В потоке электронов отдельные частицы взаимодействуют друг с другом [4]. Рассеяние электронов ведет к распространению элек­тронного излучения по всем направлениям. Следовательно, и элек - тронорезист (рис. VII. 1) экспонируется в тех местах, куда перво­начально не направлялся пучок электронов. Поток электронов в слое резиста делят на излучение, сохраняющее направление перво­начального пучка, и обратно отраженное электронное излучение. На рис. VII. 2 показаны рассчитанные методом Монте-Карло траек­тории 100 электронов в слое резиста на подложке при разных ускоряющих напряжениях. Хорошо заметна доля электронов, имеющих направление первоначального пучка, и рассеянных. При 10 кВ рассеянные электроны расходятся на расстояние около 1 мкм, а при 20 кВ —уже на 3—4 мкм.

Энергия, рассеянная в единице объема одним электроном /(г, z) (где г — радиус отклонения электрона при прохождении вертикального отрезка z), зависит от атомного номера элемента, атомы которого входят в состав вещества поглощающей среды, толщины подложки и слоя рези­ста, а также скорости падающих электронов (ускоряющего напря­жения). Экспонирование резиста в местах, куда не падает перво­начальное излучение, называется эффектом близости и ведет к зна­чительным ограничениям формы Zn =£)

Пр

Рис. Vll. 1. Пространственная модель рассея - Х иия пучка электронов нулевого диаметра в слое резиста на толстой подложке:

/ — резист; 2 — подложка; 3 — обратное от­ражение из подложки; 4, 5 —профиль рас­пределения обратного отражении в объеме слоя резиста (5) и в подложке (4); zn — глубина проникновения пучка электронов.

и размеров элементов рельефа, которые можно получить с по­мощью данного резиста [5]. Этот эффект, наблюдаемый главным образом у высокоразрешенных рельефов при толщине слоя резиста менее 1 мкм, стимулировал интенсивное теоретическое и экспери­ментальное излучение распространения электронов в резисте на

<5Г О 1 X, мкм Рис. VII. 2. Траектории 100 электронов в ПММА на кремнии по осям х и z (см. рис. VII. 1), рассчитанные по методу Монте-Карло при ускоряющем напряжении 10 кВ (а) и 20 кВ (<?).

подложке. Было предложено несколько моделей, позволяющих предсказывать экспозиционные профили в резисте и, следователь­но, осуществлять выбор оптимальных параметров для получения требуемого размера элементов и толщины рельефа. Моделирова­ние дало также возможность определять влияние отдельных пара­метров экспозиционного оборудования, природы резиста и под­ложки, а также формы рельефа.

Основными параметрами, необходимыми для определения фор­мы профиля, являются плотность поглощенной энергии Е (г, z) и ее распределение в слое резиста. Для наиболее простого случая стационарного электронного излучения, характеризующегося пото­ком электронов г, падающих на слой резиста за время т, можно записать следующее выражение [6]:

(Ст/е) / (г, г) = Е (г, г) (VII. 5)

где E(r, z) — общая энергия, рассеянная в единице объема, эВ/см8; гг/е— ко­личество падающих на слой полимера электронов.

Предсказание профиля резиста требует моделирования экспо­зиции и проявления. Для количественного описания распределения энергии в полимерном слое, помещенном на подложку, наиболее часто используется метод Монте-Карло. Он состоит в моделирова­нии траектории электронов в системе резист — подложка на ЭВМ. Взаимодействие электрона со средой представляет собой ряд по­следовательных отражений, при которых происходит изменение направления движения электрона и потеря им энергии. В боль­шинстве подходов используют модель с одним отражением, на­правление которого случайно. При этом предполагается, что на­правление движения электрона изменяется в результате его упру­гого отражения от атомного ядра, причем угол столкновения может быть вычислен из приближенных решений уравнения Шре - дингера, предложенных Борном [7]. Угловое распределение рас­сеянных электронов зависит от потенциала. Чаще всего используют потенциал Томаса — Ферми, рассчитываемый в предположении, что на движущийся электрон действует атомный заряд близлежащего ядра, величина которого корректируется с учетом электронной оболочки атома. Предполагается также, что между двумя упру­гими столкновениями электрон движется по прямой с длиной, рав­ной среднему свободному пути, и теряет энергию. Потерю энергии электроном обычно рассчитывают в соответствии с приближением постепенного понижения (метод CSDA) по уравнению Бете:

dE 2 пеАпе аЕ

= -Г-1п ЯГ (VIL6)

где пе — плотность электронов атома; Е„ — средняя энергия возбуждения атома; Е—энергия взаимодействующего электрона; а — константа, равная 1,166.

