Создание оболочек, выдерживающих импульсное давление боль­шой амплитуды, является актуальной задачей в различных областях техники. Некоторые результаты исследования динамики многослой­ных оболочек приведены в работах [1—И].

В данной статье изложены методы и результаты теоретического исследования напряженно-деформированного состояния многослой­ных толстостенных труб, нагруженных волной давления в жидкос­ти. Динамика конструкций изучается на основе одно - и трехмерных уравнений теории упругости. Поверхности раздела слоев определя­ются уравнениями г = const. Взаимодействие с окружающей средой учтено по гипотезе плоского отражения.

Для решения одномерных задач применен «стандартный вари­ант» характеристико-разностного метода [3], который, как показали исследования, является одним из наиболее эффективных методов изучения распространения волн в многослойных трубах.

Уравнения, описывающие нестационарный процесс одномерного деформирования оболочек с цилиндрической и сферической симмет­рией в виде, удобном для применения характеристико-разностного метода, приведены в [3]. Приняв условие непрерывности радиальных напряжений и скоростей частиц на границах раздела слоев и, учиты­вая взаимодействие многослойной трубы с окружающей средой, за­пишем граничные условия задачи

г = Rv ar, (R^t) = — Рг (t) + р0с0vr (Rv t),

Т = /?2, 0Tl (-ff2,£) = <Jrt (R%,t), Vj (R%,t) = l?2

r = Rh (Ri, t) --- CT-i (Rut), Vi^i (Rt, t) = ut (R,,t), (1}

r Grn (Rn+h f) — Pi (t) — Pn+lCn+lVn (Rn+i, t),

где r — радиальная координата; t — время; Rlr fln+i — внутренний и наружный радиусы многослойной оболочки; /?( — радиус границы раздела і — 1 и і слоев; оГі — радиальное напряжение на границе г = Rt і-го слоя; р0 и рп+1 , С0, Сп+, — плотности и скорости зву­ка в среде внутри и снаружи многослойной оболочки соответственно; Pi (0» Рч (0 — ВИД функции нагружения на внутренней и наружной поверхности многослойной оболочки; v — скорость; і = 1,2, ...

...1 п — число слоев.

Начальные условия нулевые. Следуя [3], получены дискретные уравнения, которые приведены ниже без вывода.

1. Внутренние точки і-го слоя трубы

- 4? + {[1 + (1 — JV) v’l -^-Ч - +

+ Wv;Jir!+i±..},

oft* -

rk

П1дГі ' + 7~ (a^h-i + °^-и ~ CT®ft-i ~ CTeft+i) j ■

y;+l =

it. At

(2)

Здесь и в дальнейшем к, j — порядковые номера слоев дискретиза­ции по радиусу и времени; At, Art — шаги дискретизации по време­ни и радиусу; сте — широтное напряжение; Eif v*— обобщенные упругие константы, аналогичные приведенным в работе [3]; N — па­раметр (в случае N = 1 — цилиндрическая труба); р4 — плотность материала г-го слоя.

2. Внутренняя граница (г = RJ:

J+[20]

= — Pi (j&t) + PaC0vi, 1

K+l = ■

Poco

1 ClAtN / gtA* Л 1

etA«./V ІЛГ

2-Яі ІРіс]Л] l/j—(iV — 1) v| Pic

1 -

1 — (JV — 1) v.

vi -4-

cj Д/vJiV

x j 1 +

2л,[1-(лг-1) v;

I /-A*s 2/?i — Ci&tN [1 - (N - 1) v; - v[] + Pl (7 2ДіРЛ [1 - (JV - 1) v*J

2Ді + CjAtJV j 4 (A<)a EK

+ 2ЛіРіс, rM-i 2i?2[l — (TV — 1) VJ] PlCi

* j ] vi<ft

)■

e^AtN 2/fjpiC]

+

1 — (JV — 1) v

-7—1 і T °®k °ek+i 1

Eto

Лд [1— (iV — 1) vj] *

V,

+

V1

3. Внешняя граница (г = Дп+і)

^+1 =

к д*

c„AtN

+ <) +

1 +

. Pn+lcn+i (, cnAtN + Рпсп 2Д

1 — (N — 1) v„

п+1

2Дп+і cnAtN

X 1 +

VI

2ЛП+1 fl - (ЛГ - 1) v;j І «-1 ^„+iP„=„ 2ЛП+1 - cnAtN (1 - (TV - 1) v; - v;]

— Pa (/ДО

2Яп+іРпс« [1 — (JV — 1) <]

* ЛТ..З—1

c„AtN

cn(Aty E’nNv>k

2[1 — (^V — 1) vn] pne„ 2Дп+1рпсп

і _ {iV _ і) v; <4 = Pa (/Д^) p„+iCn+1^ ; El At

t: (yft+1 + vk *) +

І j—*1 — CT0fe«l — °0ft

n rft

(4)

