Уравнения неразрывности, движения и энергии представляют собой математическую формулировку основных физических принципов и не зависят от природы жидкости. Уравнения, опи­сывающие процессы течения, всегда являются следствием этих уравнений, рассматриваемых совместно с реологическим уравне­нием жидкости. В этом разделе они приводятся без доказательства и используются для краткого математического вывода уравнений течения.

Рассмотрим некоторую область в пространстве, занятом движу­щейся вязкой жидкостью. Плотность жидкости р, давление Ри тем­пература Тявляются скалярными величинами; скорость жидкости v является векторной величиной, в то время как величина г, пред­ставляющая собой результат действия вязких сил, есть симметрич­ный тензор второго ранга. В дальнейшем эти величины рассматри­ваются как функции времени и пространственных координат.

Рассмотрим произвольный элемент жидкости, расположенный внутри воображаемой замкнутой поверхности, которая движется вместе с элементом, но не оказывает на него воздействия. Элемент жидкости представляет собой термодинамически замкнутую сис­тему. т. е. такую систему, которая может обмениваться с окружаю­щей средой энергией, но не веществом.

Из закона сохранения вещества следует, что масса в замкнутой системе остается постоянной. Уравнение неразрывности 11, 5, 6|

^ = - P('v) (1.1)

(/ - время) является математическим выражением этого закона.

Согласно второму закону Ньютона, изменение количества дви­жения элемента жидкости равно сумме всех сил, действующих на пего. Математическое выражение этого утверждения есть уравне­ние движения:

p^- = -(V/>) + (Vx)+px, (1.2)

l ie r — главный вектор массовых сил (сил, приходящихся на единицу массы), ийствуюших на жидкость в рассматриваемой точке.

Из первого закона термодинамики (закона сохранения энер - |ии), примененного к элементу жидкости, следует уравнение мер-

гии:

’Cv^ = -(V «)-4fJ] (V v) + (t:vvyf, (13)

А

Р

l ie Cv — удельная теплоемкость жидкости при постоянном объеме; А —термичес­кий эквивалент работы; </ —вектор теплового потока, связанный с градиентом к-мпературы и изотропной среде законом теплопроводности Фурье:

? = -*(VT), (1.4)

i .ic к - коэффициент теплопроводности жидкости.

Компоненты вектора теплового потока в прямоугольной, ци­линдрической и сферической системах координат представлены в мол. 1.1.

Векторная форма, в которой были записаны уравнения нераз­рывности, движения и энергии, имеет перед скалярной преиму­щество, состоящее в краткости записи и независимости от выбора системы координат. Однако при решении конкретных задач тече­ния необходимо выбрать систему координат и определить в ней компоненты векторных и тензорных величин. Выбор системы ко­ординат зависит от геометрии границ жидкости.

I а б л и ц а 1.1. Компоненты вектора теплового потока 11рямоугольныс 11илннлричсскне Сферические координаты координаты координаты 1 £ .-5 | П5 1 II £ .Э т ОТ Яг=-к^ 1дТ Яу=-к — ду 1ЭГ г ЭО J07' 7о=-^- — г ЭО ЬТ q^'kTz 1 ОТ “ к • л sin 6 Эф

Ниже приведены уравнения неразрывности, движения и энергии в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах.

Уравнение неразрывности Прямоугольные координаты (х, у, г):

t+£(pv'>+£(p‘V)+£(pv‘)=0-

Цилиндрические координаты (г, 0, г):

l+;|;(p^)+;l(p, b)+&pv*)=a

Сферические координаты (г, 0, <р):

— + - у—lpr2v )+ —I——(р^с, sino)+—г------ — (pv ) = 0.

dt г-дг У ' rsinoao rsinoatp1

	+v	+ v ^	+ V^1-	dP	fdXxx	dlyX	■
Pi *	x Эх	y dy	<dz)	Эх +	dx s.	dy	dZ

Уравнение движения в прямоугольных координатах Проекция на ось х:

+ P Их-

dvv dvv £- + v	dv., + V	dvy + v f	dP	(foxy	,8t»
dt X dx V	У dy	z dz У	dy	dx	dy	dz

Проекция на ось у.

Проекция на ось z'.

My

dvyy + dz^ dz

Mz

dt

dx

Ъ.+„ i^+v ^+v 2V|--^+fe.+ + V" + V'3y+V* Эг ' Эг + Эх + Эу

Уравнение движения в цилиндрических координатах Проекция на направление г:

TOC o "1-5" h z ' j *

dP dr +

Эу, dvr v0 dvr 'q dv.

