одинаковой степени расширения г2/і'і работа адиабатного расширения будет меньше работы изотерми­ческого расширения и, наоборот, при одинаковой степени сжатия V2Jx> Работа адиабатного сжатия на участке 2-1 будет больше работы изо­термического сжатия.

Классификация политропных процессов позволяет качественно оценить любой термодинамический процесс в идеальном

N--H П =/ V J /7 = їоо *J/п- <ICxf ] 7 JH П*0А

/7=+оо N = k

Рис. 1.9. Изображение адиа - Рис. 1.10. К классификации

Батиого процесса в коорди - политропных процессов

Натах р, v и Т, s

V

Sfh

Газе, не прибегая к аналитическому решению. На рис. 1.10, а, б изобра­жены основные термодинамические процессы в идеальном газе, а бес­конечно большое количество остальных политропных процессов будут расположены между ними. На Pv- и Ts-графиках (рис. 1.10, а, б) изохора п = +00 делит все политропные процессы на протекающие при расши­рении газа (справа от изохоры) и протекающие при сжатии газа (слева от изохоры). Сначала установим классификацию для случая рас­ширения газа. В изобарном процессе расширение газа имеет место только при подводе теплоты к рабочему телу, при этом внутренняя энергия увеличивается, а следовательно, температура газа возрастает (рис. 1.10, б). В изотермическом процессе расширение газа также связано с подводом к газу теплоты, причем внутренняя энергия его не изме­няется. В адиабатном процессе расширение газа происходит за счет внутренней энергии, а следовательно, температура газа уменьшается (рис. 1.10,6). Очевидно, изохора с показателем политропы п=+ со Есть изохора охлаждения, т. е. в этом процессе теплота отводится и внутренняя энергия уменьшается. Тогда изохора п = — оо есть изохора нагревания; в этом процессе теплота подводится и идет на увеличение внутренней энергии газа. Вышесказанное позволяет разбить все поли­тропные процессы с и от - со до +оо при расширении газа на три группы, а именно:

I группа: — соси. <1. В этой группе, как видно из рис. 1.10,6, dT> 0, а следовательно, du = cvdT> 0 и dH = cpdT> 0; здесь ds > 0, а следовательно, bq > 0. Так как cn = 5g/dT>0, то теплоемкость в этой группе процессов положительная. Подведенная к газу теплота расходуется на увеличение внутренней энергии и на совершение им работы расширения;

II группа: 1 < п < к. Как видно из рис. 1.10,6, для этой группы dT< 0, а следовательно, du < 0 и dh < 0; ds > 0 и, следовательно, bq>0 Теплоемкость в процессах отрицательная, так как сп = bq/dT < 0. Термо­динамические процессы второй группы характерны тем, что работа расширения совершается как за счет подведенной к газу теплоты, так и за счет внутренней энергии;

III группа: к<п<+со. Здесь (рис. 1.10,6) при расширении газа все параметры состояния уменьшаются (dT < 0, du < 0, dh <0, ds < 0), 6Q < 0, но теплоемкость cn = bq/dT> 0, т. е. положительная. В процессах этой группы расширение газа происходит с уменьшением его внутрен­ней энергии и отдачей теплоты в окружающую среду.

Как видно из рис. 1.10, а, б, в случае сжатия газа все политропные процессы делятся на те же три группы, но с противоположными зна­ками у параметров состояния и теплоты. Теплоемкость процесса в каждой группе, естественно, будет иметь те же знаки, как и при расширении газа.

