Если для описания гидродинамики потока в зоне дозирования одношнсковых экструдеров применима плоская модель течения, то в двухшнековых экструдерах, где глубина винтового канала Л соизмерима с его шириной И7(Л = W), необходимо рассматривать задачу течения вязкой жидкости в каналах прямоугольного сече­ния. В разделе 3.2 экспериментально показано, что в этом случае на распределение скоростей потока в направлениях осей х, у и z

большое влияние оказывают

r. DN/сош

xDNiga

боковые стенки винтового канала С-образной секции.

90*-а

n/J. VlgH = n/)Mgasina vax ~*

галопке

Oci. шнека

vf, - Я I) /VCQStl

Рис. 3.30. С-обрашаи секция ими юною ка­нала двухшнекового экструдера

Впервые модель течения в С-образной секции была предложена |1| для получе­ния теоретического уравне­ния продольной составляю­щей v. скорости потока. Движение жидкости рас­сматривал ос I» огнос итс л ь н о плоской неподвижной сек­ции (рис. 3.30, б), получен­ной разверткой в плоскость реальной С-образной сек­ции (рис. 3.30, а).

ГI оверхность цил и ндра, развернутая в плоскость, пе­ремещается относительно рассматриваемого элемента жидкости со скоростью Уа, имеющей компоненты va; и v, a, Поверхность шнека, об­разующая стенки канала,

Рис. 3.31. Основные потоки вяткой жидкости в винтовых каналах двумннскового эк - сIрулера (в) и скорости потока в С-образной секции (б)

перемещается относительно данного элемента жидкости (распла - иа полимера) со скоростью vb в направлении оси i. При этом

va = nDN tga; vaz=nDN tgasina; vax = n/W sina; vb=nDN/cosa. (3.32)

Под действием vaz и v* возникает вынужденный поток Q(, (рис. 3.31, а) 137, 53| вдоль винтового канала. Возникновение ско­ростей этого потока вызвано только внутренним трением (нали­чием вязкого трения в расплаве полимера).

Ввиду выжимающего действия витков сопряженного шнека вдоль канала возникает градиент давления (дР/д£)к, вызывающий ноток под давлением Qp (обратный поток) (рис. 3.31, а) с парабо- (ичсским распределением профиля скоростей. Наложение этих потоков дает результирующую эпюру скоростей потока в винто­вых каналах двухшнековых экструдеров.

Наличие зазоров зацепления Si, 5*, 6 и действие градиента дав­ления (дР/д£)к вызывает потоки утечек через указанные зазоры: Qw (через валковые зазоры 60), Qs (через боковые зазоры 8S) и Q6 (через радиальные зазоры 6). Дальнейшее усовершенствование модели движения в С-образных секциях отражено в работах (37, 53| (рис. 3.31, 6).

При общепринятых допущениях (пренебрежение инерционны­ми и массовыми силами, изотермичность и стационарность про­цесса течения) для ньютоновской жидкости уравнения движения и неразрывности принимают следующий вид:

др dz дР ду

хк

+ Ц

(3.34) (3.35) (3.36)

>*

+ М

ЭУхк, ЭУ о Эх ду

дх2 a2v

= 2ц

= 2ц

ду2

d2v

ду2 ду2 32v«+32V

3 vax +Э V

дудх Эх2

Решение уравнения (3.33) впервые получено автором работы при граничных условиях (см. рис. 3.30)

п Л nDN

х = 0. О<y<,h, = —

cosa

л/W

cosa nDN cosa

(3.37)

х = W, 0<, у <h, v-j. = -

у = 0, 0 < х < И7, = -

у = Л. 0<х<ИЛ v^ =nDNtgasina в следующем виде при (dP/dz)K = const:

1

nDN cos«

+ (3.38)

-nx

2m + |shf2*r+IK/l

J” 7l(2/7l +1)

2m +1

sin

-ЛУ

(2"I + I)3 ch|n(2m + l)^j

	л	т-0
У2	yh	4/г 4- _ - -
2	2	л5

4/yVcosa

, .2m+ 1 I “1^

w ch

W—+l1 ) { w

2 x-W 2 h "

Первые два члена правой части уравнения (3.38) описывают распределение скорости вынужденного потока Qd (рис. 3.31, а), обусловленного относительным движением поверхностей шнека и цилиндра, а последний член — распределение скорости потока Qp под действием (dP/dz)к, возникающею в результате выжимающего действия витков сопряженного шнека.

