Рассмотрим поперечное сечение бесконечно длинной цилиндри­ческой оболочки, образованной путем сворачивания листа в спираль Архимеда с шагом h, равном толщине листа (рис. 1). Первый виток крзпится сваркой в точке А к своему продолжению, в В — послед­ний виток; п — целое количество витков. Между витками действуют нормальные напряжения сжатия р (ж) и касательные напряжения трения т (х), где х — координата, проходящая вдоль срединной по­верхности листа с началом в точке А.

Рассмотрим следующие задачи для поперечного сечения рулони­рованной цилиндрической оболочки.

1. Оболочка изготовлена описанным выше способом, витки при­креплены в точках А и В. Найти напряженное состояние от равномер­ного внутреннего давления без учета предварительного напряжения.

2. В задаче 1 учесть предвари­тельное напряжение от начального изгиба и натяга навивки.

3. После навивки осуществляет­ся крепление лишь наружного вит­ка в точке В. Прилагаются внутрен­ние напряжения опрессовки, после снятия которых происходит крепле­ние первого витка в точке А. Обра­зованная таким способом оболочка подвергается внутреннему эксплуа­тационному давлению.

Ниже рассматривается задача 1, в которой из всех физических Рис. 1. Поперечное сечение мно - нелинейностей учтена только нели­гослойной оболочки. ' нейность, вносимая условием Ку-

/ 2 п-1 Рис. 2. Схема развернутой рулонированной оболочки.

лонова трения, т. е. напряжения в контакте связаны соотношением ^ (х) ІР (я), где / — коэффициент трения. Для вывода разрешаю­щих уравнений представим развернутую спираль вдоль оси х (рис. 2). Для к-то витка будем различать выпуклую S£ и вогнутую 5Г сторо­ну. Все физические величины будем отмечать в дальнейшем знаками «+»и «—» в зависимости от их принадлежности к выпуклой или во­гнутой стороне витка. Упругие свойства витков будем имитировать моделью растяжимой гибкой нити, не сопротивляющейся деформации изгиба.

Деформативные свойства слоев в соприкасающихся стыках опи­шем моделью Герца — Тимошенко [1, 2], где деформация поверх­ности получается путем сложения деформации системы с учетом упро­щающих гипотез (в данном случае как деформация гибкой нити) с деформацией упругого слоя толщиной hi2. При учете макрострукту­ры соприкасающихся поверхностей используем модель И. Я. Штаер - мана [3]. В этом случае деформативность макрошероховатостей в нормальном и тангенциальном направлениях имитируется прослой­кой Винклера.

Пусть от действия равномерного внутреннего давления средний радиус R первого витка увеличился на величину Д. Тогда на некото­рую точку х £ St будут действовать напряжения pt и Тй~, в резуль­тате чего точка получит радиальные ut и тангенциальные vt переме­щения (рис. 3). В принятых обозначениях условия контакта для

Рис. 3. Расчетная схема напря­жений и перемещений в витках под действием внутреннего дав­ления.

Рис. 4. Основное и вспомогательное напряженное состояние ■ рулониро­ванной оболочки.

соприкасающихся точек примут вид

Ph — Ph+U th ' ^h+li Uh = Wft-j-i. (1)

Запишем условия сцепления

vt = уГ+1, rt<fpt (2)

и проскальзывания слоев

vi ф Vh+u т£ = fpt - (3)

Отметим, что обязательно должно соблюдаться одно из двух последних условий.

Наряду с заданным основным напряженным состоянием рассмот­рим вспомогательное напряженное состояние. Для этого нагрузим не закрепленную в точках А и В спираль двумя направленными в про­тивоположные стороны единичными сосредоточенными силами, при­ложенными к точкам tx (х) £ и <2 (х + 2яR) £ S, которые в стыке являются касающимися, а также нормальной распределен­ной нагрузкой интенсивностью І/R. Для восприятия местного пово­рота от внецентренного приложения единичных сил к срединной поверхности спирали приложим сосредоточенные моменты величиной h!2, которые в дальнейших рассуждениях в первом приближении можно не учитывать.

Применение теоремы взаимности работ станет возможным при использовании метода обратной склейки [4], который заключается
в следующем. Рассмотрим спираль, скрепленную в точках А я В, при вынужденном увеличении радиуса первого витка на величину А. При этом возникнут все внутренние усилия в нити и силы взаимо­действия между витками. Разрушим соединения в точках А и В и уберем трение между витками, не изменяя радиуса внутреннего вит­ка В - f - А. Поскольку рассматривается нить упругая только вдоль своей длины, то она займет новое, ненапряженное состояние. Переме­щения, которые при этом выявятся, взяты с обратным знаком, долж­ны соответствовать искомым перемещениям основного состояния.

На рис. 4 показаны витки оболочки, начиная с к-го, в основном 0 вспомогательном состояниях. О последнем состоянии нормально к оси х показано непрерывную составляющую тангенциального (вдоль оси х) перемещения (о* (t, х) в предположении, что начало координат не имеет перемещений. Таковые, описываемые задачей теории упругости для упругого слоя толщиной h!2, зависят от отно­шения длины контакта I к толщине слоя и, как показано в [51, при стремлении отношения h/2l к нулю приближаются к дельта-функции Дирака. Коэффициент при дельта-функции в нашем случае равен h (1 + v)/E.