Другие модели используют модификацию метода CSDA для статистических расчетов неупругих столкновений. Рассеянная энер­гия всегда меньше начальной энергии электрона.

Последовательность столкновений для отдельного электрона изображена на рис. VII. 3. В начальном положении электрон имеет энергию Ео и движется под углом 90° к поверхности бесконечно толстого слоя [8]. Первое рассеяние происходит на поверхности. Углы отклонения 0О и Ф0, а также длина шага А0 вычислены по

методу Монте-Карло. Построением множества моделей (точки

1, 2, ..., п, п+1, ..., °о) получают распределение траекторий (см. рис. VII. 2) и распределение поглощенной энергии, из кото­
рого можно определить величину /(г, г) для каждой точки (см. также [9]).

Для получения надежных статистических результатов при ис­пользовании метода Монте-Карло необходимо рассчитать траек­тории нескольких тысяч электронов, что требует большого машин­ного времени. По этой причине на практике для предсказания рас­сеяния электронов используют аналитические модели, в которых предполагается, что потеря энергии в результате рассеяния скла­дывается из трех составляющих: рассеяния под малым углом (РМУ) из пучка в полимере, рассеяния под большим углом (РБУ) в подложке и обратного отра­жения (00) в полимере. Для определения РМУ в резисте используют две аналитические модели. Гринейх и Ван Дузер [10J построили свою модель на основе теории рассеяния Лен­ца, по которой угловое распре­деление рассеянных электро­нов определяется интегрирова­нием уравнения Больцмана по всему пространству. В упро­щенном подходе используют

Рис. VII. 3. Пути электрона в слое мате­риала, найденные по методу Монте-Карло.

уравнение Больцмана в приближении Ферми с учетом кратных малых углов [7]. Такой подход является, следовательно, псевдо - моноэнергетическим и ограничен случаем толстого слоя резиста, когда средняя энергия электрона, проходящего через поверхность раздела, равна энергии столкновений. Эта модель дает непосред­ственно распределение электронов в резисте в форме функции ве­роятности Я:

Н (г, г) =» [31/(4пг3)] ехр (—3/г2/4г3) (VII. 7)

где / — средний свободный путь электрона, определяемый в нерелятивистской теорнн нз соотношения (VII. 8) [10]:

5,12-10~3£2Л

pz2ln (0,7257?^-['3) (VII-8)

где А — массовое число атома элемента, входящего в состав вещества резиста, в поле втйго атома находится электрон; Е — энергия электрона; р —плотность резиста.

Если столкновение электронов имеет Гауссово распределение / (Г) - i0/nr2 ехр - (гг/г2) (VII. 9)

где Т—Гауссов (среднеквадратичный) радиус распределения

то результирующая плотность распределения электронрв в твер­дой фазе определяется круговым интегралом (VII. 10) входной

функции I(г)' и соответствующей функции Н(г, г):

2я л

/ (г, z) = Н (г, z) 1 (г) rdr d&

О

Интегрирование уравнения (VII. 10) не может быть проведено в аналитической форме необходимо использовать численные ме­тоды.

Потеря энергии одним электроном в 1 см3 при РМУ может быть рассчитана из соотношения:

(VII. И)

Плотность поглощения энергии одного электрона рассчиты­вается как сумма плотностей поглощения РМУ, РБУ и ОО:

(VII. 12)

I (г, г) = / (г, г)РМу + / (г, г)РБу + / (г, г)00

Общая плотность поглощенной энергии определяется как про­изведение /(г, г) и общего электронного тока.

