МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОИ ПРОЧНОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ТРУБ

Создание оболочек, выдерживающих импульсное давление боль­шой амплитуды, является актуальной задачей в различных областях техники. Некоторые результаты исследования динамики многослой­ных оболочек приведены в работах [1—И].

В данной статье изложены методы и результаты теоретического исследования напряженно-деформированного состояния многослой­ных толстостенных труб, нагруженных волной давления в жидкос­ти. Динамика конструкций изучается на основе одно - и трехмерных уравнений теории упругости. Поверхности раздела слоев определя­ются уравнениями г = const. Взаимодействие с окружающей средой учтено по гипотезе плоского отражения.

Для решения одномерных задач применен «стандартный вари­ант» характеристико-разностного метода [3], который, как показали исследования, является одним из наиболее эффективных методов изучения распространения волн в многослойных трубах.

Уравнения, описывающие нестационарный процесс одномерного деформирования оболочек с цилиндрической и сферической симмет­рией в виде, удобном для применения характеристико-разностного метода, приведены в [3]. Приняв условие непрерывности радиальных напряжений и скоростей частиц на границах раздела слоев и, учиты­вая взаимодействие многослойной трубы с окружающей средой, за­пишем граничные условия задачи

г = Rv ar, (R^t) = — Рг (t) + р0с0vr (Rv t),

Т = /?2, 0Tl (-ff2,£) = <Jrt (R%,t), Vj (R%,t) = l?2

r = Rh (Ri, t) --- CT-i (Rut), Vi^i (Rt, t) = ut (R,,t), (1}

r Grn (Rn+h f) — Pi (t) — Pn+lCn+lVn (Rn+i, t),

где r — радиальная координата; t — время; Rlr fln+i — внутренний и наружный радиусы многослойной оболочки; /?( — радиус границы раздела і — 1 и і слоев; оГі — радиальное напряжение на границе г = Rt і-го слоя; р0 и рп+1 , С0, Сп+, — плотности и скорости зву­ка в среде внутри и снаружи многослойной оболочки соответственно; Pi (0» Рч (0 — ВИД функции нагружения на внутренней и наружной поверхности многослойной оболочки; v — скорость; і = 1,2, ...

...1 п — число слоев.

Начальные условия нулевые. Следуя [3], получены дискретные уравнения, которые приведены ниже без вывода.

1. Внутренние точки і-го слоя трубы

- 4? + {[1 + (1 — JV) v’l -^-Ч - +

+ Wv;Jir!+i±..},

oft* -

rk

П1дГі ' + 7~ (a^h-i + °^-и ~ CT®ft-i ~ CTeft+i) j ■

y;+l =

it. At

(2)

Здесь и в дальнейшем к, j — порядковые номера слоев дискретиза­ции по радиусу и времени; At, Art — шаги дискретизации по време­ни и радиусу; сте — широтное напряжение; Eif v*— обобщенные упругие константы, аналогичные приведенным в работе [3]; N — па­раметр (в случае N = 1 — цилиндрическая труба); р4 — плотность материала г-го слоя.

2. Внутренняя граница (г = RJ:

J+[20]

= — Pi (j&t) + PaC0vi, 1

K+l = ■

Poco

1 ClAtN / gtA* Л 1

etA«./V

ІЛГ

2-Яі ІРіс]Л] l/j—(iV — 1) v| Pic

1 -

1 — (JV — 1) v.

vi -4-

cj Д/vJiV

x j 1 +

2л,[1-(лг-1) v;

I /-A*s 2/?i — Ci&tN [1 - (N - 1) v; - v[] + Pl (7 2ДіРЛ [1 - (JV - 1) v*J

2Ді + CjAtJV j 4 (A<)a EK

+ 2ЛіРіс, rM-i 2i?2[l — (TV — 1) VJ] PlCi

* j ]

vi<ft

)■

e^AtN

2/fjpiC]

+

1 — (JV — 1) v

-7—1 і

T °®k °ek+i 1

Eto

Лд [1— (iV — 1) vj] *

V,

+

V1

3. Внешняя граница (г = Дп+і)

^+1 =

к д*

c„AtN

+ <) +

1 +

. Pn+lcn+i (, cnAtN + Рпсп 2Д

1 — (N — 1) v„

п+1

2Дп+і cnAtN

X 1 +

VI

2ЛП+1 fl - (ЛГ - 1) v;j І «-1 ^„+iP„=„

2ЛП+1 - cnAtN (1 - (TV - 1) v; - v;]

— Pa (/ДО

2Яп+іРпс« [1 — (JV — 1) <]

* ЛТ..З—1

c„AtN

cn(Aty E’nNv>k

2[1 — (^V — 1) vn] pne„ 2Дп+1рпсп

і _ {iV _ і) v;

<4 = Pa (/Д^) p„+iCn+1^ ;