(1.112) (1.113)

Термодинамические процессы, протекающие в реальном газе. В инже­нерной практике, за исключением процессов, протекающих в компрес­сорах, мы встречаемся с четырьмя основными термодинамическими процессами, а именно: изобарным, изохорным, изотермическим и адиабатным. Обычно при р <§; /;кр и Т» Ткр реальные газы можно рассматривать как идеальные и для них уравнением состояния явля­ется уравнение Менделеева — Клапейрона (1.4). В этом случае связь между основными термодинамическими параметрами и работа расши­рения-сжатия рассчитываются по формулам, приведенным в предыду­щем параграфе. Изменение внутренней энергии, энтальпии и энтропии в термодинамическом процессе рассчитывается по нижеследующим формулам с учетом температурной зависимости теплоемкости:

А и - J J с0 D Т = cvm (Т2 - ТО; А/? = cpdT= cpm(T2 — Tj);

(1.114)

- для изобарного процесса;

(1.115)

- для изохориого процесса;

(1.116)

— для изотермического процесса, поскольку при условии зависимости Cv только от температуры в этом процессе А и — 0.

Теплота в изохорном процессе равна А и, в изобарном Ah и в изо­термическом I.

При высоких давлениях или температурах, близких к критическим, газы не подчиняются уравнению Менделеева — Клапейрона; внутренняя энергия и энтальпия, а следовательно, и теплоемкость зависят не только: от температуры, но и от давления. Для реальных газов связь между основными параметрами состояния устанавливается уравнением Ван дер Ваальса, если можно пренебречь энергией ассоциации молекул. В тех случаях, когда энергией ассоциации молекул пренебречь нельзя, связь между р, v и Т можно найти из уравнения (1.19). Однако это уравнение пока не нашло практического применения из-за сложности вычисления вириальных коэффициентов. Поэтому связь между Р, V и Г находят либо из соответствующих таблиц для данного газа, приведен­ных в теплотехнических справочниках, либо из эмпирических уравнений.

Для составления эмпирического уравнения состояния какого-либо газа используют опытные данные, полученные по зависимости между P, V и Г, или по зависимости теплоемкости этого газа от основных параметров состояния, или по температурному эффекту дросселиро­вания.

Рассмотрим, например, составление эмпирического уравнения состоя­ния для реального газа на основании опытных данных по его тепло­емкости. Используя свойство полного дифференциала, из уравнения (1.80) можно написать, что

Dp Tjr дт дТ Откуда

На основании опытных данных составляется эмпирическое уравне­ние ср — ф (Г, р). Берется частная производная (сср/др)т и подставляется в уравнение (1.11 7):

Щ - -

Интегрируя дважды это уравнение, получают эмпирическое уравнение состояния для данного реального газа.

Энтальпию реального газа для данного р и Г либо находят непосредственно из соответствующих термодинамических таблиц, либо рассчитывают по формуле

H = cpmt, (1.119)

Где гг„. — средняя изобарная теплоемкость от 0 °С до T — берется из соответствующих таблиц теплоемкостей данного газа при данных р и T.

Внутреннюю энергию реального газа для данного его состояния, характеризующегося параметрами р, V и Г, вычисляют по очевидной

Формуле

H — pv.

Энтропию реального газа для данных р и Г находят непосредст­венно из соответствующих термо­динамических таблиц.

Для реальных газов, не под­чиняющихся уравнению Менде­леева — Клапейрона, в изотерми­ческом процессе теплота процесса рассчитывается через энтропию, т. е. qT— T(s2 — .Vi), а работа —

Через первый закон термодинамики LT= QT— А и. Для адиабатного про­цесса, поскольку Qs = 0, работа процесса также найдется через первый закон термодинамики, а именно: Ls = — Аи = (Их — H2) - (PiVi - P2V2)- Теплоты изобарного и изохорного процессов соответственно равны Ah И Aw. Работа в изобарном процессе, очевидно, равна

1Р = р Du = р (У2 - fi).

Термодинамические процессы, протекающие в парах. С качественной точки зрения поведение паров всех веществ одинаково и поэтому процесс превращения жидкости в пар рассмотрим на примере самого распространенного на Земле и самого изученного вещества — воды.