Учет податливости макрошероховатостей в контакте приводит

I

к перемещению от единичной силы в виде ~ б (<), где сх — коэффи­циент постели в тангенциальном направлении. Таким образом, в точ­ках ti и t2 имеются перемещения вида

h (1 + у) , _1_ Е ^ сх

h (1 + V) , 1 Е ^ сх

По теореме Бетти имеем (с учетом принятых правил знаков для на­пряжений и перемещений)

к%£ (t) — С х£ {х) ©J (t, х) dx — [ xt+i (я) <»2 (t, x) dx —

1+ I+

lh M-l

—..................... + к%ъ+ (t + 2лR) + j тГ (x) (o] (t, x) dx +

lk

f _ * f (t, x)

+ ] Tft+1 (x) (02 (t, x)dx+............................ + ] и (x) - - H dx +

гГ+,

+ -|r [ pt {x) (04 (t, x)dx = — v+ (t) + u"(t + 2nR). (4)

lk+lk+i

Учитывая условия контакта (1) и определяя из геометрических со­ображений

— y+ (*) + v~ (t + 2лR) = 2лД, (5)

получаем для витков 2 < к < и — 2

j т£.і (х) (ох (t, х) dx + 2ктк (t) + j Тй" (а:) оо2 (t, х) dx +

1 lh

+ j xtf-j (x) ш3 (t, x) dx = 2яД — j u(x) %%r~dx —

'h+l

-T I

lh+lk+1

-g - j РІГ (ж) (04 (г, х) dx, где (t, X) = Щ (t, X) =5 0)3 (t, х), (в) VHfc+l

' 0, x<t — 2n[R(t)~h]

(7)

©і (t, х) - --

t — 2я[Я (О —Л] ■дд" {2л [R (t) + Л,] + t — х),

t < ж < і + 2я [R (t) + h]

О, х > t + 7я [і? (t) + h f О, x < t

<o4 (t, ж) = j 1, t t£^x ^ t + 2яЯ {t) (8)

[ 0, x > t - f - 2яЯ (/)

При к — 1 следует учесть работу сил крепления первого витка

при к = п — 1 — работу сил крепления последнего витка Nt,

Первый ВИТОК может иметь отличную ОТ других толщину ho и другой модуль упругости Е0. Тогда с учетом указанных особенностей имеем для к = 1

N^2 {t, «2) + 2кт1 (t) + j" Тх (х) 0>2 (*i х) dx - j - j т2 (х) СОЗ (£, х) dx —

(9) (10) (11)

'(*) CCn — t + X Wo «2 — x + * ЕйК

x> t + 2nR - j - h

0,

co3 (t, x) = и для к = n — 1 j т„_2 (x) Сйг (f, x) dx - f 2кхп^л (t) - j - If т„^і(ж)со2(<, x)dx +

= 2яД — ^ и{х) dx — ^L. ^ Pl {х) со4 {t, х) dx,

Ш2 (t, X) =

г„-і

ГД0

«4 (*■ *) Л(*)

da: ■

+ (^> ^n) = 2лА— j u(x)-

'n-l+'n

—і" I Pn^ № “4 ^ dx'

Л—1

где cc„ —"координата начала последнего витка.

Уравнения (6), (9) и (12) следует дополнить уравнениями для на­хождения продольных растягивающих усилий, которыеа с учетом условий (1), для отдельных витков примут вид

t

Ті (t) = N1 + j Tj (x) dx,

0

“ft t

Th (t) = j тй_і (x) dx + j xh (x) dx,

t—2яЯ(()^Л “ft

(13)

Tn (t) = N2 + j" тп—і (x) dx.

—2n R(t)-h

Уравнения (13) дают возможность найти напряжения сжатия между витками по рекуррентным уравнениям равновесия

и pt{x) = О

р£ {х) = [х + 2kR (x) + h] + Th (x)/R (х), (14)

а последние, в свою очередь — относительные радиальные переме­щения lift (х) (по отношению к внутренней поверхности первого вит­ка)

иТ (х) — О,

"+ / / I hо I 1 I vfj (х)

иТ (х) = Pl(x) (-£- + - g-J + —g— 5 uft+i [x + 2nR (x) - f - h] — ut (x) + ph (x) i-ff - -|—74—] - j p. (15)

,E ' СЛ,

Уравнения (9) и (12) при t = 0 и t = ап дают два дополнительных соотношения, после чего системы уравнений (6), (9), (12) — (15) по­рядка 4п создаьт (4п — 2) неизвестных функций и две неизвестные величины iVj и

Решать систему с 4п неизвестными не целесообразно. Имеет смысл решать систему (п + 2) интегральных уравнений (6), (9) и

(12), положив сначала в правых частях и (х) и р (х) равными нулю,

затем по т (х) и NxNa найти Т (х), р (х), и (х) и снова перейти к сис­теме интегральных уравнений и др. Такой итерационный процесс легко реализуется в численном виде.

Для решения системы интегральных уравнений принят метод коллокации [6] при помощи квадратурной формулы Гаусса по Чебы - шевским узлам интерполяции. Процесс вложенных итераций строит­ся путем изменения столбца правых частей, процесс продолжается до требуемой точности. Удовлетворение условию т (х) ^ fp (х) про­изводится путем увеличения коэффициента контактной податливости в местах нарушения условия кулонова трения.

Изложенный алгоритм расчета описан на алгоритмическом язы­ке ФОРТРАН в виде комплекса программ и реализован на ЭВМ БЭСМ-6. Алгоритм и программы ориентированы на дальнейшее раз­витие с целью усовершенствования расчетной схемы, а также рас­чета оболочки с монолитными кольцевыми швами.