El At

t: (yft+1 + vk *) +

І j—*1

— CT0fe«l — °0ft

n rft

(4)

<=ав*1 +

°rk )•

Р|_Л_|'v’-iN

і — (tv — і) v;_t

+

i — -1) v;

Поверхность раздела (г = Д;):

ffr^1 — a^j — pi-id-i (vi+i — v£) =

Сі_іДі

2R>

p, e;v*TV

1-,jV-1,v;K+- + ‘'i+') +

<’ - arft+, + р, с1 K+1 — yi+2) =

X (vl-1 + v’k+i) — N (a3rh_t + a^1 — aeft-1 — aj^1)

(TV — 1) v’

+ *(<

1 —(TV —1) vM

X [v'_, (oj+ - < ’) + Ь. R'At (vj+ +

(J'0. і і --- ^в/_ы ~ *------------------ Г-- ^

«А+) «А + І 1 — (iV — 1) V*

E’M

И+’ + vjr1)

(e’rV ~ ^ +

В уравнениях (3) — (5) Rt — радиус поверхности раздела между і — 1 и і слоями многослойной оболочки; Cit Е{ — скорость звука в материале і-то слоя и обобщенная упругая константа, вычисляе­мые по формулам [3]. Выражения (2) — (5) позволяют при задании pit2 (t) построить решение задачи в каждый последующий момент времени по значению зависимых переменных в два предыдущих момента времени и tj.

В случае отсутствия окружающей среды уравнения (2) — (5) после несложных преобразований совпадают с выражениями, при­веденными в работе [3].

Ниже представлены некоторые результаты расчетов, полученные с использованием приведенного алгоритма. Распределение радиаль­ных и широтных напряжений по толщине стенки двухслойной трубы, нагруженной по внутренней поверхности давлением в виде функции Хевисайда в различные моменты времени, показано на рис. 1. Свой­ства внутреннего слоя близки к стали (рг = 8,7 ■ 103 кг/м3, Ег = = 2,05 • 1011 Н/м2, = 0,3), наружного — к алюминию (р2 = 2,9 X

X 103 кг/м3, Е2 = 0,686 ■ 1011 Н/м2, v2 = 0,3). Труба находится в условиях плоского напряженного состояния. Для большей общнос­ти кривые построены в безразмерных координатах г) = r/Blt Т = = C^tlRi - Штриховыми линиями показано распределение напряже­ний при статическом приложении нагрузки. Как видно (рис. 1, б), распределение широтных напряжений по толщине стенки второго слоя при статическом приложении нагрузки практически совпадает

МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОИ ПРОЧНОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ТРУБ

Рис. 1. Безразмерное радиальное (а) и широтное (б) напряжения в функции без­размерной радиальной координаты для различных моментов времени (Дt =5 К X 10-8 с):

j _ т = 0,265 с; 2 — Т = 0,53; 3 — Т =■ 1,05; 4 — Т = 3,17; Л — Г = 5,29; в — Т = = 2,111 1 — Т ■= 4,23 о.

с динамическим в момент времени Т = 2, 11, поэтому оно выделен*» стрелкой. Окружающая среда отсутствует. Анализ результатов рас­четов, представленных на рис. 1, показывает, что абсолютный мак­симум широтных напряжений в каждом слое достигается на его внут­ренней поверхности.

Исследования, базирующиеся на методах, изложенных в [2— 10], требуют применения быстродействующих ЭВМ, однако, полу­чаемые из численного решения результаты неудобны для анализа. Это затрудняет использование подобных методов в практических расчетах.

Далее с привлечением предположения о несжимаемости получены относительно простые аналитические зависимости для вычисления главных напряжений в слоях двухслойной трубы, нагруженной им­пульсным нормальным давлением экспоненциальной формы по внут­ренней поверхности. Для синусоидальной формы импульса нагру­жения подобная задача решена в работе [11]. Там же записаны ос­новные уравнения и условие несжимаемости. Начальные условия задачи нулевые, граничные — имеют вид

г = RаГг = — 2р1е~~1/*' + раСодщ/дї,

г = Д2, щ = и2; оГ| — orj; (6)

г = огя = p3c3du2/dt,

где Uj — радиальное перемещение; 0Х — характеристическое время экспоненты нагружения; рх — амплитуда ударной волны.