Рг-диаірамма Водяного Пара

(1.120)

Пусть мы имеем 1 кг воды в момент получения ее из твердого состояния, т. е. при температуре плавления. Все параметры жидкости при температуре плавления будем обозначать индексом «0». Изобразим это состояние жидкости, в частности воды, при некотором давлении р графически в системе координат р, V некоторой точкой а, имеющей координаты р и vo (рис. 1.11). Если теперь при постоянном давлении р сообщить ей теплоту, то, как показывает опыт, температура ее будет непрерывно повышаться до тех пор, пока она не достигнет темпера­туры кипения f„, соответствующей данному давлению р. Одновременно с этим, как правило, будет увеличиваться и удельный объем от г0 до v' (исключение имеет вода, при нагревании которой от 0 до 4 °С удельный объем уменьшается до минимального, после чего непрерывно увеличивается вплоть до V'). Все параметры кипящей жидкости, кроме давления, будем обозначать одним штрихом. Как показывает опыт, при подводе теплоты к кипящей жидкости происходит постепенное превра­щение ее в пар. Этот процесс испарения происходит не только при постоянном давлении, но и при постоянной температуре до тех пор, пока последняя частица жидкости не превратится в пар удельного объема V", который называется сухим насыщенным паром (на графике в координатах р, V его состояние обозначено точкой с). Следовательно, Сухим насыщенным паром называется пар, имеющий температуру насы­щения при данном давлении а не содержащий жидкой фазы. Впредь все параметры сухого насыщенного пара будем обозначать двумя штрихами. Следует отметить, что вообще насыщенным паром назы­вается пар, находящийся в термическом равновесии с жидкостью, из
которой он получается. Если этот пар не содержит жидкости, то он будет сухим. Насыщенный пар, содержащий в себе капельки жидкости, мы будем называть влажным паром. Таким образом, влажный пар есть смесь двух фаз: жидкой и паровой.

Отрезок изобары Ъ — с отвечает процессу парообразования. Между точками Ь и с имеется смесь жидкости и сухого насыщенного пара. Если считать, что при этом капельки жидкости равномерно распре­делены в паре, то на указанном участке изобары b — с мы будем иметь влажный пар с изменяющимся содержанием в нем сухого насыщен­ного пара от х = 0 в точке B до х = 1 в точке с. Эту массовую долю сухого насыщенного пара во влажном паре, обозначенную нами буквой х, называют степенью сухости. Аналогично содержание жидкой фазы во влажном паре называют степенью влажности или влажностью; ее будем обозначать (1 — х). Нетрудно видеть, что при х = О мы будем иметь кипящую жидкость, а при х = 1 — сухой насыщенный пар. Впредь параметры влажного пара будем обозначать индексом «х».

В процессе парообразования удельный объем рабочего тела резко возрастает, поскольку удельный объем сухого насыщенного пара несравненно больше объема кипящей воды. Если к полученному нами сухому насыщенному пару состояния с продолжать подводить при том же давлении р теплоту, то, как показывает опыт, температура его будет увеличиваться, и мы получим перегретый пар некоторого состоя­ния D. Следовательно, перегретым паром называют пар, температура которого больше температуры насыщения TH при данном давлении р < ркР. Впредь все параметры перегретого пара, кроме давления, будем обозначать индексом «пе». Участок с — D на графике в коорди­натах р, V (рис. 1.11) соответствует процессу перегрева пара при постоянном давлении от температуры насыщения до заданной темпе­ратуры tne, в результате чего удельный объем пара увеличивается от V" до Vne.

Теперь возьмем воду при температуре плавления и при давлении Pi > р. Так как с увеличением давления удельный объем жидкости уменьшается, то точка аь характеризующая состояние жидкости при температуре плавления и давлении рь должна лежать левее точки а. Процесс подогрева жидкости при рх = const на графике в координатах Р, V изобразится отрезком аг — Ьи причем точка Ьх должна лежать правее точки Ь, что объясняется следующим обстоятельством. Для всех жидкостей с увеличением давления повышается температура ки­пения. Таким образом, с одной стороны, увеличение давления жидкости уменьшает удельный объем ее, но, с другой стороны, с повышением давления увеличивается температура кипящей жидкости, вследствие чего удельный объем ее должен увеличиваться. Как показывает опыт, влияние температуры на повышение удельного объема кипящей жидкости больше, чем давления.