ю~6 D, Кл/см2

Для расчета коэффициентов ОО существует ряд подходов. Про­стая эмпирическая модель для отражения [11] основана на пря­мом наблюдении на несколь-

ких субстратах химических изменений, обусловленных ОО при разных ускоряющих напряжениях, и приложима для анализа изменений,

Рис. VII. 4. Кривая чувствительности негативного электронорезиста СОР на разных подложках (толщина слоя ре - знста do = 0,66 мкм, ускоряющее на­пряжение 20 кВ):

/ — 0,1 мкм S13N4; 2 — 0,1 мкм S13N4 на Si; 3 — 0,4 мкм Аи на Si.

происходящих при экспозиции резиста. Модель не зависит от пути рассеяния и расчета теряемой энергии.

Иной подход для эмпирической оценки ОО заключен в методе так называемого свободно стоящего толстого слоя резиста. Эта модель обсуждалась [12] с использованием кривой чувствитель­ности негативного резиста (рис. VII. 4). Кривая, отвечающая слою резиста на подложке из Si3N4 толщиной 0,1 мкм хорошо прибли­жается к идеальному случаю свободно стоящего слоя резиста, так как коэффициент ОО подложки очень мал (0,01—0,02).

Для данной экспозиции на большой площади, которая исполь­зуется для построения кривой чувствительности, плотность рас­сеянной энергии электронов зависит только от глубины проникно­вения пучка в слой резиста znp. С учетом этого можно написать следующее уравнение [13]:

где О — экспозиционная доза (Кл/см2); длины в направлении г.

Специфическую рассеянную энергию можно найти из выра­жения:

dlz Я (f) иа

потеря энергии на единице

(VII 14)

dz

Rc

где Ua — ускоряющее напряжение; Ra— длина пробега Грюна; Ra = [0,046/р](Уа; Я (/) — функция, связывающая znJ, с экспозиционной дозой и выраженная через нормализованное проникновение электронов f — znp/Ra (плотность р полимер­ных материалов приблизительно равна 1).

Зависимость гпр от экспозиционной дозы определяется экспе­риментально измерением степени ионизации как функции проник­новения электронного пучка или его проникновения в зависимости от ускоряющего напряжения. Зави - л симость К от f можно выразить в полиномной форме:

Я (f) = 0,74 + 4,7f + 8,9f2 + 3,5f3

(VII. 15)

Зависимость Я от f (рис. VII. 5) образует экстремум, отвечающий максимуму рассеяния энергии, кото-

Рис. VII. 5. Зависимость нормализованной глуби - иы проникновения электронов / от X в веществе, содержащем элемент с низким атомным номером.

рый наблюдается при конечной глубине проникновения и зависит от ускоряющего напряжения.

Специфическая рассеянная энергия имеет две компо­

ненты:

dlz ( dlz ( dlz ,

лГ-Ьг)РМУ + Ы0оЛг (Vine)

записать

Вводя коэффициент 00 как т = ^ /(jjz~)0o' можно

dlz dz

(4г), " + ,|)

(VII. 17)

' РМУ

Для толстого слоя резиста на Si3N4, когда т] « 0, можно с ис­пользованием уравнения (VII. 10) получить соотношение:

dz / рму

(VII. 18) 219

где Dlv — экспозиционная доза в точке гелеобразования на границе подложки и резиста; Е — адсорбированная на этой границе энергия электронного излу­чения.

Вообще для любого субстрата можно записать:

(VII. 19)

4 {41е) [( dl)рму + ( dl) 0О ]

Из последних трех уравнений получаем выражение:

(VII. 20)

(Djy^-l + V

где i)‘ — эффективный коэффициент ОО на границе подложки и резиста.

Эта модель, использующая зависимость глубины проникновения г от дозы излучения, дает возможность вычислить энергию Е в точке гелеобразования, зная дозу излучения в этой точке, и предсказать зависимость дозы в точке гелеобразования от уско­ряющего напряжения D{ = {Ua°’75), что хорошо согласуется с экспериментом. Найденные значения т]г также согласуются с вели­чинами, вычисленными по методу Монте-Карло [12]. Таким обра­зом, с помощью модели обратного рассеяния можно вычислить долю 00 в любой точке простой дополнительной модификацией плотности РМУ в виде /0(1 4-г|).