—L + V/. _JL + _Li L _ _У_ + Vt _JL

dt dr r dO r dz

+ P Xr

dr r dO r

rdr r dO r dz

dva ) I dP

Проекция на направление 0:

dvn 3v„ vn Эи» vrv,

ЭУт ■ + V - —^ - Эг	ЭР
Эг
с	+Р£г*
Эг

Эу. Эу. у0 Эу. —^- + у-—S - + -2—± Э/ ' Эг г ЭО Г » Э, V 1 Эх0 +Ьэ7^)+7м

р(

Проекция на направление с

Уравнение движения в сферических координатах Проекция на направление г:

ЭР Эг +

Эуг _ и Oiv, у0Зуг, уф Эу,

■+ У|

Э/ г Эг г 30 г sin 0 Эф

I ^лр Т00+Тфф

“Т~(г2т/г)+—г—^-(х^sinO). г2 Эг' / rsinO ЭО rsinO Эф Проекция на направление 0: J ^ + v Jv’° ■ v° dv° i V<p Эу° . V^V,> y»Ctg° I Э/ r Эг r 00 rsinO Эф г г 1 Э / 2 1 ^ / • Л 1 ^Ор х*, ctgO ——(r‘Twi 1 + —:——(xor)Sin0) +—:-------------------------------------------- -22. + - S. —x, r2 Эг' ' rsmОЭ0 rsinO Эф г г Проекция на направление ф: Эуф Эуф v0 Эуф уф Эуф уфу, у0'-ф

+ Р&--

1Э/>| гэе+

+ РЯо-

1 ЭР rsinO Эф + Р£р-

- ■+ у-—- + ——^- +—г—г*^” + - z~~~ + ——^-CtgO Э/ Эг г ЭО rsinO Эф г г

ЭТп,, + | Эх,

w | тгф t 2ctg0 ^

Ор

r2 3/-V г ЭО

rsinO Эф г Уравнение энергии

	Э^у L, _____ 1_ О.
[эх	Г I Эд'
	Эу
1х * Э^
	Эу.,
+ хк ✓	~э? + Ч

+ л! т

XX

—±.+—£. Эг Эх

г а Эг

( Э/ Д дх ду Эг

Эу,- ^ Эуу

+ /I Х«,

*4 Э^ Эх

Цилиндрические координаты (/*, 0, г):

дТ

1 а (гп w1 + э<?г

аг + г ае

Эг

^(л?')+71ё+1Г

		1Эу. ^dv0 \
[ Щ г ) г ЭО	дг + Эг J+T°‘	г до dz /»

trfap'sftd, V 1 dvG dv*' t ЭГ |> L Г Эт(n> *+ г "00 f IT.

+ Л

8vr I T, r ~дг + т°° г

tbj) 80

■ + v, +t7

Сферические координаты (г, 0. ф):

р Cv I д

(дТ дТ v0 дТ v ЭТ)

— + у — + —------ + —

Э/ дг г Э6 rsinO Эф

) rsinO Эф I

= - - т“-(^г)+—*—-^-(<fosinO) + | г2 3r' r> rsinO 80 '

1 Э

Эи.

(v0sinO) + rsinOЭО rsinO Эф

.[ dvr TI3v0 vr

+А[ъ^+ъ[т£+тг

1 Эи0 УЛ u0c/ge rsinO Эф г г

Эи, Эг

0+1^._^|+т

+Л

А?

1 Эу0 ctgQ

+Т,

г ЭО г (Ву г ЭО rsinO Эф г

I dvr Эг rsin 0 Эф

ГЭн»

На рис. 1.1 показано, как определяется положение точки к пространстве в каждой из трех указанных выше систем коорди­нат, а также направление компонент вектора скорости v в данной точке. Например, в цилиндрических координатах компонента скорости v0 перпендикулярна плоскости, образованной направ­лениями г и Z-

Девиатор тензора напряжений т, являющийся тензором вто­рого ранга, имеет компоненту т, у, где /' и j независимо принима­ют значения ху у и z. Второй индекс определяет направление действия напряжения, а первый — направление нормали к по­верхности, в которой оно действует. Например, хху представляет собой напряжение, действующее в направлении оси у в плоско-

Рис. 1.1. Компоненты вектора скорости V в прямоугольных (о), цилиндрических (й) и сферических («) координатах

cm, перпендикулярной к оси х. Вследствие симметрии тензора т,

т. е.

xii =туЬ 0-5)

юлько 6 его компонент являются независимыми.

В общем случае движение жидкости не может быть полностью определено только с помощью уравнений неразрывности, движе­ния и энергии. Поэтому возникает необходимость и реологическом уравнении, связывающем компоненты тензора напряжений с ком­понентами тензора скоростей деформации жидкости, а для слу­чая, когда плотность не может предполагаться постоянной, требу­ется и уравнение состояния. Дополнительно может потребоваться уравнение, определяющее зависимость температуры и давления от некоторых других свойств жидкости.