Процесс парообразования при р^ — const изобразится на графике Р, V отрезком Bi — Ci, причем точка сх лежит левее точки с, так как для сухого насыщенного пара воды и подавляющего числа других веществ зависимость V" от р имеет вид Pv'" — const, где т <K.

Рассматривая процесс превращения жидкости в перегретый пар при
постоянном давлении р2 > рь мы получим изобару нагрева жидкости С12 — Ь2, изобару-изотерму испарения ее Ь2 — с2 и изобару перегрева пара C2—D2. Если через точки а, аи а2, ... провести кривую /, то она будет характеризовать состояние жидкости при температуре плавления и различных давлениях. Эта линия является пограничной кривой сле­дующих состояний вещества: слева — двухфазная система лед + жид­кость, справа — жидкость. Проведя через точки Ь, Ьь Ь2, ... кривую II, Получим пограничную линию двух состояний вещества: слева — жид­кость и. справа — влажный пар. Кривая II характеризует состояние жидкости при температурах кипения и называется пограничной кривой жидкости. Наконец, проведя через точки с, с2, ... кривую III, Получим пограничную кривую двух состояний вещества: слева — влаж­ный пар и справа — перегретый пар. Кривая III характеризует состоя­ние сухого насыщенного пара и называется пограничной кривой пара. Нетрудно видеть, что пограничные кривые жидкости и пара сходятся между собой в точке /с, которая называется критической точкой. Эта точка характеризует критическое состояние вещества, при котором исчезает физическое различие между жидким и газообразным состоя­ниями вещества. Термодинамические параметры вещества при его кри­тическом состоянии называются критическими и обозначаются индек­сом «к». Согласно новейшим данным, вода имеет следующие значения критических параметров: рк = 22,115 МПа, Тк — 647,27 К, VK = = 0,003147 м3/кг, И к = 2095,2 кДж/кг. Очевидно, критическая темпера­тура есть максимально возможная температура жидкости и ее насы­щенного пара.

Из рис. 1.11 видно, что с понижением давления кривые I и II Сближаются так, что в точке М они пересекаются. Точка М называется тройной; в ней вещество существует одновременно в трех состояниях: твердом, жидком и газообразном. Каждое вещество в тройной точке имеет присущие только ему значения давления и температуры, напри­мер для воды рш = 0,000611 МПа, Тт = 273,16 К и Vm = 0,001 м3/кг.

Параметры состояния жидкости и пара определя­ются с помощью таблиц, а для насыщенных и перегретых паров — также по /is-диаграмме.

В таблицах насыщенных паров для каждого давления или темпе­ратуры приведены значения всех термодинамических параметров (кроме внутренней энергии) сухого насыщенного пара и кипящей жидкости. В таблицах перегретых паров для каждого давления при различных температурах приведены значения упе, /іпе и s„e для перегретого пара и некипящей жидкости.

Влажный пар, как двухфазная система, подчиняется закону аддитив­ности (суммирования) и, следовательно, каждый параметр его Пх можно рассчитать по формуле

Пх = П"х + П'( - х). (1.121)

Из этой формулы можно найти степень сухости пара

X = (Пх - П')/{П" - П'), (1.122)

33

Если кроме р или T„ задан какой-либо параметр влажного пара 17х.

2 А. В. Чечеткин, Н. А. Занемопец

Из рис. 1.11 видно, что Be/Bc = [Vx — V')/(V" — V') = л'ь Если провести ряд горизонталей Be, BiCГ и т. д. и разделить каждую из них в отно­шении Be/Bc = Ьіві/ЬіСі = ..., то, соединив все точки плавной кривой, получим линии постоянной степени сухости Xi = Be/Bc. Аналогичным образом получим х2, х3 и т. д. Пограничная кривая жидкости будет х = 0, а пограничная кривая пара — х = 1.