Дифференцированием уравнения неразрывности (3.36) по х и у и подстановкой полученного выражения в (3.34) и (3.35) находим 137, 53|:

дР дГ1 =ц*

д V*k +d‘vxx

Определение скоростей vxx в поперечном направлении сводит - * | к решению дифференциального уравнения (3.39) при следую­щих фаничных условиях:

х =0, х =И/, о <y<,h, =0;

= 0;

у = 0, О^х^К, у-К 0<х<и/,

*хк = nDN sina-

(3.41)

У2	yh 4 Л2 ~	ch 1	n(2m+)(2x-lV) 2 h
2	о з 2- т~0	(2m+l)3	ch	nW(2m f 1) 2Л

2т +1 ,(2т+

sh

V

nil

sin

Г2/И+1 N —— ny

Ма основании экспериментальных данных |46| (см. также раз - к-1 3.2) при решении указанного уравнения принималось, что (>il*/dz)K = const. Тогда решением уравнения (3.39) при фаничных и ювиях (3.41) получим выражение поперечной скорости цир­куляционного течения в винтовых каналах С-образной секции в. юдующем виде:

2 /// +1 W

■nx

(3.42) Величина (dP/dz)K в последнем уравнении определяется из ра­венства нулю поперечного циркуляционного потока: и / d. v = 0. (3.43) о Совместным решением уравнений (3.42) и (3.43) получим:

(-if ch
(2ш+1)г sh	2/7/ +1 .

X /я-0

sh

пу

1 (ЬР 2pK I dx

2 m + IF

I

>'VK = 40/Vsina X л!=0

sin

дР 4/Wising

Наличие поперечной циркуляции жидкости в нормальном се­чении винтового канала предопределяет существование верти­кальной составляющей \х скорости потока. Решением дифферен­циального уравнения (3.40) при граничных условиях

V -0: VjX =0;

х = 0, 0 <у<>И,

x = W/2y 0< у <h,

у = 0, 0<x<lV/2, vvx =0; (3.45)

у = Л, Q<x<W/2, v>x =0.

получим следующее выражение для расчета профиля вертикаль­ной составляющей скорости vxx циркуляционного течения:

I т - 0

1

(2/w +1)

(3.46)

сЬ|л(2/77 + 1)?^Д

■пу

х г si

ch^(2#;i+l)—J

Градиент давления (дР/ду)к в уравнении (3.46) находим из соот­ношения 137):

у WA

ADNWsma

1У= j v>ltdx. (3.47)

нг	,2/71+1 ,* ch w пу-
(2/и +	)2 sh	2/77 +1 А ЬН1

0 2 0

Совместным решением уравнений (3.42), (3.46) и (3.47) полу­чим:

X /71-0

_1(ЭР рД Эх

После подстановки выражения (3.44) для (dP/dz)K и математи - "ч ких преобразований для у = Л/2 (дР/ду мало зависит от коорди - н,111.1 у) получим:

ch

WNWsma

А У=2 2т + 1 я Л W ~2

я Л -0.5

т

Н)

2/и +1 И'

(2/W+1)*

т=0

sh

яЛ

(3.49)

(-■Г (2/M+I)4

Л2И^ 16Л3 -

о + 4

л я /«=о

... 2ш +1 пИ7

,hl ITT

На рис. 3.32 представлены эпюры скоростей vxx (рис. 3.32, а), у* (рис. 3.32, о) и vw (рис. 3.32, «) потока в винтовых каналах < -образных секций двухшнекового экструдера, построенные но результатам расчета на ЭВМ уравнений (3.42), (3.46) и (3.38).

При сравнении указанных теоретических скоростей потока с жеперименталыю полученными (см. рис. 3.10, 3.19. 3.20) видно, что:

1) эпюры расчетных и экспериментально замеренных скоро - i гей v. K идентичны;

2) если у расчетных эпюр скоростей у** = 0 наблюдается при y/h = 2/3, то v экспериментально полученных vtK = 0 при y/h =

0,7+0,8;

3) у расчетных эпюр скоростей v, x не сказывается влияние бо­ковых стенок винтового канала, в то время как у эксперименталь­но полученных заметно их влияние (максимум \х смещен к боко­вым стенкам).