Результаты, полученные с помощью аналитических моделей и метода Монте-Карло, хорошо коррелируют, из чего можно сделать несколько обобщающих заключений.

Рассеяние энергии идет по двум каналам: РМУ и 00. Энергия ОО локализована вблизи оси луча. При прохождении через резист электронный пучок в результате РМУ расширяется, так что на границе резист — подложка экспонируется площадь большая, чем в поверхностном слое резиста. Эта площадь определяется длиной пути электрона в резисте и подложке. Хотя максимальное рассея­ние энергии в единице объема из-за 00 гораздо меньше, объемный их вклад сравним. Доля РМУ и 00 в экспозиции резиста зависит от энергии излучения, толщины слоя и атомного номера элемента, входящего в состав вещества подложки. При повышении энергии излучения уменьшается потеря энергии на единицу длины пути, а при увеличении толщины слоя возрастает кумулятивный эффект столкновений электронов РМУ. Площадь, экспонируемая на гра­нице резист — подложка, увеличивается с ростом толщины слоя. Адекватное экспонирование требует, чтобы пробег электронов в полимерном слое превышал его толщину с тем, чтобы обеспечить экспонирование резиста вблизи границы резист — подложка. С воз­растанием атомного номера элементов, образующих вещество под­ложки, увеличивается доля электронов 00 и уменьшается длина пробега электронов в подложке, в результате чего электроны 00 концентрируются вблизи оси луча.

С целью уменьшения эффекта обратного рассеяния электронов и повышения разрешающей способности разработана теоретиче­
ская модель коррекции дозы электронно-лучевого экспонирования резиста. Ее применение обеспечивает получение необходимого про­филя линии в проявленных резистах независимо от материала подложки [14].

Теперь с помощью моделей проанализируем проявление ре­зиста. При экспонировании позитивных резистов уменьшается их ММ, поэтому участки с разной поглощенной энергией различаются по ММ резиста [15]. Если используемый проявитель растворяет полимер с ММ меньше критической, то проявление профиля ре­зиста протекает в соответствии с профилем поглощения энергии Екрит [Ю]. Такой подход правомерен в случае высоких доз излу­чения и высокой контрастности, так как только при этом профиль резиста становится независи­мым от продолжительности проявления. Для ПММА на алюминиевой подложке при дозе 0,3-10-8 и 1,0-10-8 Кл/см2 наблюдается хорошая корреля-

Рис. VII. 6. Влияние на профиль края рёльефа ПММА (х— расстояние от оси дочка электронов; d — толщина слоя) про­должительности проявления в метилизобу - тилкетоне.

ция между рассчитанными [10] и найденными экспериментально профилями [16]. Модели, учитывающие скорость проявления, ис­пользовали Гатцакис [17] и Гринейх [15]. Гринейх использует эмпирически установленное уравнение для скорости растворения резиста R в экспонированных участках:

(VII. 21)

Я = Я0+р/М

где #0, р и а — константы для данного растворителя; Mf—ММ в данном участке резиста после экспонирования.

Типичная картина зависимости профиля края рельефа ПММА от продолжительности проявления изображена на рис. VIE 6.

Моделирование процесса проявления негативного резиста более сложно, так как наряду с проявлением протекает экстракция рас­творимых веществ с экспонированных участков, набухание послед­них и усадка после сушки. Несмотря на это, и здесь приближен­ные модели дают хорошее согласие с экспериментом [13], осо­бенно для дозы, условно локализованной в основном в пределах оси экспозиционного пучка излучения и ширины линий элементов рельефа больше 0,4 мкм.

Теоретические соотношения, характеризующие форму профиля элементов рельефа после проявления, позволяют правильно вы­брать параметры обработки и дают возможность алгоритмизиро­вать эффект близости, что важно при экспонировании через шаб­лон, имеющий геометрически сложные элементы [18].