Опустив промежуточные выкладки, подробно приведенные в ра­боте [11], окончательно запишем: для внутреннего слоя

2Рл<д - ___

°Г‘ = 1 - 2ев, + [Лг, в~Є( Sin (at ~ Фг,) + СіЄ 0'1 ~ 2РіЄ 0‘! (7)

#1 < Г < Л2

°0- “ 1—О ~2а2 Me. e^sin (со* - фв.) + С2е~"^‘] - 2Ple~ el, (8)

1 — ZeOj - f - (OqOj

для наружного слоя

2/>-q2 i_

1-2,8,‘+.j8? + <4 (9)

#2 < Т < R3

2Р в2 ~ 1

авг = 1 оаі 2^,2 ' Ме, е—sin (e»f - <p0J) + С4в ~ 5Ї], (10)

і — - f - WqWj

где

n_________ Ei_____ •___ ь — • i - . і.__ Дз ___ i. t. ,

Pl_ Pi In /Cj + p2 In /с, ’ [21] Я, ’ Й*-“ЯГ* л

g ___________ *Ро<чі_ + Рзсз

2R3 (pt In kj + p2 In fes) ’

2 [Piefv!*! (k — 1) + p3c|v3 (Af — 1)]

co0

--kV-

Pi In + Pa In k2 1

V* = (1 — 2vO/2 (1 - Vi); лг, = іЛі? + fif; Л0, = К ЛІ + fi| фГ| = arctg (В^АіУ,

, о 2- / і __ 1 1 — e0t ((О2 + Є2) (80, + 1) — 2є2 . Г

At,2 = 2plClVl ^ =F - Pi---------- hi---------------------- ln - ДГ ■-

p0c0 8—01 (Ba + (£>2)

BU2 = 2Plc, v, ^ =F -

л, е, » ‘ ■""•'І я!

„ 0f (oj2 + e2) — 2e r p0c0 .

_ pi ©; ш ~r~ ~ іщ;' ln'ir~ ~i$~ + 2pic‘Vl =F : ф0- = arctS (Bi! Atyt Ar,= V Aj + Bt - Ae,= V At + Bl co = Val-e2;

. Р3СЯ е-0і(83+й)г) 0 2- 1-801 / 1 - r 1

’4 - - Щвг s + 2p^ “ M0, ^ + —j -

, r (Ma + 82)(e01 + l) — 2e2. p _ p3e3 I о 2~ I 1 _ 1 Рз Я3 (00, ’ 3’4 Д30, + 2Pac2V2^ Щ =F r2 j

©X (И2 + E2) — 2e, Г ~ 0 2- / 1 _ 1 ,

P2 "ІЙГ ’ 3’4 ~ P2C2V2f “д|”^ T^j

+ “§•ln - Щ - + -^7 ; фг, = arctg (Яд/Аэ); Фв5 = arctg (B4/A4).

Для выявления области применимости приближенных зависимос­тей выполнено сравнение результатов расчетов по формулам (8) — (10) с результатами, полученными характеристико-разностным мето­дом [3—9]. Установлено, что выражения (8) — (10) могут быть ис­пользованы для выполнения инженерных расчетов двухслойных труб. Погрешность расчета по максимальным широтным напряжениям для стальных труб при к < 1,3 не превышает 25 %, причем с умень­шением к погрешность снижается.

Приближенные зависимости, полученные в настоящей работе II статье [11], позволили разработать методику проектировочного и. Проверочного расчетов экспоненциальной или синусоидальной формы 11].

Описанный выше подход да­ет достаточно хорошие резуль­таты на участке, отдаленном от торцов трубы. Расчет напря­женно-деформированного состо­яния вблизи торцов необходимо проводить на основе двумерных уравнений динамической теории упругости. Задача еще более усложняется в случае неосесим­метричного нагружения, когда необходимо использовать трех­мерные уравнения.

МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОИ ПРОЧНОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ТРУБ

Рассмотрим некоторые ре­зультаты, полученные при чис­ленном исследовании поведения многослойных труб, нагружен­ных внешним гидроударом [5-8].

Метод решения основан на разложении внешнего давления и компонент вектора перемеще­ний в ряды Фурье по окружной координате. Подстановка рядов в уравнения динамической тео­рии упругости, граничные и начальные условия приводит к N взаимонезависимым систе­мам двумерных дифференциальных уравнений, каждая из которых решается методом конечных разностей с использованием явной трехслойной схемы по времени.

Для иллюстрации возможностей разработанных алгоритмов при­ведем результаты расчетов элементов двухслойной конструкции, выполненных из стекла и стали, полученные для случая воздействия короткой подводной волны, длина которой приблизительно равна толщине слоя. При этом в стенке возникают интенсивные волны окружных (рис. 2) и радиальных напряжений, уровень которых мо­жет более чем в 6 раз превышать амплитудное значение давления в падающей волне. Появление растягивающих и сдвиговых напряже­ний, соизмеримых с давлением падающей волны, может привести к отрыву слоев, разгерметизации конструкции и ее разрушению.

Таким образом, разработанные в ИПП АН УССР алгоритмы поз­воляют выполнить проектировочные и проверочные расчеты много­слойных труб, нагруженных импульсным давлением как в зоне концентратора напряжений, так и вдали от нее.

Оставить комментарий