Такое различие расчетных и экспериментальных эпюр скорос­тей и v>x связано с тем, что при решении уравнений (3.39) и (3.40) авторами работ 137, 53[ были приняты упрощающие допу­щения о том, что(дР/дх)к = const и (Эг/Эу)к = const. Однако такое небольшое допущение вполне допустимо для инженерных расче­тов и анализа процессов смешения.

При выводе уравнений для расчета скоростей потока в винто­вых каналах С-образных секций vXK, v>1c [уравнения (3.38), (3.42), (3.46)| исходили из предположения о постоянстве градиен­тов давления (dP/dz)K,(dP/dx)K и (дР/ду)к.

При неизвестной закономерности изменения указанных гради­ентов давления распределение скоростей потока в винтовых кана­лах С-образной секции можно рассчитать на ЭВМ 1451 методом конечных разностей. Для этого поперечное сечение винтового

Рис. 3.32. Теоретические профили скоростей потока поперек (о), по высоте v>% (б) и вдоль винтового капала vx (в)

канала было разбито на ячейки J (рис. 3.33). При расчете предполагалось стационарное ламинарное изотермическое тече­ние несжимаемых жидкостей в канале прямоугольного сечения (см. рис. 3.33).

Предполагалось, что длина винтового канала С-образной сек - ции Цувр намного больше ширины, т. е. 4 >> И'(см. рис. 3.33), а также Ц » И. Очевидно, что за исключением входного и выход­ного участков компоненты скорости удх, v>x и v. K не зависят ог ко-

У = 13 Jm II J= 9 У = 7 У = 5 J-3 У - I

135 7 9 II 13

Гис. 3.33. К расчету скоростей потока в канал - прямоугольной формы на ЭВМ мето - юч конечных разностей

ординаты z■ Нагнетание жидкости происходит за счет движения верхней стенки канала (жидкость смачивает стенки, следователь­но, имеет место вязкое течение) и действия перепада давления ы/уэ*)к по оси причем (BP/Bz)K |45, 46|. При этом верхнее осно­вание (стенка) движется со скоростью vc под углом а подъема вин - I о во го канала (см. рис. 3.33). С учетом принятых допущений урав­нения, описывающие течение жидкости в канале, принимают вид:

Эу

Р гхк

+ v

Эу

(3.50)

Эл

Ву

Эу

(3.51)

(ВТ By

>*

Эу

Эу

хк

+ V

■лк

Bz )к Эл( В(рУхк) . d(PV)

Ву

Эл

Эл

Эу

Эл Ву ~,Й1 .|Ь,

+1Й

	э 4-_
	Ву	J By ✓

хк

Рэ=Р^ 2,/2 J*

где цэ — эффективная вязкость расплава полимера; р — плотность расплава; У> — второй инвариант тензора скоростей леформации.

Решение системы уравнений (3.50)—(3.53), которая должна быть еще замкнута граничными условиями, в общем случае нельзя получить в явном виде. Правда, при предположении, что жид­кость ньютоновская и критерий Re <<I, a (dP/dz) = const, решение Для voc = Л*» У) изложено выше |см. уравнение (3.38)1 .

Рассмотрим на примере данной задачи применение метода ко­нечных разностей. Однако для этого преобразуем систему уравне­ний (3.50)—(3.53), так как решение задачи в динамических пере­менных р и у сопряжено с рядом трудностей [54). Основное не­удобство состоит в том, что мы заранее не знаем распределение давления в винтовом канале. Поэтому в механике жидкостей при решении двумерных задач предварительно исключают из первых двух уравнений указанной системы давление. Это достигается дифференцированием первого уравнения по у, а второго - по х и последующим вычитанием одного из другого. При этом кроме давления из полученного уравнения исключаются также многие члены, содержащие скорости v** и v>x. Введением новой перемен­ной v — функции тока — исключают еще ряд членов, содержащих и v>x* а также избегают необходимости в процессе решения удовлетворять уравнению неразрывности (3.53), так как функция тока i|/ связана с компонентами скоростей следующими соотноше­ниями (541:

=--Ч v р ду

ду. „ 1 ду

рд*

При дифференцировании был повышен порядок уравнения, который можно снизить с помощью введения еще одной новой зависимой переменной — вихря о>А:

(3.54)

После проведения всех описанных выше преобразований полу­чим:

д] д(ЦэО)/,)'

д ( dy 'j д ( ду'

Н - т - +И - т - +<*)/> =0.