<=ав*1 +

°rk )• Р|_Л_|'v’-iN і — (tv — і) v;_t

+

i — -1) v;

Поверхность раздела (г = Д;):

ffr^1 — a^j — pi-id-i (vi+i — v£) =

Сі_іДі 2R>

p, e;v*TV 1-,jV-1,v;K+- + ‘'i+') +

<’ - arft+, + р, с1 K+1 — yi+2) =

X (vl-1 + v’k+i) — N (a3rh_t + a^1 — aeft-1 — aj^1)

(TV — 1) v’

+ *(<

1 —(TV —1) vM

X [v'_, (oj+ - < ’) + Ь. R'At (vj+ +

(J'0. і і --- ^в/_ы ~ *------------------ Г-- ^

«А+) «А + І 1 — (iV — 1) V*

E’M

И+’ + vjr1)

(e’rV ~ ^ +

В уравнениях (3) — (5) Rt — радиус поверхности раздела между і — 1 и і слоями многослойной оболочки; Cit Е{ — скорость звука в материале і-то слоя и обобщенная упругая константа, вычисляе­мые по формулам [3]. Выражения (2) — (5) позволяют при задании pit2 (t) построить решение задачи в каждый последующий момент времени по значению зависимых переменных в два предыдущих момента времени и tj.

В случае отсутствия окружающей среды уравнения (2) — (5) после несложных преобразований совпадают с выражениями, при­веденными в работе [3].

Ниже представлены некоторые результаты расчетов, полученные с использованием приведенного алгоритма. Распределение радиаль­ных и широтных напряжений по толщине стенки двухслойной трубы, нагруженной по внутренней поверхности давлением в виде функции Хевисайда в различные моменты времени, показано на рис. 1. Свой­ства внутреннего слоя близки к стали (рг = 8,7 ■ 103 кг/м3, Ег = = 2,05 • 1011 Н/м2, = 0,3), наружного — к алюминию (р2 = 2,9 X

X 103 кг/м3, Е2 = 0,686 ■ 1011 Н/м2, v2 = 0,3). Труба находится в условиях плоского напряженного состояния. Для большей общнос­ти кривые построены в безразмерных координатах г) = r/Blt Т = = C^tlRi - Штриховыми линиями показано распределение напряже­ний при статическом приложении нагрузки. Как видно (рис. 1, б), распределение широтных напряжений по толщине стенки второго слоя при статическом приложении нагрузки практически совпадает

Рис. 1. Безразмерное радиальное (а) и широтное (б) напряжения в функции без­размерной радиальной координаты для различных моментов времени (Дt =5 К X 10-8 с): j _ т = 0,265 с; 2 — Т = 0,53; 3 — Т =■ 1,05; 4 — Т = 3,17; Л — Г = 5,29; в — Т = = 2,111 1 — Т ■= 4,23 о.

с динамическим в момент времени Т = 2, 11, поэтому оно выделен*» стрелкой. Окружающая среда отсутствует. Анализ результатов рас­четов, представленных на рис. 1, показывает, что абсолютный мак­симум широтных напряжений в каждом слое достигается на его внут­ренней поверхности.

Исследования, базирующиеся на методах, изложенных в [2— 10], требуют применения быстродействующих ЭВМ, однако, полу­чаемые из численного решения результаты неудобны для анализа. Это затрудняет использование подобных методов в практических расчетах.

Далее с привлечением предположения о несжимаемости получены относительно простые аналитические зависимости для вычисления главных напряжений в слоях двухслойной трубы, нагруженной им­пульсным нормальным давлением экспоненциальной формы по внут­ренней поверхности. Для синусоидальной формы импульса нагру­жения подобная задача решена в работе [11]. Там же записаны ос­новные уравнения и условие несжимаемости. Начальные условия задачи нулевые, граничные — имеют вид

г = RаГг = — 2р1е~~1/*' + раСодщ/дї,

г = Д2, щ = и2; оГ| — orj; (6)

г = огя = p3c3du2/dt,

где Uj — радиальное перемещение; 0Х — характеристическое время экспоненты нагружения; рх — амплитуда ударной волны.

