В расчетах, приведенных выше, предполагалось, что коэффи­циент теплопроводности К не зависит от температуры и остается постоянным в рассматриваемом слое стенки. Но в действитель­ности коэффициент теплопроводности зависит от температуры и изменяется с ее изменением во многих практических случаях на 50% и более. Вообще изменение Х в зависимости от температу­ры будет передаваться достаточно точно, если рассматривать Л как линейную функцию температуры:

X.= а ± Ъ • (45)

Предполагая, что коэффициент теплопроводности изменяется с изменением температуры линейно по уравнению (45), получаем, что через стенку с поверхностью Р ж2, толщиной 5 м и темпера­турами поверхностей ^ 1И ^2 проходит следующее количество тепла:

<2 = - у [а • (*, — t2) ± ~ • (*? — Ф ] ккал/час. (46)

Сравнивая уравнение (46) с уравнением (2а), можем опреде­

Лить средний, или эквивалентный, коэффициент теплопроводно­сти Хср подстановка которого в уравнение (2а) даст действи­тельную величину теплового потока. Этот средний коэффициент теплопроводности

TOC o "1-5" h z Хср = а ± -у (^х + 4) ккал/м • час °С. (47)

Здесь а и Ь определяются уравнением (45). Количество передан­ного тепла с учетом непостоянства коэффициента теплопровод­ности составит, согласно уравнению (47), 1

Р

(2 =----- Хс • Н1 —/2) ккал/час. (48)

Средний коэффициент теплопроводности по уравнению (47) есть не что иное, как среднее арифметическое значение из коэффици­ентов теплопроводности, взятых при температуре t и /г-

Графическое распределение температуры при изменяющемся коэффициенте теплопроводности будет выражаться уже не пря­мой, а кривой линией. Распределение этой температуры строит­ся на основании следующей формулы:

*= Г + |/ ^ + (т + ^)2°С (49)

В этом уравнении Ь — температура стенки на расстоянии в м от поверхности с температурой £>• Если в уравнении (45) действи-

Телен знак минус, т. е. значение Ъ будет отрицательное и X с по­вышением темлературы будет уменьшаться, то вместо уравне­ния (49) будет действительным выражение:

' = 7^ (60)

Как правило, в практических расчетах кривой распределения температуры «применяется уравнение (49), так как у большинст­ва материалов, применяемых в технике (кроме металлов), врас­тет с повышением темлературы.

Чтобы дать действительную картину отклонения кривой рас­пределения температуры от прямой линии, на рис. 3 изображена кривая распределения температуры в стенке толщиной 0,25 м с температурами поверхностей ^ = 1000° С, (2=0оС и коэффициен­том теплопроводности %= 1,0 + 0,001 Л Это приблизительно соот­ветствует теплопередаче через шамотную и динасовую стенки.

Вывод. Подставляя в уравнение (2а) значение Я, выведенное из урав­нения (45), получим

<2 = (а±^-^ Аз

Или порш интегрирования

Коюстанта интегрирования определяется из граничных условий на поверхно­сти, т. е. если 5 = 0, тогда / должна быть равна данной (самой низкой) темпе­ратуре ^2* Следовательно,

<1 = г (а*2±Т '*) + с-

Принимая для другой стороны стенки граничные условия, т. е. при 5 = «о» ^ получим

<3-50=р(а/,±^-/?) + С-

Вычитая первое уравнение из второго, получим

^ ~ ”«7 [а /2)± (*1 ~ Ф ]*

Отсюда можно найти средний коэффициент теплопроводности, который поз­волит упростить довольно сложное уравнение (46). Принимая во внимание известный факт, что Л2—&2=(^1—Г^ + ^З^ можно величину и— вынести за скобки и получить из вышеприведенного уравнения следующее выражение:

= !-**)■ [а±-^-(<! + «]•

Если приравнять правую часть этого уравнения к правой части уравне­ния (2а), то для искомого среднего значения X получим уравнение (47). Формулу для расчета кривой распределения температуры получаем, решая квадратное уравнение для (Зя относительно I при положительном значении Ь:

,= _ — _а* 2 ((? • 5 - С)

Ь ± у Ь* + Ь Г

Вводя в это уравнение значение С, получаем уравнение (49). Так как тем­пература'не может быть отрицательной, то корень имеет физический смысл лишь при положительных значениях данного выражения. Подкоренное выра­жение непосредственно показывает, что распределение температуры проис­ходит по кривой, а не по прямой линии, как это наблюдалось в случае по­стоянного коэффициента теплопроводности (см. рис. 3).