дх

= 0; (3.56)

(3.57)

Данная постановка задачи позволяет учитывать зависимость вязкости от второго инварианта тензора скоростей деформации, а также зависимость плотности от давления. Система уравнений

• ' '»» (3.57) замыкается граничными условиями прилипания

• и и «к I и к стенкам канала, которые имеют вид:

|/ = 0; VXK ~ V>K =VOi ~

х=0, 0<y<fr,

х = W, 0 < у <> /;;

Т = 0, 0<y<W

y=h, 0£x<IV; v>x =0; vj/ =0;

vfX =nDN sin a; vcz = n l)N cos a

||пд по формуле (3.54)|.

Кроме того, значение вихря на стенке канала в произвольной 11>чкс С (рис. 3.33) равно

-2(v/-vpc) 2 nDN «Ьс. (3.58)

. !«■ V, - значение функции тока и точке С на границе; ц/, - значение функции ШК.1 и /*й точке, расположенной на нормали к стенке на расстоянии л,

о м рис. 3.33).

Уравнения (3.55)—(3.57) были рассчитаны на ЭВМ при раз - Iпчпых значениях N, угла подъема a, hfW и вязкости. Мри рас­четах были использованы экспериментально найденные |43) шачения (dP/dz)K в С-образных секциях винтовых каналов шухшнековых экструдеров. Теоретические эпюры скоростей (рис. 3.34) показывают полную идентичность с эксперименталь­ными (см. рис. 3.10).

Эпюры скоростей vAX и vlx приведены на рис. 3.35 и рис. 3.36. Из рис. 3.35 видно полное совпадение с профилями скоростей г4Х, рассчитанными из предположения (дР/дх)к = 0 (рис. 3.32, а). ( равнение рис. 3.36 с рис. 3.32, б показывает, что расчет v>x из

Ширима канала x/W Рис. 3.34. Теоретические эпюры скоростей л, (расчет на ЭВМ методом конечных разностей)

Рис. 3.35. Теоретические эпюры скоростей vn/V( (поперек канала) циркуляционного потока в винтовых каналах прямоугольной формы с ра тошными значениями h/W (а, б, в) (расчет на ЭВМ метолом конечных разностей)

предположения (0Р/ду)к = const лает профиль скоростей vyx, не­сколько отличный, чем при (дР/ду)к = var. Однако для инже­нерных расчетов это допустимо, так как компонента v, K не оказы­вает существенного влияния на производительность й мощность привода двухшнековых экструдеров.

Рис. 3.36. Теоретические эпюры скороск-й v)X/Ve (ни высоте канала) циркуляционно­го потока в винтовых каналах прямоугольной формы с различными значениями h/W (о, б, «) (расчет на ЭВМ методом конечных разностей)

)пюры скоростей v, x, рассчитанные на ЭВМ (рис. 3.36), показы - тин хорошее совпадение с экспериментальными (см. рис. 3.20).

III рис. 3.35 видно, что с увеличением h/Wот 0,4 ло I сильнее ■» I (икается влияние боковых стенок винтового канала. Эго видно п.1 примере смещения безразмерной координаты x/W в сторону умешчения (см. рис. 3.35, а—в).

)пюры скоростей у>1С(рис. 3.36) показывают, что в зависимости • и ///И7меняются координаты .г/И7максимальных значений v}X (с уменьшением значений h/W вершины кривых смещаются к боко­вым стенкам). Видно, что уже при Л/В7 =0,4 имеется область зна­чений x/W, где у, х = 0. При дальнейшем уменьшении h/W эта об­мен, постепенно увеличивается, и при h/W<0, только в неболь­ших пристенных участках канала v>x * 0. Это обстоятельство подтверждает правомерность пренебрежения компонентой v>x в I сори и одношнековых экструдеров, снабженных шнеками, винто­вые каналы которых имеют значение h/W< 0,1.

Проведенный теоретический анализ течения жидкости в вин - юных каналах двухшнсковых экструдеров показал:

1) при расчетах можно принять (dP/dz)K — const и (dP/dz)K = const;

2) при размерах поперечного сечения винтового канала h/W= 0,4+1,0 нельзя пренебрегать составляющей у1Х. Особенно важен

учет у,* при анализе процессов смешения;

3) эпюры скоростей v^ и v4X показывают, что боковые стенки винтовых каналов оказывают большое влияние на распределение скоростей потока, что свидетельствует об ошибочности утвержде­ний авторов работ 131, 321 , предлагающих пренебречь им.