В настоящей работе обсуждается метод снижения металлоемкос­ти рулонированных труб и сосудов давления, который основан на применении определенного, постоянного или меняющегося в зави­симости от текущего радиуса навивки, натяжения полосы. Показана возможность установления такой взаимосвязи между радиусом внеш­ней поверхности Ь, радиусом раздела монолитной и многослойной составляющих стенки с (рис. 1), а также постоянным или перемен­ным натяжением полосы в процессе навивки, которая будет способ­ствовать более благоприятному распределению напряжений по тол­щине стенки, за счет чего последняя может быть значительно умень­шена.

Рассмотрим вначале случай, когда рулонирование цилиндра про­исходит с постоянным, пока еще неизвестным натяжением полосы, вызывающим в ней растягивающее напряжение стн. При проекти­ровании считаются известными внутренний радиус цилиндра at рабочее внутреннее давление р и характеристики прочности материа­ла.

Эквивалентные напряжения у внутренней А и внешней В поверх­ностей в соответствии с третьей теорией прочности запишутся[22]

97,2 /)2 __ л2

0ЭКВ(Л) = р Ьї _ аг 0н In сї _ а2 < (1)

2а2

Стэкв(В) = Р Ь2_ а2 + СТН - (2)

Исходя с таких позиций, можно вывести выражения эквивалент­ных напряжений у любой поверхности многослойного участка (В—С). При с < г < Ъ

2Ь2 а2 . а2 . Ь2—а2 ,4v

СТэкв(В-С) = Р Ъ2 _______ д2 — + СТН — ~2 Ш ^.2 . д2 • W

В частности у границы раздела монолитной и многослойной со­

ставляющих (г = с)

2 Ь2 а2 , а2 . Ь2 — а2 ...

ОэкВ(С) Р а2 + СТН 0Н с2 _ а2 • (’)

Рис. 1. Вид многослойном, цилиндра с торца.

1п-

экв( В—С) dr2

мума

то

Приравняем эквивалентные напряже­ния у внутренней поверхности А (на участке А—С они являются наибольши­ми) и у той поверхности многослойного участка В—С, где они достигают макси­мума. В связи с тем, что такая поверхность на участке В—С однозначно не определе­на, исследуем функцию авкв(в_с) на ми­нимум и максимум. Условием экстремума является следующее выражение: Ь2 — а2 2р

(5) где гт — радиус, соответствующий экстре­муму функции. Поскольку в точке экстре-

= — 4с„ -

й2 Ь2 — а2

<Ро,

можно утверждать, что на данную точку приходится максимум функ­ции аэкв(в-с). При гт = Ъ равенство (5) может иметь место только в слу­чае, если СТН = 2Р, при ЭТОМ условие Сэкв(А) = Оэкв(-В) осуществимо лишь при с = Ъ (навит один виток), что идет вразрез с требованием многослойности стенки цилиндра. Приходится допустить, что кри­вая функции Стэкв (в о возрастает от внешней поверхности В до по­верхности раздела С, т. е. гт — с. В связи с этим поставленное выше условие запишем в виде

*?экв (А) = Оэкв(С) = <7экв»

из которого с учетом (1) и (4) выводим:

с2 — а2

(6)

0„ (Тд

Подставляя данное выражение в (1) или (4), получаем следующую зависимость для эквивалентного напряжения, одинакового для двух указанных поверхностей:

0ЭКВ = 2 р

(7)

ft Vі

Ь2 — а21

1 + (с2 — a*) In

(Ъ2 — а2)

Две неизвестные b и с, по-видимому, могут принимать различ­ные значения, оставляя справедливым равенство (7). Установим такую величину радиуса с, при которой данное эквивалентное на­пряжение окажется наименьшим. Условием минимума функции (7) является выражение

й2_а2 с2

,2 _ „2 ~~ „г • (8)

Ь2 а2 62 _ 02 с2

Отсюда

п	h	k1	h* — 1	hl кг — 1
1	1,4	1,96	0,96	2,04167
2	1,5	2,25	1,25	1,80000
3	1,43773	2,06707	1,06707	1,93714
4	1,43710	2,06526	1,06526	1,93874

Примечание. Выражения (4) — (6) соответствуют значениям в графах

4—6 таблицы.