Зависимости р = / (г„) и р = ф (У') или t„ = |/ (V') находятся из опыта.

Зависимость р = / (у") или t„ = ср (и") находится либо эксперимен­тально, либо рассчитывается по известному из курса физической химии уравнению Клапейрона - Клаузиуса, если известна экспериментально найденная зависимость скрытой теплоты парообразования г от темпе­ратуры.

По решению VI Международной конференции по свойствам водя­ного пара за начало отсчета внутренней энергии и энтропии принята внутренняя энергия и энтропия жидкой фазы воды в тройной точке, т. е. ит = 0 и Sm = 0. Так как температура в тройной точке у воды и большинства жидкостей близка к температуре плавления, то пред­ставляется в химической технологии более целесообразным вести отсчет этих параметров от температуры плавления, т. е. принять м0 = 0 и s0 = 0 при T0 и рт. Тогда H0 = и0 + Pmv0 = P,„V0.

Для воды удельный объем жидкой фазы в тройной точке v„, — = 1 • Ю-3 м3/кг, при t0 = 0°С у0 = 1,0001 • 10"3 м3/кг и, следовательно, К ~ PmV0 = 0,611 Дж/кг йй 0.

У воды при t0 = 0 °С при повышении давления от 0,1 до 10 МПа удельный объем уменьшается только на 0,5 % —с 1,0001-10"3 до 0,9951 • 10"3 м3/кг. Следовательно, воду и другие жидкости практически можно рассматривать как несжимаемые жидкости.

Так как в изобарном процессе нагрева жидкости от Т0 до Т„ теп­лота жидкости Q' = сртж (Т„ - Т0) = (и' — и0) + P{V' - V0) = и' + Pv' — Pv0, А энтальпия кипящей жидкости H' = и' + Pv', то, очевидно,

H' - Q' + Pv о = Cpm ж (Ті, - Т0) + Pv о, (1.123)

Где Cpmx — средняя изобарная теплоемкость жидкости в интервале тем­ператур от Т0 до Тн берется из справочной литературы.

Аналогично, для недогретой до кипения (некипящей) жидкости

H = ср„,ж (Т— Т0) + pv0.

Процесс парообразования есть процесс изобарный, и поэтому эн­тальпия сухого насыщенного пара будет равна

H" = h' + r, (1.124)

Где г — теплота парообразования, т. е. количество теплоты, необходи­мое для превращения 1 кг кипящей жидкости (при постоянном давле­нии) в сухой насыщенный пар.

Теплоту парообразования либо определяют экспериментально, либо рассчитывают по уравнению Клапейрона - Клаузиуса.

Для того чтобы 1 кг сухого насыщенного пара превратить в пере­гретый пар того же давления и температуры Тпе, необходимо к нему подвести теплоту, равную
<Jne — Cpm (Tirw Ти).

Эту теплоту называют теплотой перегрева. Здесь ерт есть средняя массовая изобарная теплоемкость перегретого пара, которая является сложной функцией давления и температуры. В качестве примера на рис. 1.12 и 1.13 приведена опытная зависимость срт = ф (/>, T) для водя­ного пара соответственно в до крити ческой и закритической областях давлений.

Очевидно, энтальпию перегретого пара вещества можно рассчитать по формуле

/іпс = H" + = H" + Срт {Тие - Т],). (1.126)

Внутреннюю энергию вещества в любом физическом состоянии будем вычислять через энтальпию по формуле

И — H — pv. (1.127)

(1.125)

Принимая условно энтропию жидкости при температуре плавления s0 = О, впредь вместо изменения энтропии вещества будем говорить об его энтропии в данном состоянии. Тогда энтропия кипящей жидкости (а также некипящей с заменой Тн на Т<Ти):

1 Тн

Гт„

" 5 Q

D Т

-рж

(1.128)

С

Рт ж In -—;

Энтропия сухого насыщенного пара

(1.129)

S' +

5' +

Тп

Dr_ Тп

И, наконец, энтропия перегретого пара

Гг„

Ср dT Т

(1.130)

S пс = 5 "4"

Обычно при составлении таблиц перегретого пара энтропия подсчи - тывается по формулам, полученным из дифференциальных уравнений термодинамики и опытным данным по теплоемкости ср.