Опустив промежуточные выкладки, подробно приведенные в ра­боте [11], окончательно запишем: для внутреннего слоя

2Рл<д - ___

°Г‘ = 1 - 2ев, + [Лг, в~Є( Sin (at ~ Фг,) + СіЄ 0'1 ~ 2РіЄ 0‘! (7)

#1 < Г < Л2

°0- “ 1—О ~2а2 Me. e^sin (со* - фв.) + С2е~"^‘] - 2Ple~ el, (8)

1 — ZeOj - f - (OqOj

для наружного слоя

2/>-q2 i_

1-2,8,‘+.j8? + <4 (9)

#2 < Т < R3

2Р в2 ~ 1

авг = 1 оаі 2^,2 ' Ме, е—sin (e»f - <p0J) + С4в ~ 5Ї], (10)

і — - f - WqWj

где

n_________ Ei_____ •___ ь — • i - . і.__ Дз ___ i. t. ,

Pl_ Pi In /Cj + p2 In /с, ’ [21] Я, ’ Й*-“ЯГ* л

g ___________ *Ро<чі_ + Рзсз

2R3 (pt In kj + p2 In fes) ’

2 [Piefv!*! (k — 1) + p3c|v3 (Af — 1)] co0

--kV-

Pi In + Pa In k2 1

V* = (1 — 2vO/2 (1 - Vi); лг, = іЛі? + fif; Л0, = К ЛІ + fi| фГ| = arctg (В^АіУ,

, о 2- / і __ 1 1 — e0t ((О2 + Є2) (80, + 1) — 2є2 . Г

At,2 = 2plClVl ^ =F - Pi---------- hi---------------------- ln - ДГ ■-

p0c0 8—01 (Ba + (£>2)

BU2 = 2Plc, v, ^ =F -

л, е, » ‘ ■""•'І я!

„ 0f (oj2 + e2) — 2e r p0c0 .

_ pi ©; ш ~r~ ~ іщ;' ln'ir~ ~i$~ + 2pic‘Vl =F : ф0- = arctS (Bi! Atyt Ar,= V Aj + Bt - Ae,= V At + Bl co = Val-e2;

. Р3СЯ е-0і(83+й)г) 0 2- 1-801 / 1 - r 1

4з’4 - - Щвг s + 2p^ “ M0, ^ + —j -

, r (Ma + 82)(e01 + l) — 2e2. p _ p3e3 I о 2~ I 1 _ 1 Рз Я3 (00, ’ 3’4 Д30, + 2Pac2V2^ Щ =F r2 j

©X (И2 + E2) — 2e, Г ~ 0 2- / 1 _ 1 ,

P2 "ІЙГ ’ 3’4 ~ P2C2V2f “д|”^ T^j

+ “§•ln - Щ - + -^7 ; фг, = arctg (Яд/Аэ); Фв5 = arctg (B4/A4).

Для выявления области применимости приближенных зависимос­тей выполнено сравнение результатов расчетов по формулам (8) — (10) с результатами, полученными характеристико-разностным мето­дом [3—9]. Установлено, что выражения (8) — (10) могут быть ис­пользованы для выполнения инженерных расчетов двухслойных труб. Погрешность расчета по максимальным широтным напряжениям для стальных труб при к < 1,3 не превышает 25 %, причем с умень­шением к погрешность снижается.

Приближенные зависимости, полученные в настоящей работе II статье [11], позволили разработать методику проектировочного и. Проверочного расчетов экспоненциальной или синусоидальной формы 11].

Описанный выше подход да­ет достаточно хорошие резуль­таты на участке, отдаленном от торцов трубы. Расчет напря­женно-деформированного состо­яния вблизи торцов необходимо проводить на основе двумерных уравнений динамической теории упругости. Задача еще более усложняется в случае неосесим­метричного нагружения, когда необходимо использовать трех­мерные уравнения.

Рассмотрим некоторые ре­зультаты, полученные при чис­ленном исследовании поведения многослойных труб, нагружен­ных внешним гидроударом [5-8].

Метод решения основан на разложении внешнего давления и компонент вектора перемеще­ний в ряды Фурье по окружной координате. Подстановка рядов в уравнения динамической тео­рии упругости, граничные и начальные условия приводит к N взаимонезависимым систе­мам двумерных дифференциальных уравнений, каждая из которых решается методом конечных разностей с использованием явной трехслойной схемы по времени.

Для иллюстрации возможностей разработанных алгоритмов при­ведем результаты расчетов элементов двухслойной конструкции, выполненных из стекла и стали, полученные для случая воздействия короткой подводной волны, длина которой приблизительно равна толщине слоя. При этом в стенке возникают интенсивные волны окружных (рис. 2) и радиальных напряжений, уровень которых мо­жет более чем в 6 раз превышать амплитудное значение давления в падающей волне. Появление растягивающих и сдвиговых напряже­ний, соизмеримых с давлением падающей волны, может привести к отрыву слоев, разгерметизации конструкции и ее разрушению.

Таким образом, разработанные в ИПП АН УССР алгоритмы поз­воляют выполнить проектировочные и проверочные расчеты много­слойных труб, нагруженных импульсным давлением как в зоне концентратора напряжений, так и вдали от нее.