Итак, получены уравнения (6), (8) и (9) с тремя неизвестными — — с, Ь и <тн. Данную систему можно решить численными методами. Для упрощения последующих расчетов введем безразмерные параметры

ь с

к =— и т = —, где &>1; т 1; /с>»т. Указанная система

а а

предстанет в виде

Стн = ОЭКВ, (Щ

ь та - = <“>

аэкв = 2р {k2 _ 1} т, • (12)

Задача сводится к нахождению корней к; т; о„.

Учитывая условие прочности аэкв ^ Ы, найдем из (12)

“ - к V І - тйгт" <13>

и подставим его значение в (11)

, /г2 — 1 2 р /с2 п

2р ft2 [of А:2 — 1 ~ (I4)

fa) Л2 — 1

Полученное уравнение является функцией переменной к (/ (к)). Решение его осуществляется в два этапа, включающих, во-первых, отделение корня графическим способом и, во-вторых, его уточнение с использованием известных методов (хорд, Ньютона, итераций и др.). Определим оптимальные параметры Ь, с, а» многослойного цилиндрал если его рабочее давление р = 50,0 МПа, радиус внутренней поверх­ности а — 100 см и допускаемое напряжение стали 150,0 МПа.

Отделение корня (1,4 ^ к ^ 1,5) показано на рис. 2, а уточнение дано в таблице (к = 1,43710) Значение т и он находим соответствен­но из зависимостей (13) и (10)

т = 1,13688; ст„ = 33,946 МПа.

Значение радиусов Ь и с при известных кит определяется следу­ющим образом

	-ІЕ - . (4) [а] <ч	(5) - 1	In (6)	t (кП)	/(A,) -
	1,36111	2,65847	0,97775	—0,38336
	1,20000	6,25000	1,83258	0,63258	—1,01594
	1,29143	3,66150	1,29787	0,00644	—0,38980
	1,29250	3,64191	1,29251	0,00001	—0,38337

Сравнение данного цилиндра с монолитным, рассчитанным по за­висимостям Ламе, и двухслойным (два цилиндра, посаженные с на­тягом), рассчитанным по соотношениям Гадолина, дает представление о значительном снижении металлоемкости многослойного цилиндра. Так, цилиндр с монолитной стенкой оказывается на 86 % тяжелее многослойного, двухслойный — на 16 %.

Рулонирование цилиндра с натяжением полосы, меняющимся в зависимости от текущего радиуса, позволяет осуществить условие равнопрочности всех витков. Запишем данное условие для двух соседних витков на произвольных радиусах г* и

^ЭКВ(Й) = ^ЭКВ(Й+1> (15)

Аг,

262 аг г. я2 V

®Э1 B(ft)

Р hi а.2 2 ' CTH(ft) * 2 2j аМ’ї

k i=k

2Ь2 а2 , 0 a2 V Рзкв(й+1) = Р ~^2 _ а2 ~ г GH<fc+l) — z “j 2-І rft+l 'ft+l i=ft+l

Дг,

ан(і)

r? — a2

где aH(A+i), oH(i) — растягивающие напряжения полосы при на- вивке на к-м, к 4- 1-м и г-м радиусах соответственно. Раскроем равенство (15). Обозначая rk+i — rh = Аг; стН(&+1> —стн(й) = Аон(й) и пре- небрегая величинами второго и более высокого порядка малости, после преобразования получаем

(16)

(17)

Рис. 2. Графическое отде­ление корня к.

До,

1

Н(Г)

= 2ая

-2а

Аг —ЭКВ г “ДП Г2_д2 Считая, что толщина витка очень мала по сравнению с текущим радиусом и соот­ветственно незначителен прирост напря­жения Дстн (г), можно допустить переход к дифференциальным зависимостям. Тогда выражение (16) примет вид

da.

1

(г)

= 2о:1

- 2о

dr

Получено линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решением является следующее выражение:

где q0 — произвольная постоянная, установленная из начальных условий на нагруженной поверхности цилиндра В, где от натяжения полосы при навивке

0*(В) = оН(В); °г(В) = Oi а от внутреннего давления

2 а2 Л

ОЦВ) = Р Ь2 _ д2- °г(В) = и,

где Оцв), <Jz(B) — соответственно тангенциальные и радиальные на­пряжения у внешней поверхности.