			П22№р
			WW
		I,
				-400
				-5005зр
52^
	... 1... 1

Ср, кдж/(кг ас) 32

300 350 {кр 400

550 600 T.'c

Рис. 1.13. Зависимость изобарной теплоемкости водяного пара от температуры и давления в закри­тической области

Ср, кДж/(кг ■ °С) Too ПО 100 220 260 300 Ж Ш Ш W 500 5W 580 T,°c Рис. 1.12. Зависимость изобарной теплоемкости водяного пара от тем­пературы и давления в докритической области

M m

35

2*

К

Рис 1.14. Ts-диаграмма пара

Рис. 1.15. К построению 7$-дмаграммы пара

Т

Ts-д и а г р ам м а. Как и в случае газов, в термодинамике паров находит широкое применение Ts-диаграмма, в которой площадь под кривой процесса дает количественное выражение теплоты процесса. На рис. 1.14 в системе координат Т, s представлен изобарный процесс превращения 1 кг воды при температуре плавления в перегретый пар заданной температуры перегрева, соответствующей состоянию в точке D. Кривая ab представляет изобарный процесс нагрева воды от Т0 = = 273 К до Тн при данном давлении р; поэтому площадь под кривой процесса будет представлять q'. В процессе подогрева жидкости зави­симость s = ф (Т) выражается уравнением (1.128), откуда следует, что кривая ab в первом приближении есть логарифмическая линия. Пло­щадь под кривой be есть теплота парообразования г. В соответствии с уравнением sx = s"x + s' (1 — х) = s' + гх/Ти в процессе парообразова­ния sx — s' — rx/TH и, следовательно, площадь под прямой be есть гх. Очевидно, площадь под кривой cd есть теплота перегрева <jnc. Процесс перегрева описывается уравнением (1.130), которое приближенно можно представить в виде sne — s" яз Cpm In (TnJTH). Следовательно, в первом при­ближении линия cd есть логарифмическая кривая. Так как для воды СрЖ > ср, то кривая перегрева пара cd идет круче кривой нагрева воды Ab. Степень сухости влажного пара давлением р в точке е определится как отношение отрезков be к be, так как be: be = (rx/TH): (r/Tn) = x. Как видно из рис. 1.14, 1.15, при увеличении давления точки b и с, оста­ваясь в каждом отдельном случае на горизонтали, сближаются и при критическом давлении сливаются в одну точку к. Соединив между собой точки bi, b2, b2 и т. д., соответствующие состоянию кипящей жидкости при различных давлениях, получим пограничную кривую жидкости х = 0. Аналогичным образом получим пограничную кривую пара х = 1, соединив между собой точки с, Сі, С2 и т. д., соответствую­щие состоянию сухого насыщенного пара при различных давлениях. Подобно пограничным линиям ри-диаграммы, пограничная кривая
жидкости на Ts-диаграмме разделяет область существования жидкого состояния вещества (слева от нее) от области влажных паров его (справа от кривой). Аналогично, пограничная кривая пара на Ts- Диаграмме разделяет область влажных паров (слева от нее) от области существования перегретого пара (справа от кривой).