Тогда

стзкв(В) = 2р ^2 а2 ~1~ °я(В)- (19)

Поскольку условие равнопрочности относится ко всем виткам, в том числе и наружному (г = Ъ), то полученное выражение с учетом зави­симости (18) примет вид

2а2 . / Ь2 . 0 а2 , qg /олч

^экв(В) — СГэкв — Р ^2 а2 + стэкв ( ь2 — а2 "т" «2 _ а2 ft I ' ' '

Следовательно

lnt?0 = lnft — -1--------- - Е-. (21)

Z аЭКВ

Подставляя выражение (21) в (18), получаем окончательную за­висимость растягивающего напряжения полосы при навивке от те­кущего радиуса

^н(г) = оакв |l + 2 r2 а% In — j 2р г2 _ а2 . (22)

Если монолитной составляющей стенки цилиндра нет, то можно предположить, что все слои стенки полностью равнопрочны. В этом случае из выражения (22) при г = с — а получаем

In— =—р—. (23)

а аэк„

ъ, жение можно записать относительно параметра — = к следующим

Принимая во внимание условие прочности аякв ^ [а], это выра­жение м< образом:

ЬЛ = Т5Г <24>

Величина к находится потенцированием, после чего Ь = ка. Зави­симость стН(г) для полностью многослойной стенки получаем из выражения (22), после преобразования его таким образом, чтобы

в пределе (при г -> а) получалась неопределенность При этом

предел отношения первых производных числителя и знаменателя стремится к нулю. Это указывает на то, что оН(г=а) = 0.

Итак, в наиболее оптимальном варианте многослойного цилиндра не предусматривается монолитная составляющая. При наличии внут­ренней трубы с монолитной стенкой, толщина t которой известно радиус раздела устанавливается сложно по формуле с = а + t. оадача состоит в определении оптимальной величины внешней по­верхности Ъ (или оптимального количества витков).

Запишем условие равенства эквивалентных напряжений у внут­ренней поверхности іиу любой поверхности многослойного участка

— ^ і

0экв(А) = 0ЭКВ - (25)

Тогда

ь

вакв(А) — стэкв = Р ^2 аг 2 вн(г) га аг ^г• (2®)

г=с

Подставим в это выражение значение он(Г) из (22), а во втором члене сумму заменим определенным интегралом.

После преобразования получаем

о с%

стэкв — 2 р г~. (27)

й2 _ аг + 2с2 1п

С

Отсюда

In— =—р----------- г + ТГ* (28)

с а=„„ 2 2с2 '

Обозначим ■£- = т и, исходя из условия прочности, аэкв ^ [а] по­лучаем

= + <29)

Величину т находим потенцированием, после чего

Ъ = ст. (30)

Рассмотрим приведенный выше пример для случая равнопрочнос - ти витков и отсутствия монолитной составляющей стенки, а также при наличии внутренней трубы с монолитной стенкой толщиной 13,7 см.

Радиус внешней поверхности для многослойной стенки найдем из (24)

in к = - щ - = 0,33333, к = 1,39561.

По весу такой цилиндр в два раза легче цилиндра с монолитной стенкой и на 25 % легче двухслойного, рассчитанного по зависимос­тям Га долина.

Во втором случае с = 113,7 см.

Из (29)

1 50 1.1 100а п ОППАП

т— 150 — 2 ~Т 113,7* 0,22009,

т = — = 1,2462,

С

Ъ = с • т = 113,7 • 1,2462 = 141,7.

Цилиндры с полностью монолитной^ а также двухслойными стен­ками, рассчитанные соответственно по зависимостям Ламе и соотно­шениям Гадолина, тяжелее многослойного, содержащего внут­реннюю трубу с монолитной стенкой: первый на 95 %, второй на 22 %.

Расчет по предложенному методу, как видно из приведенных примеров, может дать значительное снижение металлоемкости мно­гослойных сосудов или труб. При этом должно непременно выпол­няться следующее условие: ослабления натяжения витков за счет их взаимного проскальзывания не должно быть. Ввиду этого можно рекомендовать скрепление граничных слоев, например, точечной сваркой или другими видами сварки1 не нарушающими в общем многослойный характер стенки.