Построим Ts'-диаграмму для водяных паров. Чтобы определить характер кривых изобар, найдем значения (dT/ds)p = tg Ар для изобары и (dT/ds)v = tg а„ для изохоры. Так как s — функция состояния, то ds — есть полный дифферен­циал, и, следовательно, можно написать, что

(1.131)

(1.132)

Сравнивая уравнение (1.131) с уравнением (1.80), а (1.132) с (1.76), получим соответственно:

(1.133)

(1.134)

Где Ир и <ха — углы наклона касательной к изобаре и изохоре соответственно. Для воды срж я* £'11Ж и, следовательно, в соответствии с уравнениями (1.133) и (1.134) изохора нагрева воды практически совпадает с изобарой. В настоящее время установлено, что изобара нагрева воды практически совпадает с погра­ничной кривой жидкости х — 0. Следовательно, для воды в первом приближе­нии пограничная кривая жидкости одновременно является и изохорой нагрева жидкости (рис. 1.15). Так как процесс парообразования является одновременно процессом и изобарным и изотермическим, то в области влажного пара изо­бары Be, B'C', B"C" и т. д. есть прямые, параллельные оси Os (рис. 1.15). В изо - хорном процессе подвод к влажному пару теплоты, а следовательно, и увели­чение энтропии приводит к увеличению его давления и температуры; следова­тельно, (dT/ds)Vt Х = tg а„, * > 0, т. е. изохорная теплоемкость влажного пара по­ложительна. Конкретный вид изохоры в области влажного пара дан на рис. 1.15.

Для воды (дТ/дх)х=і <0, следовательно, в соответствии с уравне­нием (1.133) с = сх=1 = T(ds/dT)x= і < 0, т. е. теплоемкость сухого насы­щенного пара воды отрицательная. Это значит, что при нагревании этого пара теплота будет не поглощаться, а выделяться. Как видно из рис. 1.15, угол наклона касательной к пограничной кривой пара х= 1 изменяется в диапазоне от 90 до 180°, т. е. с#=ь оставаясь все время величиной отрицательной, в критической точке равна минус бесконечности. Для всех веществ в критической точке ск = — оо, а так как сх=1 есть непрерывная функция температуры, то, следовательно, для всех веществ вблизи критической точки теплоемкость сухого на­сыщенного пара отрицательна. Однако есть вещества, как, например, дифенилоксид (рис. 1.16), у которых при невысоких температурах на­сыщения сл=і > 0; с повышением Тп она убывает, становится равной нулю (при а — 90°), затем принимает отрицательное значение, возрастая до —оо в критической точке.

5 Рис. 1.16. 7s-диаграмма паров дифенилоксида

Т

О

Рис. 1.17. /^-диаграмма паров

Изобарная и изохорная теплоемкости перегретого пара — положи­тельные и, следовательно, изобары и изохоры в области перегретого пара в первом приближении есть логарифмические линии, поднимаю­щиеся вверх с увеличением энтропии. Так как ср > cv, то изохоры идут круче изобар. Изоэнтропы на Ts-диаграмме есть прямые, парал­лельные оси ОТ, а изотермы — прямые, параллельные оси Os.

Hs-дИаграмма. Одним из основных достоинств этой диаграммы (рис. 1.17) является то, что в ней теплоты жидкости, парообразования и перегрева пара в изобарном процессе изображаются прямолинейны­ми отрезками. Пограничные кривые строятся по точкам h' и s' — для кривой х = 0 и по точкам h" и s" — для кривой х = 1. Значения этих величин берутся из таблиц сухого насыщенного пара. Так как для изобарного процесса ds = dQp/T= dh/T, то (Dh/ds)p = T= tg ap > 0, или а. р < 90°. Отсюда следует, что на /is-диаграмме изобары представляют собой восходящие кривые (сплошные линии). Чем больше давление, тем выше располагается соответствующая изобара. В области влажного пара Т= Тх = Ти = const, и, следовательно, ар = const, т. е. в этой об­ласти изобары — прямые линии. Как видно из рис. 1.17, отношение Ъе:Ъс = (гх/Т„):(Г/Тп) = х. Соединив кривой все точки на изобарах с одинаковым значением степени сухости х, получим линии постоян­ной степени сухости х = const.

В области влажного пара по указанной выше причине изотермы совпадают с изобарами. В этой области длина прямолинейного участка изотерм уменьшается с увеличением Т и при Т = Тк обраща­ется в точку. Следовательно, в критической точке (dh/ds)j — Тк > 0 и поэтому критическая точка к находится на нисходящей части погра­ничной кривой пара х = 1. От пограничной кривой пара х = 1 изотермы резко поворачивают вправо и при больших степенях перегрева идут практически параллельно оси Os, т. е. изотермический процесс стано­вится одновременно изоэнтальпийным, что характерно для идеального газа (dh/ds)T = (с,, dT/ds)r ~ tg а г = 0, т. е. а г = 0. Вблизи кривой насыще­ния (х = 1) tgccr>0, и в этой области изотермы представляют собой кривые выпуклостью вверх. Чем больше температура, тем выше распо­лагается соответствующая изотерма.

В /is-диаграмме изохоры изображаются пунктирными кривыми с Tg OlV — (Dh/Ds)V > 0. Чем больше удельный объем пара, тем ниже распо­лагается соответствующая изохора.

Термодинамические процессы в парах. Обычно рас­сматриваются четыре процесса: изобарный (р = const), изохорньгй (и = const), изотермический (Т = const) и изоэнтропийный, или обрати­мый адиабатный (s = const). На рис. 1.18 изображен изобарный процесс, на рис. 1.19 — изохорный, на рис. 1.20 — изотермический и на рис. 1.21 — адиабатный.

Т, s И h. s

Термодинамические параметры состояния в начале и конце этих процессов находятся или непосредственно из /is-диаграммы, или из таблиц сухого насыщенного и перегретого пара. Во втором случае необходимо прежде всего определить состояние рабочего тела в начале и в конце процесса. Для изобарного, из ох орного и изотермического процессов эти состояния определяются путем сравнения заданного

S/		'z s
В координатах р, V
	H	Y
	І/	Ь
N	Z4J
Л	[4 7

Рис. 1.19. Изображение изохорного процесса паров в Координатах р, v;

Т, S И h, s

Рис 1.20. Изображение изотермического процесса паров в координатах р, V; Т, s И h, s

Удельного объема v с удельными объемами сухого насыщенного пара и кипящей жидкости при заданной температуре или давлении. При этом возможны следующие случаи: 1) если V > V", то пар — перегретый и все остальные параметры его берутся из таблиц перегретого пара для заданного р или t; 2) если v = v", то пар — сухой насыщенный и все параметры его берутся из таблиц сухого насыщенного пара для заданного р или г; 3) если V = V то задана кипящая жидкость и все параметры ее берутся из таблиц сухого насыщенного пара при заданном Р или f; 4) если Vq < v < v', то задана некипящая жидкость и все параметры ее берутся из таблиц перегретого пара (выше горизонталь­ной черты); 5) если v' < v < v", то пар — влажный; степень сухости его определится из формулы (1.122), а энтальпия и энтропия — из формулы (1.121), причем входящие в эти формулы параметры пара и жидкости берутся из таблиц сухого насыщенного пара при заданном р или t.

Для адиабатного процесса состояние рабочего тела в начале про­цесса определяется аналогичным образом; в конце же процесса — путем
сравнения известной энтропии s2 = «і с энтропией сухого насыщенного пара и кипящей жидкости заданного давления р2 или температуры t2, При этом возможны те же пять случаев, а именно: если s2 > s2> то пар перегретый, если s2 — s2, то пар сухой насыщенный, если s2 — S'2, То это кипящая жидкость, если s0 < s < s то это некипящая жидкость, и, наконец, если s' < s < s", то пар влажный. Определив состояние пара в конце и начале адиабатного процесса, все параметры состояния находятся так же, как в указанных выше трех процессах.

Изменение внутренней энергии, теплоту процесса и работу рассчиты­вают так же, как и для реальных газов, не подчиняющихся уравнению Менделеева — Клапейрона.